Codeforces379 F. New Year Tree

Codeforces题号：#379F

出处： Codeforces

主要算法：LCA+树的直径

难度：4.4

思路分析：

　　给出q个操作，每次在一个节点上接上两个叶子。每一次询问树的直径。

　　暴力做法：每一次操作暴力BFS两遍……然而……复杂度时\(O(Q * 2n\)，爆到不知哪里去了。

　　其实我们会发现，除非新加进来的两个点能够对直径产生影响，直径根本不会变。所以我们只需要考虑新加进来的点对原图的影响。

　　那么如何操作呢？先假设没经过任何操作之前，直径的端点时2和3（事实上2,3,4中任意两个都可以），设直径的端点1为A，端点2为B。每加进来两个点x,y时，若dist(x,A)或dist(x,B)大于原先的直径，则用它们更新，并且将直径的另一个端点设置为x或y。

　　下面来证明这样的做法的正确性：

　　由于在讲树的直径的时候我们提到过，从任意一个点出发进行BFS，所能到达的最远点一定是树的一个直径之一。

　　先假设新加进来的两个点x,y不存在，那么原先的树的直径就是A->B，并且一定是最长的了。设x,y的父亲节点为v。那么从v所能到达的最远的点一定是A或B。并且x或y到v的距离只有1，也只能是1。所以从x或y出发遍历所能够到达的最远的点一定也是A或B。而由于之前的直径是最长的，所以我当前的直径要比上一轮更长，只能是加了一，而这个1就是从x或y到v的距离的距离中产生的。

　　所以我们选择x来更新（因为x和y其实是一样的，你不可能有一条直径是从x到y的，因为这样只能是2，而刚开始就已经是2了）。分别求出x到A与B的距离，如果x到A更新成功，则B=x；如果x到B更新成功，则A=x；事实上，它们只有一个能更新成功。

　　于是现在问题就转化为了求两点之间距离了，LCA随便搞一搞就好了。这题还不用Dfs预处理，真是太可爱了……

代码注意点：

　　由于有q次操作，每次操作增加两个点，所以点的数目是\(2q+4\)，而不是\(q+4\)

Code

/** This Program is written by QiXingZhi **/
#include <cstdio>
#include <queue>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define  r  read()
#define  Max(a,b)  (((a)>(b)) ? (a) : (b))
#define  Min(a,b)  (((a)<(b)) ? (a) : (b))
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 1000100;
const int INF = 1061109567;
inline int read(){
    int x = 0; int w = 1; register int c = getchar();
    while(c ^ '-' && (c < '0' || c > '9')) c = getchar();
    if(c == '-') w = -1, c = getchar();
    while(c >= '0' && c <= '9') x = (x << 3) +(x << 1) + c - '0', c = getchar();
    return x * w;
}
vector <int> G[N];
int dep[N],f[N][30];
int Q,v,cur_node,A,B,cur1,cur2,ans,Tmp_Dist;
inline void AddEdge(int u, int v){
    G[u].push_back(v);
    G[v].push_back(u);
}
inline void Init(){
    AddEdge(1,2), AddEdge(1,3), AddEdge(1,4);
    cur_node = 4;
    A = 2, B = 3;
    ans = 2;
    f[2][0] = f[3][0] = f[4][0] = 1;
    dep[1] = 1;
    dep[2] = dep[3] = dep[4] = 2;
}
inline void Update(int u, int v){
    f[v][0] = u;
    dep[v] = dep[u] + 1;
    for(int i = 1; (1<<i) <= dep[v]; ++i){
        f[v][i] = f[f[v][i-1]][i-1];
    }
}
inline int LCA(int _a, int _b){
    if(dep[_a] < dep[_b]){
        swap(_a, _b);
    }
    int a = _a, b = _b;
    for(int i = 25; i >= 0; --i){
        if(dep[a] - (1<<i) < dep[b]) continue;
        a = f[a][i];
    }
    if(a == b) return a;
    for(int i = 25; i >= 0; --i){
        if(f[a][i] == f[b][i]) continue;
        a = f[a][i];
        b = f[b][i];
    }
    return f[a][0];
}
inline int GetDist(int _a, int _b){
    int __lca = LCA(_a, _b);
    return dep[_a]-dep[__lca]+dep[_b]-dep[__lca];
}
int main(){
    Init();
    Q = r;
    while(Q--){
        v = r;
        AddEdge(v,++cur_node);
        Update(v,cur_node);
        AddEdge(v,++cur_node);
        Update(v,cur_node);
        cur1 = cur_node;
        Tmp_Dist = GetDist(cur1,A);
        if(Tmp_Dist > ans){
            ans = Tmp_Dist;
            B = cur1;
        }
        Tmp_Dist = GetDist(cur1,B);
        if(Tmp_Dist > ans){
            ans = Tmp_Dist;
            A = cur1;
        }
        printf("%d\n",ans);
    }
/*    
    for(int i = 1; i <= cur_node; ++i){
        for(int j = 0; j <= 3; ++j){
            printf("f[%d][%d] = %d\n",i,j,f[i][j]);
        }
    }
    for(int i = 1; i <= cur_node; ++i){
        printf("dep[%d] = %d\n",i,dep[i]);
    }
*/
    return 0;
}