数学之美：杨辉三角(帕斯卡三角)的奇特性质

杨辉三角（也称帕斯卡三角）相信很多人都不陌生，它是一个无限对称的数字金字塔，从顶部的单个1开始，下面一行中的每个数字都是上面两个数字的和。

杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现。在欧洲，帕斯卡（1623—-1662）在1654年发现这一规律，所以这个表又叫做帕斯卡三角形。帕斯卡的发现比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年。

杨辉三角

就是这个看上去平平无奇的数字三角形，却有一些非常奇妙甚至是神秘的特性，本文将一一为您揭晓。

1、最外层的数字始终是 1

最外层的数字始终是 1

 

2、第二层是自然数列

第二层数字为自然数列

 

3、第三层是三角数列

第三层数字

什么是三角数列，看一下下图就明白了，这个数列中的数字始终可以组成一个完美的等边三角形。

 

4、三角数列相邻数字相加可得方数数列

三角数列相邻数字相加的方数数列

什么又是方数数列呢？雷同与三角数列，就是它的数字始终可以组成一个完美的正方形。

方数数列

 

5、每一层的数字之和是一个2倍增长的数列

每一层数列之和

 

6、斐波那契数列

没错，如果按照一定角度将直线上的数字相加，我们也可以从杨辉三角中找到斐波那契数列。

隐藏的斐波那契数列

斐波那契数列是指从 0，1 两个数开始，每一位数始终是前两位的和。这个数列有个神秘的特性，即越往后，相邻两数的比值越来越逼近黄金分割数 0.618 (或1.618，两数互为倒数)。斐波那契数列和黄金分割数不但在大自然中处处可见，在人类的艺术设计中也是应用非常广泛。

斐波那契螺旋线

 

7、素数

素数是指只能被 1 和它本身整除的数字。然而在杨辉三角里，除了第二层自然数列包含了素数以外，其他部分的数字都完美避开了素数。

素数的分布

 

8、可以被特定数整除的数字形成了奇妙的分形结构

可以被 2 整除的数字

 

可以被 3 整除的数字

 

可以被 4 整除的数字

 

可以被 5 整除的数字

 

如果我们把杨辉三角再放大，就会发现这些可以被特定数字整数的数的分布非常有规律，它们会形成类似分形的图案。

分形

 

这些就是阁主总结的杨辉三角的几个奇妙特性，如果您有其他的发现，欢迎补充。