Zorn's Lemma

Zorn's Lemma陈述如下：在偏序集\(P\)中，如果\(P\)的每一条链都有一个\(P\)中元素作为上界，那么\(P\)中存在极大元。

Proof

反证法，假如\(P\)中没有极大元。那么对于\(P\)的任意一条链\(C\subseteq P\)，我们一定能在\(P\setminus C\)中找到一个元素作为\(C\)的上界（如果不是这样，那么既然\(C\)一定有一个上界，这个上界只能在\(C\)内部。如果\(C\)是无穷的，那么这是不可能的；如果\(C\)是有穷的，那么这个上界就是\(C\)的末端点，\(P\)中没有元素比它大，说明这是一个极大元，矛盾）。我们任取这样一个可行的上界，记为\(g(C)\)（其中，\(g\)是由我们的选择给出的\(\mathscr{Pow}(P)\to P\)的映射。注意，这里我们假设了集合论中的选择公理(Axiom of Choice)成立）。

对于\(P\)的任意子集\(S\)，记\(S_{<a}=\{x\in S\mid x<a\}\)。称链\(C\)是一条\(g\)链，如果\(C\)中不存在无穷下降的子链（i.e. \(c_i\in C,c_1>c_2>\cdots>c_n>\cdots\)）且\(\forall a\in C,g(C_{<a})=a\)。

下面我们证明(Lemma 1)：如果\(A,B\)是两条不同的\(g\)链，那么\(\exists b\in B,A=B_{<b}\)与\(\exists a\in A,B=A_{<a}\)中至少有一个成立（这个Lemma想说，两条不同的\(g\)链一定一条包含另一条，偏序集中只有一条“完整的”\(g\)链）。记\(C=\{c\in A\cap B\mid A_{<c}=B_{<c}\}\)。那么\(C\subseteq A\)。如果\(C\neq A\)，那么考虑\(A\setminus C\)，\(A\setminus C\)是\(A\)的子链，它一定有最小元（设为\(a\)），不然就无穷下降了。那么\(A_{<a}\)中没有任何\(A\setminus C\)中的元素，而\(A_{<a}\subseteq A\)，因此\(A_{<a}\subseteq C\)。此时考虑\(C\setminus A_{<a}\)，如果其中存在元素\(c\)，那么\(c\not\in A_{<a}\)，也即\(c\geq a\)。而\(a\in A\setminus C\)，因此\(a\not\in C\)，因此\(a\not\in C\setminus A_{<a}\)，因此\(a\neq c\)。所以\(c>a\)，所以\(a\in A_{<c}\)。而\(c\in C\)，因此\(A_{<c}=B_{<c}\)。而\(\forall c'\in A_{<c}\)，若\(c'<c\)，则\(A_{<c'}=B_{<c'}\)，且\(c'\in A\cap B\)，因此\(c'\in C\)。所以\(A_{<c}\subseteq C\)，这说明\(a\in C\)，矛盾。 综上，\(C\neq A\implies C=A_{<a}\)。对称地，\(C\neq B\implies C=B_{<b}\)，其中\(b\)是\(B\setminus C\)的最小元。设\(C\neq A\)且\(C\neq B\)，那么\(C=A_{<a}=B_{<b}\)。根据\(g\)链的定义，\(g(A_{<a})=a\)，\(g(B_{<b})=b\)，而\(A_{<a}=B_{<b}\)，所以\(g(A_{<a})=g(B_{<b})\)，因此\(a=b\)。而\(a\in A,b\in B\)，所以\(a\in C\)。而\(a\in A\setminus C\)，矛盾。因此\(C=A\)与\(C=B\)中有且仅有一个成立（因为\(A\neq B\)）。假如\(C=A\)，那么\(C\neq B\)，这推出\(C=B_{<b}\)，可见\(A=B_{<b}\)；假设\(C=B\)，那么\(C\neq A\)，这推出\(C=A_{<a}\)，可见\(B=A_{<a}\)。证毕。

把所有的\(g\)链收集进集合\(G\)，记\(E=\bigcup\limits_{C\in G}C\)（\(E\in \mathscr{Pow}(P)\)）。下面我们证明\(\forall a\in E\)，如果\(A\in G\)且\(a\in A\)，那么\(A_{<a}=E_{<a}\)(Lemma 2)（这个Lemma想说：\(E\)中每个元素都满足，所有比它小的元素恰好就是这个元素所在的\(g\)链中比它小的元素）。显然\(A\subseteq E\)，因此\(A_{<a}\subseteq E_{<a}\)。那么只需证\(E_{<a}\subseteq A_{<a}\)。\(\forall x\in E_{<a}\)，存在\(B\in G\)使得\(x\in B\)。对\(B\)分类讨论，如果\(B\subseteq A\)，那么\(x\in A_{<a}\)；如果\(B\not\subseteq A\)，那么\(A\neq B\)，由Lemma 1可知\(\exists b\in B,A=B_{<b}\)与\(\exists a\in A,B=A_{<a}\)中至少有一个成立。后者意味着\(B\subseteq A\)，矛盾，因此一定是前者成立。因为\(a\in A\)，于是\(a\in B_{<b}\)，所以\(a<b\)。而\(x<a\)，因此\(x<b\)。因此\(x\in B_{<b}\)。因此\(x\in A\)。而\(x<a\)，因此\(x\in A_{<a}\)。综上，\(E_{<a}\subseteq A_{<a}\)。证毕。

下面证明\(E\)是链。\(\forall a,b\in E\)，存在\(A\in G\)使得\(a\in A\)，存在\(B\in G\)使得\(b\in B\)。由Lemma 1可知，两条\(g\)链必然有一条包含在另一条中。若\(A\subseteq B\)，则\(a,b\in B\)，因此可比较大小；若\(B\subseteq A\)，则\(a,b\in A\)，因此也可以比较大小。由此可见\(E\)中任意两个元素都可以比较大小，因此\(E\)是链。

下面证明\(E\)是\(g\)链。先证\(E\)没有无穷下降的子链。如果\(E\)有无穷下降的子链\(a_1>a_2>\cdots\)，设\(a_1\in A\)且\(A\in G\)，那么\(\forall i>1,a_i<a_1\)，因此\(a_i\in E_{<a_1}\)。由Lemma 2可知，\(E_{<a_1}=A_{<a}\)。因此\(a_i\in A_{<a}\)。这说明\(A\)有无穷下降的子链，与\(A\)是\(g\)链矛盾。再证\(\forall a\in E,g(E_{<a})=a\)。设\(a\in A,A\in G\)，那么\(g(A_{<a})=a\)。根据Lemma 2，\(E_{<a}=A_{<a}\)，因此\(g(E_{<a})=a\)。

下面证明\(F=E\cup \{g(E)\}\)也是\(g\)链。\(E\)中元素可以两两比较大小，\(g(E)\)作为上界可以和所有\(E\)中元素比较大小，因此\(F\)中元素可以两两比较大小；因为\(E\)中不存在无穷下降的子链，因此加上一个元素后还是不存在无穷下降的子链；\(\forall a\in E\)，因为\(E\)是\(g\)链，\(g(E_{<a})=a\)，而\((E\cup \{g(E)\})_{<g(E)}=E\)，因此\(g((E\cup \{g(E)\})_{<g(E)})=g(E)\)。综上，\(F\)是\(g\)链。

\(\forall E'\in \mathscr{Pow}(P)\)，如果\(E'\)是\(g\)链，那么\(E'\subseteq E\)。而\(F\)是\(g\)链，可是\(F\not\subseteq E\)。矛盾。

Qed.

Remark

上述证明过程用到了选择公理（给定一族集合，那么可以从每个集合中选一个元素组成一个新的集合）。事实上可以证明，在集合论的ZF公理体系下，如果承认除了选择公理以外的其它公理以及Zorn's Lemma，那么可以推出选择公理。这说明，Zorn's Lemma是集合论的ZF公理体系中选择公理的等价表述。