摘要：
以牛顿第二定律为基础的动力学一直被认为是描述动力学的基本方式。牛顿第二定律默认了质量是一个不依赖于运动状态的恒量，人们发现这实际上是不对的。物体的质量随着速度的增大而增大，精确地：$m=\dfrac{m_0}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$。这就是经过爱因斯坦修正以后的公式。这就是全部的相对论 阅读全文
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## 巴赫，艾舍尔，哥德尔 巴赫是卡农创作的大师。卡农的基本特点是一个单一的主题与它自己相伴而奏，由加入的各个声部分别唱出主题的副本，这些副本包括主题在音高上的平移， 时长上的拉伸与收缩，镜像，逆行等。但是无论是哪种副本，它都保持有与原主题完全相同的信息，也即从每个副本中都有足够的信息可以恢复出原主 阅读全文
摘要：
到现在为止我们讨论的问题都是面对一个问题如何设计出一个高效的算法。现在我们要讨论一个不同的问题，我们可以通过分析证明：一些问题是不可能存在高效的算法的。而证明的方法依然是设计算法。 ## NP-complete问题 多项式时间复杂度是优秀的复杂度。确定型图灵机能在多项式时间复杂度内找到解的问题的集合 阅读全文
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声波 波动现象出现在物理学的许多领域中，力学中出现振动传播形成的机械波，电磁学中出现电磁波，在现代物理学中还有给出发现粒子概率的物质波。下面我们以力学中的声波作为一个波的特殊的对象来讨论。 声学是力学的一个分支，所以它要用牛顿定律来解释。声波由一处往另一处传播，只是力学定律及传播声的那种物质（介质） 阅读全文
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我们从物质的内部结构——原子的观点——出发得到了一套分子动理论，这是从统计力学的角度来研究物质性质。历史上人们在了解物质内部的具体结构之前就已经得到了许多物质之间的关系，这部分内容发展为了“热力学”。这门学科起源于如何制造最好的和最有效的“热机”这一工程学课题。人们发现“热”可以用来“做功”，例如蒸 阅读全文
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现在开始讨论一个新的课题：从“物质由大量原子组成，它们之间存在着电相互作用，并遵从力学定律”这种物理观点出发，我们企图了解为什么不同的原子集合会表现出它们所具有的特色。这是一个困难的课题，它和力学和电学有着很大的不同：在学习力学和电学的过程中，我们能够从某些基本定律出发本质地理解一大批现象，再以这些 阅读全文
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Fourier在研究热传导的问题时，用$\dfrac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty}(a_n \cos nx+b_n\sin nx)$的形式来表示一个周期为$2\pi$的函数$f(x)$，取得了很成功的结果。于是他猜测任何以$2\pi$为周期的函数都可以用这种三 阅读全文
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现在我们想用线性代数的方法来研究组合数学问题。 ## 邻接矩阵的特征值 对于任意的无向图$G=(V,E)$（假设不带边权），它可以用邻接矩阵$A_G$来表示。$A_G$是一个对称矩阵，因此它一定有$n$个实数特征值。我们把它们记为$\lambda_1 \geq \lambda_2 \geq \cdo 阅读全文
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## 信息熵 不同的话语包含的信息量是不一样的。一句短小的话可能包含着很大的信息量，而一句冗长的话可能只含有一点点信息量。因此我们想知道一句话所包含的信息量，但看它的长度肯定是不对的，而是应该看它以最好的方式被压缩以后长度是多少。 我们把一句话看作一个二进制串，更一般地，一句话应当是一个随机生成的二 阅读全文
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## 引言 在数分课上讲到Green、Gauss、Stokes公式这一节时，对这些公式没能很快的理解，很大程度上是因为对梯度、散度、旋度的概念没有直观感受，同时对算子$\nabla$的含义经常产生混淆。恰好课上老师提到了费恩曼对这些公式有过一个直观的理解，于是去读了费恩曼的书，并对场论产生了兴趣，所 阅读全文
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## 函数项级数的点态收敛性 在一个数项级数中，每个项都是一个常数：$a_1+a_2+\cdots+a_n+\cdots$。现在有一系列数项级数，我们可以把每一项都看作是关于某个自变量$x$的函数$a_i(x)$，这样我们也得到一个“级数”$a_1(x)+a_2(x)+\cdots+a_n(x)+\ 阅读全文
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## 洛瓦兹局部引理(Lovász Local Lemma, LLL) 给定一个“坏事件”的集合$\mathcal{B}=\{B_1,\cdots,B_m\}$，其中$\Pr[B_i]0$。其中$e$是自然对数。 我们之后将会对更一般的情况给出证明，这里我们先来通过例子来进一步LLL在说什么。 如果 阅读全文
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二阶矩，方差，切比雪夫不等式 我们可以验证如果两个随机变量$X,Y$是独立的，那么一定满足$E[X\cdot Y]=E[X] \cdot E[Y]$。只需根据定义把右侧表示出来，$E[X] \cdot E[Y]$$=\left(\sum\limits_{x}x\Pr[X=x]\right)\left 阅读全文
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## Tournament的一个上界 我们再来看一个类似Ramsey Number的例子，它同样也体现了当$n$足够大时某个结构一定会出现这一性质。 Tournament Graph是一张有向图$G(V,E)$，其中任何两个点之间都有且仅有一条有向边，其中$x \to y$的有向边表示$x$赢了$y 阅读全文
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## 平衡性 红黑树是一种平衡树，它首先满足二叉排序树的所有性质。我们在它的每个节点上定义一个颜色——红色或黑色。颜色必须满足以下三个性质： 1. 根节点是黑色的。 2. 红色节点的儿子必须是黑色的。（等价于：不能出现两个连续的红色节点） 3. 对于任意一个节点$u$，在它的子树中，从它出发到所有空 阅读全文
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离散概率本质上依然是组合计数，但引入概率论的概念能够让我们的讨论更加直观更加方便。 ## 概率 麦克斯韦说：“我们这个世界的真正逻辑寓于概率的计算之中。”这句话强调了概率的空前的重要性。但仔细想想，我发现我其实并不真的知道“概率”指的是什么。我们平时在生活中经常使用“机会”或“可能性”这样的词，通常 阅读全文
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## 线性规划问题 线性规划问题指的是：给定若干个变量，这些变量满足一系列线性等式关系或线性不等式关系，要在满足这些关系的前提下求出某个这些变量的线性函数的最大值或最小值。 我们可以用“归约”的思想把线性规划问题的描述统一为标准的形式，称为“标准型”：首先我们可以把问题归约为所有自变量都是正数的情况 阅读全文
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重积分是对平直空间的积分，现在我们想要研究弯曲空间上的积分。这种积分可以根据其“物理意义”分为两类：一类是对弯曲空间上的标量做积分，这类问题可以归约为“给定密度求质量”，例如给定每点处的线密度求曲线的质量，给定每点处的面密度求曲面的质量；一类是对弯曲空间上的向量做积分，例如计算沿某路径的力做的功，通 阅读全文
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在给定函数$P \to\R$的两个$f,g$（可以看作列数为1的矩阵）满足$f(x)=\sum\limits_{x \leq y}g(y)$时，可以把它转化为$f=\zeta g$，那么就等价于$\zeta^{-1}f=g$，即$g=\mu f$。展开即为$g(x)=\sum\limits_{y}\mu(x,y)f(y)$。由于只有$x \leq y$时关联代数才不为0，因此可以进一步写为$g(x)=\sum\limits_{x \leq y}\mu(x,y)f(y)$。 阅读全文
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偏序集的定义 我们要讨论偏序集，与它对应的是我们熟悉的“全序集”。比如，实数就是一个全序集，给定任意两个实数$a,b$，那么“$a \leq b$”和“$b \geq a$”中总有一个是成立的，所以这种“序结构是完全的”，任何两个元素都可以“比较大小”。而对于偏序集来说，这却是不一定的。我们定义的一 阅读全文
摘要：
## 面积，测度 我们在一元时已经建立了定积分的概念，并用“曲边梯形的面积”这一几何意义来理解它。我们知道定积分其实是Riemann和的极限，那么我们很容易自然地把它推广到多元函数——二元函数的积分应当表示“曲顶主体的体积”等等。 我们在推广时遇到的第一个问题在于多元下的“划分”该如何定义。在给一元 阅读全文
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## 谐振子 在物理学的不同领域甚至别的学科中，出现的方程式往往是完全一样的，这导致不同领域中会有相似的现象。因此对一个领域的研究可以扩展我们对另一个领域的认识，我们从一开始就应到认识到这种扩展的可能性，才能坚定地为此付出时间和精力。 学习谐振子本质上是在学习“常系数线性微分方程”。一般的$n$阶常 阅读全文