[SCOI2005] 互不侵犯

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给出一个n*n的棋盘（$n \leq 9$），放$k$个骑士，每个骑士可以攻击相邻的八个方向。问所有骑士互不侵犯的摆放方案数。

解题思路

决策问题可以通过搜索解决，而DP就是记忆化搜索。而在这里，我们直接考虑整排的决策比较方便。

在搜索时我们需要利用到哪些信息来完成决策？显然能影响到当前决策的有上一排的各个骑士位置，还能用几个骑士。而上一排的各个骑士位置是一个布尔数组，转化为DP的话这就成为了DP的一个状态。数据范围小的时候，我们是可以直接将布尔数组转为二进制作为状态的。我们称这种DP方法为状态压缩DP。

分析DP的时间复杂度，一般是状态数量乘上转移的复杂度。这里状态数是$O(2^nnk)$，而转移时枚举上一行状态$O(2^n)$，故总复杂度为$O(2^{2n}n^3)$。

这样的复杂度是过不了的。而事实上，一行内的合法状态数远不足$2^n$，所以我们可以预处理出每一行的合法状态数，这样就能过了。

$Code$

/*By QiXingzhi*/
#include <cstdio>
#define  N  (4010)
#define  r  read()
#define  INF   (0x3f3f3f3f)
#define  Max(a,b)  (((a)>(b)) ? (a) : (b))
#define  Min(a,b)  (((a)<(b)) ? (a) : (b))
typedef long long ll;
#define  int ll
using namespace std;
inline int read(){
    int x = 0; int w = 1; register int c = getchar();
    while(c ^ '-' && (c < '0' || c > '9')) c = getchar();
    if(c == '-') w = -1, c = getchar();
    while(c >= '0' && c <= '9') x = (x << 3) +(x << 1) + c - '0', c = getchar();
    return x * w;
}
int n,K,tot,ans;
int sta[N],num[N],f[12][N][144];
void Dfs(int x, int cur, int sum){
    if(x >= n){
        ++tot;
        sta[tot] = cur;
        num[tot] = sum;
        f[1][tot][sum] = 1;
        return;
    }
    Dfs(x+1,cur,sum);
    Dfs(x+2,cur+(1<<x),sum+1);
}
#undef int
int main(){
#define  int ll
    n=r,K=r;
    Dfs(0,0,0);
    for(int i = 2; i <= n; ++i){
        for(int j = 1; j <= tot; ++j){
            for(int k = 1; k <= tot; ++k){
                if(sta[j] & sta[k]) continue;
                if(sta[j] & (sta[k] << 1)) continue;
                if(sta[j] & (sta[k] >> 1)) continue;
                for(int s = num[j]; s <= K; ++s){
                    f[i][j][s] += f[i-1][k][s-num[j]];
                }
            }
        }
    }
    for(int i = 1; i <= tot; ++i) ans += f[n][i][K];
    printf("%lld",ans);
    return 0;
}