「欧拉定理」学习笔记（费马小定理）

欧拉定理：对于互质的两个正整数$a, n$，满足$a^{φ(n)} ≡ 1\  (mod\ n)$

证明：

　　设集合$S$包含所有$n$以内与$n$互质的数，共有$φ(n)$个：$$S = \{ x_1, x_2, ..., x_{φ(n)} \} $$

　　再设集合$T$：$$T = \{ a * x_1 \% n, a * x_2 \% n, ..., a * x_{φ(n)} \% n \} $$

　　由于$ x_i, n $互质，$ a, n $互质，故$a, x_i$一定不包含任何$n$的因数。所以$a * x_i, n$互质

　　所以显而易见    $gcd(a * x_i \% n, n) = 1$

　　显然$S$集合中的元素互不相同，下面证明$T$中集合的元素互不相同：

　　证明：

　　　　要证明$T$中集合的元素互不相同，可以证明集合 $ \{ a * x_1, a * x_2, ..., a * x_{φ(n)} \} $ 中任意两个数对于$n$都不同余。

　　　　可以利用反证法：

　　　　令$m_i = a * x_i$，则集合可表示为 $ \{ m_1, m_2, ..., m_{φ(n)} \} $ 

　　　　设$ m_s ≡ m_r\  (mod\ n) $，则可得$ m_s - m_r = q * n $， $ a * (x_s - x_r) = q * n $

　　　　即$ n | (a * (x_s - x_r)) $

　　　　由于$a ,n$互质，所以$a, n$没有除1外相同的因子，所以$x_s - x_r$含有所有n的因子。而由于$x_s, x_r$都是$n$以内的，所以$x_s - x_r < n$。

　　　　所以$ n | (a * (x_s - x_r)) $不成立，故$T$中集合的元素互不相同。

　　由于$T$中元素互不相同，而又由于$S$中的元素包含了$n$以内所有与$n$互质的数，$T$也包含了$n$以内所有与$n$互质的数。且$S, T$内的元素都是互不相同的.

　　所以$S = T$

　　乘起来：

　　$$ x_1 *  x_2 *  ... *  x_{φ(n)}  ≡  a * x_1 *  a * x_2 * ... * a * x_{φ(n)} \ (mod\ n)$$

　　$$ x_1 *  x_2 *  ... *  x_{φ(n)} ≡  a^{φ(n)} * x_1 * x_2 * ... * x_{φ(n)}\ (mod\ n)$$

　　$$ a^{φ(n)} ≡  1\ (mod\ n)$$

 

费马小定理：其实就是欧拉定理。只不过当$n$是质数时，$φ(n) = n-1$。

　　　　$$a^{n-1} ≡ 1\  (mod\ n)   \ (n为质数)$$