环的基本性质

环

环的定义与基本性质

下面我们定义一种新的代数结构。如果一个集合\(R\)上有两种二元运算\(+\)与\(\cdot\)分别满足\((R,+)\)构成一个交换群，\((R,\cdot)\)满足封闭性和结合律，同时加法对乘法满足分配律（\(\forall a,b,c\in R,a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c,(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c\)），就称\((R,+,\cdot)\)构成环(ring)。

注意到，在环的定义中并没有要求乘法单位元存在，存在乘法单位元的环称为有幺环。其次，环中的加法始终满足交换律，但乘法交换律是没有保证的，所以当我们说“交换环”时特指环中的乘法运算也满足交换律。在环中，加法单位元记为\(0\)，乘法单位元（如果存在）记为\(1\)。\(R=\{0\}\)是最小的环，称为零环。除非特别说明，我们一般都只讨论有幺环。

基于环的定义，可以证明以下运算法则成立：① \(a\cdot 0=0\cdot a=0\)（Pf：根据分配律，\(a\cdot(0+0)=a\cdot0+a\cdot 0\)，而\(0+0=0\)因此\(a\cdot (0+0)=a\cdot 0\)，由加法群的消去律可得\(a\cdot 0=0\)。另一侧同理）；② \((-a)\cdot b=a\cdot (-b)=-(a\cdot b)\)，其中\(-a\)是\(a\)的加法逆元（Pf：\((a+(-a))\cdot b=0\cdot b=0\)，因此\((-a)\cdot b=-(a\cdot b)\)；另一侧同理）；③ \((-a)\cdot (-b)= a\cdot b\)（Pf：\((-a)\cdot (-b)=-(a\cdot (-b))=-(-(a\cdot b))=a\cdot b\)）；④ 对于至少有两个元素的有幺环，\(1\neq 0\)（Pf：假如\(1=0\)，那么\(\forall a\in R,a=1\cdot a=0\cdot a=0\)，所以所有元素都是0，与至少有两个元素矛盾）；⑤ 乘法单位元唯一（Pf：假如有\(1\neq 1'\)，那么\(1\cdot 1'=1=1'\)，矛盾）。由此可见，环中其实定义好了加、减、乘三种运算，它们的运算法则除了乘法交换律以外和我们熟悉的实数情形是完全相同的。

如果\(a\neq 0,b\neq 0\)，而\(a\cdot b=0\)，我们就称\(a\)和\(b\)都是零因子(zero divisors)（顾名思义它们是“能整除0的数”）。对于有幺环\(R\)，如果\(a\in R\)存在乘法逆元，就称\(a\)为一个unit。例如，\((\Z,+,\cdot)\)是环，它没有零因子，unit只有\(\pm 1\)；\((\Z_n,+,\cdot)\)是环（加法和乘法都是模\(n\)意义下的），当\(n=4\)时，它的零因子为\(2\)，unit有\(1\)和\(3\)。零因子一定不是unit，unit一定不是零因子。假如存在\(w\in R\)既是零因子又是unit，那么存在\(u\neq 0\)使得\(uw=0\)，存在\(v\)使得\(wv=1\)，那么\(uwv=u\)。而\(uwv=(uw)v=0\)，因此\(u=0\)，矛盾。

把有幺环\(R\)中所有的unit收集在一起，这些元素就构成了乘法群。为此，只需证明unit与unit的乘积依然是unit。设\(a,b,c,d\in R\)，\(ac=1,bd=1\)，那么\((ab)(dc)=a(bd)c=1\)，因此\(ab\)是unit，证毕。例如，\((\Z_n,+,\cdot)\)中unit是所有与\(n\)互素的数（只有这样根据费马小定理乘法逆元才存在），它们构成群\((\Z_n^*,\cdot)\)

环中乘法消去律成立（左消去律与右消去律，并且我们特别要求只能消去非零元）当且仅当环中无零因子。左推右，如果存在零因子，那么\(\exists a,b\neq 0\)使得\(a\cdot b = 0\)，那么\(a\cdot b = a\cdot 0\)，由消去律可得\(b=0\)，矛盾；右推左，对于\(ab=ac\)，有\(a(b-c)=0\)，由于不存在零因子，一定有\(a=0\)或\(b-c=0\)。因此推出\(a\neq 0\implies b=c\)（同理\(ba=ca\)推出\(a\neq 0\implies b=c\)）。

整环、除环、域

如果一个环有乘法单位元、乘法满足交换律、无零因子，就称它为整环(integral domain)。整环是无零因子的有幺交换环，或满足乘法消去律的有幺交换环。\((\Z,+,\cdot)\)是整环。

如果一个环中的所有非0元素都有乘法逆元，就称它为除环(division ring)。可见，除环中的所有非零元素不仅关于加法构成了群，关于乘法也构成了乘法群。进一步，如果这个乘法群是阿贝尔群，就称它为域(field)。域是满足乘法交换律的除环。有理数、实数、复数关于加法和乘法都构成域，分别称为有理数域、实数域、复数域。域满足加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、分配律，是一个拥有非常完好性质的代数结构。

Rmk. 除环无零因子：如果\(ab=0\)，那么\(b=a^{-1}\cdot 0=0\)，\(a=0\cdot b^{-1}=0\)。但除环不一定满足交换律，因此不一定是整环。

Rmk. 域是除环，因此无零因子，同时满足交换律，因此是整环。然而整环不一定是域，比如\((\Z,+,\cdot)\)。

有限整环一定是域。由于整环已经满足交换律和有单位元，只需证明有限整环中所有非零元素都有乘法逆元。为此，对于环\(R\)，\(\forall a\in R\setminus\{ 0\}\)我们构造\(R\to R\)的映射\(f(r)=ar\)。由于整环有乘法消去律，因此\(f(r)\)是单射。而\(R\)是有限的，因此\(f\)是满射。这说明\(f\)是一个双射，并且\(0\)一定被映射到\(0\)。因此对于\(R\setminus \{0\}\)来说这也是一个双射。因此\(\forall a\in R\setminus \{0\}\)，一定存在一个\(r\neq 0\)使得\(f(r)=ar=1\)，也即任何非零元素都有乘法逆元，证毕。

子环

和群类似，如果环\(R\)的子集\(S\)构成一个环，就称\(S\)是\(R\)的子环。同样，容易证明，子环与子环的交依然是子环。同样，对于任意\(R\)子集\(S\)，使得\(S\subseteq R'\)的最小子环\(R'\)为\(S\)生成的子环，记为\(\lang S\rang\)。\(S\)称为\(R'\)的生成元集。\(S\)是所有包含\(S\)的子环的交。

要判定子环，一般先用判定子群的方法验证是否是子群，再考虑乘法是否满足封闭性即可（结合律和分配律是继承的）。例如，考虑整数环\(\Z\)的子环。首先子环一定是子群，而\(\Z\)作为循环群其子群只能是\(d\Z\)。而\(d\Z\)总是满足乘法封闭性的，因此\(\Z\)的所有子环就是\(d\Z\)。再考虑下面这个复数域的子集\(\{a+bi\mid a,b\in \Z\}\)，其中\(i=\sqrt{-1}\)。容易验证这关于复数加法构成阿贝尔群，并且关于复数乘法封闭，因此这是一个子环。它有单位元，是交换环，同时由于复数域\(\C\)无零因子（考虑模长），因此它也无零因子。所以这是一个整环，称为高斯整环，记为\(\Z[i]\)。形如\(\{a+b\theta\mid a,b\in \Z\},\theta=\sqrt{-d},d\in \N^+\)的环都是整环，称为广义高斯整环，记为\(\Z[\theta]\)。

环同态

我们已经多次看到，一个代数结构的“结构”完全体现在它定义的运算上。当两个代数结构之间存在一个保运算的映射时，我们就说它们有相同的结构。当元素个数相同时，称之为“同构”；当元素个数不同时，称之为“同态”。前者是以一一对应的方式保持结构，后者是按照一个确定的颗粒度以多对一的方式保持结构。因此我们这样定义环同态(Ring Homomorphism)：称\(f\)是环\(R\)到环\(S\)的同态映射，当且仅当\(\forall a,b\in R\)有\(f(a+b)=f(a)+f(b)\)，\(f(ab)=f(a)f(b)\)，同时\(f(1_R)=1_S\)。可以看到我们要求环同态同时保加法运算和乘法运算，另外额外要求乘法单位元必须映射到对应的乘法单位元（我们只对有幺环讨论环同态）。如果\(f\)是双射，则称\(f\)是\(R\to S\)的同构映射。

定义环同态\(f:R\to S\)的kernel是所有被映射到加法单位元\(0\)的元素的集合：\(\ker (f)=\{r\in R\mid f(r)=0\}\)。因此这实际上是环上的加法群的kernel。我们可以继承群同态中kernel的性质，例如\(f\)是单射当且仅当\(\ker(f)=\{0\}\)依然成立，\((\ker(f),+)\)是\((R,+)\)的（正规）子群。下面我们验证\(\ker(f)\)是\(R\)的子环：只需验证\(\ker(f)\)对乘法封闭，而\(\forall a,b\in \ker(f)\)，\(f(ab)=f(a)f(b)=0\cdot 0=0\)，因此\(ab\in \ker(f)\)，证毕。

理想(Ideals)

我们发现\(\ker(f)\)作为子环有这样一种吸纳性质：\(\forall r\in R\)，\(r\ker(f)\subseteq \ker (f)\)。因为\(\forall a\in \ker(f)\)，\(f(ra)=f(r)f(a)=f(r)\cdot 0 = 0\)，因此\(ra\in \ker(f)\)。同理，\(\forall r\in R,\ker(f)r\subseteq \ker(f)\)。我们抽象出kernel所具有的这种吸纳性质，定义理想：称\(R\)的子集\(I\)是一个理想，当且仅当\(I\)满足：① \(I\)关于加法是\(R\)的子群；②左吸纳： \(\forall r\in R,rI\subseteq I\)；③右吸纳： \(\forall r\in R,Ir\subseteq I\)。（如果只有①②满足，则称为左理想(left ideal)；如果只有①③满足，则称为右理想(right ideal)）。理想一定是一个子环，为此只需验证乘法封闭性：\(\forall i_1,i_2\in I,i_1\cdot i_2\in i_1 I\subseteq I\)。\(\ker (f)\)总是\(R\)的理想。（为什么要取名叫理想呢？可能是因为“理想”的东西都有很大的吸引力吧）

设\(I\)是\(R\)的理想。首先\(I\)是\(R\)的关于加法的正规子群（正规性缘于交换群），因此可以写出关于加法的商群\(R/I=\{r+I\mid r\in R\}\)（注意这里的\(r+I\)表示陪集，因为我们采用了加法作为运算的符号）。我们已经知道，商群中陪集的加法满足\((r+I)+(s+I)=(r+s)+I\)。那么我们能否进而定义陪集的乘法使得商群上升为商环(quotient rings)呢？仿照陪集加法，我们定义陪集的乘法：\((r+I)(s+I)=rs+I\)。显然这样的乘法满足封闭性，结合律和分配律。但我们关键还要验证这是well-defined的：这个运算必须要是\(R/I\times R/I\to R/I\)的映射，两个确定的陪集做运算不能有得到超过一个陪集作为结果的可能性。也就是我们要证明，\(\forall r'\in r+I,s'\in s+I\)，\(rs+I=r's'+I\)。理想的性质保证了这一点：由条件得\(r-r'\in I,s-s'\in I\)，也即存在\(i_1=r-r',i_2=s-s'\)，因此\(rs-r's'=(i_1+r')(i_2+s')-r's'=i_1i_2+i_1s'+r'i_2\)，其中\(i_1i_2\in I,i_2s'\in Is'\subseteq I,r'i_2\in r'I\subseteq I\)，综上\(rs-r's'\in I\)，也即\(rs+I=r's'+I\)。这就是为什么我们不能对任意的\(R\)的加法子群定义商环，而是只有在附加上理想这一条件后才使得商环是良定义的。

注意，商环中的乘法并不是集合的乘法关系。考虑\((\Z,+,\cdot)\)的理想\(2\Z\)，集合乘法意义下\((0+2\Z)(0+2\Z)=(2\Z)(2\Z)=4\Z\)，而商环中\((0+2\Z)(0+2\Z)=0+2\Z=2\Z\)。

\(\{0\}\)总是一个理想，因为任何元素乘以0都得0；\(R\)总是一个理想，因为任何元素乘以\(R\)中元素都落在\(R\)中。这两个理想是任何环都具有的，称为平凡理想(Trivial Ideal)。除环只有平凡理想：除环中任何非零元都有乘法逆元，此时如果存在一个不平凡理想，\(\{0\}\subsetneq I\)，那么存在非零元素\(a\in I\)，它有乘法逆元\(a^{-1}\)。根据吸纳性质，\(a^{-1}I\subseteq I\)，因此\(a^{-1}a=1\in I\)。而\(\forall r\in R,r\cdot 1=r\in rI\subseteq I\)，因此\(R\subseteq I\)。可见\(I=R\)，矛盾。由于域是除环，因此域也只有平凡理想。可以证明从一个只有平凡理想的环出发的任何同态映射都一定是单射：因为kernel是理想，所以kernel要么是\(R\)要么是\(\{0\}\)。前者会把\(1_R\)映射成\(0\)，不满足同态的保单位元的定义，因此kernel只能是\(\{0\}\)。于是根据群同态的性质推出这是单射。这说明，域（或除环）的同态是一种相当简单的关系，它不存在多对一的情况：一个域与另一个域同态当且仅当另一个域中存在与这个域同构的子域，也即这个域被“嵌入”在另一个域当中。

对于环\(R\)的子集\(X\)，定义\((X)\)是包含\(X\)的最小理想，称为由\(X\)生成的理想。假如\(R\)是有幺环，那么有\((X)=\{\sum\limits_{x\in X}r_1 xr_2\mid r_1,r_2\in R\}\)（验证所有\((X)\)中存在的元素都可以写成这样的形式，同时每个写成这样形式的元素都必须落在\((X)\)中）。进一步如果是交换环，那么可以简化为\((X)=\{\sum\limits_{x\in X}r x\mid r \in R\}\)。如果一个理想的生成元只有一个元素\(a\)，就称这个理想是一个主理想(principal ideal)，记为\((a)\)。交换环的主理想\((a)=\{ra\mid r\in R\}=Ra=aR\)。

两个理想的加法定义为\(I+J:=\{x+y\mid x\in I,y\in J\}\)（这只是沿用了群的乘积的定义罢了）。理想与理想的和依然是理想：首先因为加法阿贝尔群，子群的和依然是子群；\(\forall r\in R\)，\(r(I+J)=\{rx+ry\mid x\in I,y\in J\}\subseteq rI+rJ\subseteq I+J\)；\(\forall r\in R,(I+J)r\subseteq I+J\)。理想与理想的交依然是理想：首先子群与子群的交依然是子群；\(\forall r\in R\)，\(r(I\cap J)=\{rx\mid x\in I\and x\in J\}\subseteq \{rx\mid x\in I\}=rI\subseteq I\)，同时\(r(I\cap J)\subseteq J\)，因此\(r(I\cap J)\subseteq I\cap J\)。

环的同构定理

对于任意的理想\(I\)，其关于商环（加法商群）的自然映射\(\pi(r)=r+I\)是关于加法运算的自然群同态。而事实上，它也是环同态。它保乘法运算：\(\pi(rs)=rs+I=(r+I)(s+I)=\pi(r)\pi(s)\)。保单位元：\(\pi(1_R)=1_R+I=1_{R/I}\)。由此可见，我们总是可以由理想定义环的自然同态。理想就是这个自然同态的kernel。

在讨论群同构中，分解定理告诉我们任何群同态都可以分解为自然同态与另一个群同态的复合：对于群同态\(f:R\to S\)，如果\(I\subseteq \ker(f)\)，那么可以构造商群\(R/I\)到\(S\)的群同态\(\bar f(a+I)=f(a)\)从而得到\(f=\bar f\circ \pi\)。这里我们取理想\(I\)作为群\((R,+)\)的正规子群。现在假如\(f\)是环同态，我们已经验证了\(\pi\)也是环同态，如果能验证\(\bar f\)也是环同态，那么我们就得到了环上的分解定理：任何环同态都能分解为自然同态与另一个环同态的复合。只需验证\(\bar f\)保乘法运算：\(\bar f((a+I)(b+I))=\bar f(ab+I)=f(ab)\)\(=f(a)f(b)=\bar f(a+I)\bar f(b+I)\)；保单位元：\(\bar f(1_R+I)=f(1_R)=1_S\)。

接下来只需要再次运用讨论群同态时的论证就能得到，当\(\ker(f)=I\)时\(f\)是单射，这样我们就立即得到了环的第一同构定理：\(R/\ker (f)\cong f(R)\)。这里与群的同构定理唯一的区别就在于，我们论证了\(\pi\)和\(\bar f\)是能够保乘法运算和单位元的。群的三个同构定理都是基于分解定理的，所以一旦我们有了环的分解定理就可以自然地继承群的所有同构定理，得到三个环的同构定理。仿照群的第二同构定理，把自然同态\(\pi\)的定义域限制到子环\(S\)上，得到环的第二同构定理\((S+I)/I\cong S/(S\cap I)\)。仿照群的第三同构定理，设\(I,J\)是\(R\)的理想且\(I\subseteq J\)，得到环的第三同构定理\(R/J\cong (R/I)/(J/I)\)。

同样，我们需要补充论证环同态下“左子环右子环”的系列性质。由于环同态一定意味着群同态，而群同态下左子群右子群的性质已经成立，我们只需验证乘法封闭性即可（结合律始终成立）。设\(f:R\to R'\)是环同态，那么\(S\)是\(R\)的子环\(\implies f(S)\)是\(R'\)的子环（左子环右子环）：\(\forall s_1,s_2\in S\)，\(f(s_1)f(s_2)=f(s_1s_2)\in f(S)\)（推论：\(f(R)\)是\(R'\)的子环）；\(S'\)是\(R'\)的子环\(\implies f^{-1}(S')\)是\(R\)的子环（右子环左子环）：\(\forall s_1,s_2\in f^{-1}(S')\)，\(f(s_1),f(s_2)\in S'\)，因此\(f(s_1)f(s_2)=f(s_1s_2)\in S'\)，因此\(s_1s_2\in f^{-1}(S')\)；\(I\)是\(R\)的理想\(\implies f(I)\)是\(f(R)\)的理想（左理想右理想，带条件）：只需证吸纳，\(\forall f(r)\in f(R)\)，\(f(r)f(I)=f(rI)\subseteq f(I)\)；\(I'\)是\(R'\)的理想\(\implies f^{-1}(I')\)是\(R\)的理想（右理想左理想）：\(\forall r\in R\)，\(\forall i\in f^{-1}(I')\)，\(f(i)\in I'\)，因此\(f(r)f(i)=f(ri)\in I'\)，因此\(ri\in f^{-1}(I')\)。

环与商环间的一一对应

同样，和群与商群间的一一对应相同，有环与商环间的一一对应关系：对\(R\)的理想\(I\)，令\(S_1=\{S\mid S \text{ is a subring of }R \and I\subseteq S\subseteq R\}\)，\(S_2=\{K\mid K \text{ is a subring of }R/I\}\)，\(S_1\)与\(S_2\)间有自然同态引发的双射\(\pi (S)=S/I\)。

环的外直积

同样，可以定义环的外直积：\(R_1\times \cdots \times R_n=\{(a_1,\cdots,a_n)\mid a_i\in R_i\}\)，外直积环中的加法运算对应每项分别做加法，乘法对应每项分别做乘法。

中国剩余定理(Chinese Remainder Theorem, CRT)

数论中的中国剩余定理是求解同余方程组的算法。设\(n_1,\cdots,n_m\)两两互素，如何求解方程组\(x\equiv a_1\pmod {n_1},\cdots,x\equiv a_m\pmod {n_m}\)？首先我们求解方程组\(u_1\equiv 1\pmod{n_1},u_1\equiv 0\pmod{n_i,i\neq 1}\)。此时有\(u_1=kn_2n_3\cdots n_m,u_1-1=sn_1\)，联立得\(k(n_2\cdots n_m)-sn_1=1\)，由于\(n_i\)两两互素，所以\(\gcd(n_2\cdots n_m,n_1)=1\)，那么可以根据扩展欧几里得求出\(k,s\)，进而求出\(u_1\)。接着，用完全相同的方法求出\(u_2\equiv 1\pmod{n_2},u_2\equiv 0\pmod{n_i,i\neq 2}\)。依此类推，求出所有的\(u_1,\cdots,u_m\)。于是我们可以用\(u_i\)表示出\(x\)：\(x\equiv a_1u_1+a_2u_2+\cdots+a_mu_m\pmod{n_1n_2\cdots n_m}\)。

中国剩余定理本质上指出了这样一件事：我们知道显然可以构造映射\(x\to (x\mod n_1,\cdots,x\mod n_m)\)，而通过中国剩余定理我们得知其逆映射\((x\mod n_1,\cdots,x\mod n_m)\to x\)也存在。也就是说，\(x\)与\((x\mod n_1,\cdots,x\mod n_m)\)是一一对应的。进一步我们可以验证保加法运算和乘法运算，证明环同构：\(\Z_{n}\cong \Z_{n_1}\times \cdots \times \Z_{n_m}\)。

既然数论的中国剩余定理是基于整数环\((\Z,+,\cdot)\)给出的一个环同构，那么能否把这一定理推广到任意一个环\(R\)上呢？在整数环中，剩余系可以理解为主理想的陪集：对于\(n_i\)，其生成的主理想\((n_i)=n_i\Z\)包含所有模\(n_i\)余0的整数，那么所有模\(n_i\)余\(a_i\)的整数就对应于陪集\(a_i+(n_i)\)。因此\(x\equiv a_i \pmod{n_i}\iff x\in a_i+(n_i)\)\(\iff x-a_i\in (n_i)\)。现在对于任意理想\(I\)，我们也把\(a-b\in I\)记为\(a\equiv b\pmod{I}\)。同时，\(\gcd(n_i,n_j)=1\iff 1\in (n_i)+(n_j)\)\(\iff (n_i)+(n_j)=\Z\)，那么也定义理想\(I,J\)互素(relatively prime)当且仅当\(I+J=R\)。根据我们原来定义的符号，数论的中国剩余定理写为\(\Z/\bigcap\limits_{i=1}^{m}(n_i)\cong \Z/(n_1)\times \cdots \times \Z/(n_m)\)。那么一般形式的中国剩余定理写为：给定环\(R\)及其中\(m\)个两两互素的理想\(I_1,\cdots,I_m\)，那么\(R/\bigcap\limits_{i=1}^{m}I_i\cong R/I_1\times \cdots \times R/I_m\)。

我们在一般形式下再次证明中国剩余定理：构造映射\(f:R\to R/I_1\times \cdots \times R/I_m\)，\(\forall r\in R,f(r)=(r+I_1,\cdots,r+I_m)\)。容易验证\(f\)是同态映射（保加法，保乘法，保单位元）。根据第一同构定理，\(R/\ker(f)\cong f(R)\)。\(\forall x\in \ker(f)\)，\(x+I_i=I_i,\forall i\in [m]\)。因此\(\forall i\in [m],x\in I_i\)。也即\(\ker(f)\subseteq \bigcap\limits_{i=1}^{m}I_i\)。而显然\(\bigcap\limits_{i=1}^{m}I_i\subseteq \ker(f)\)，因此\(\ker(f)=\bigcap\limits_{i=1}^{m}I_i\)。接下来只要证\(f\)是满射，这就是要证明\(\forall r_1+I_1\in R/I_1,\cdots, r_m+I_m\in R/I_m\)，存在\(r\in R\)使得\(r+I_1=r_1+I_1,\cdots,r+I_m=r_m+I_m\)，也即\(\forall i\in [m],r-r_i\in I_i\)。因此这就是要证明方程组\(r\equiv r_i\pmod{I_i}\)始终有解。仿照数论中的情形，我们只需解出\(m\)个方程组\(u_j\equiv 1\pmod{I_j},u_j\equiv 0\pmod{I_i,i\neq j}\)，就可以表示出\(r=r_1u_1+r_2u_2+\cdots+r_mu_m\)（验证：\(r-r_i=r_1u_1+\cdots+r_i(u_i-1)+\cdots+r_mu_m\)，其中\(\forall j\neq i,u_j\in I_i\)，根据吸纳性质\(r_ju_j\in I_i\)；另一方面，\(u_i-1\in I_i\)，根据吸纳性质\(r_i(u_i-1)\in I_i\)。综上，\(r-r_i\in I_i\)）。怎样证明\(u_j\)有解呢？不失一般性，我们证明\(u_1\)存在。\(\forall i>1,1\in I_1+I_i\)，因此存在\(b_i\in I_1,c_i\in I_i\)使得\(b_i+c_i=1\)。那么\(\prod\limits_{i=2}^{m}(b_i+c_i)=1\)。把左侧展开，得\((\sum \cdots)+\prod\limits_{i=2}^{m}c_i=1\)。因为\((\sum\cdots)\)中每一项都包含一个\(b_j\in I_1\)，因此整体一定\(\in I_1\)（再次用到了理想的吸纳性质）。记\(C=\prod\limits_{i=2}^{m}c_i\)，则\(C\in I_2\and C\in I_3\and \cdots\and C\in I_m\)，也即\(C\equiv 0\pmod{I_i},\forall i>1\)。而\(1-C\in I_1\)，因此\(C\equiv 1\pmod{I_1}\)。可见\(C\)就是我们要找的\(u_1\)。这样我们就解出了\(u_j\)。综上，\(f(R)= R/I_1\times \cdots \times R/I_m\)，因此\(R/\bigcap\limits_{i=1}^{m}I_i\cong R/I_1\times \cdots \times R/I_m\)。

极大理想与素理想

极大理想

如果环\(R\)的一个真理想\(I\)满足，\(R\)中不存在任何一个包含\(I\)的真理想，那么就称\(I\)是\(R\)的一个极大理想(maximal ideal)。我们可以构造一个\(R\)上所有真理想的基于集合包含关系的偏序集，那么极大理想就是这个偏序集上的极大元。我们可以证明，任何环\(R\)都至少存在一个极大理想。当\(R\)有限时，这是显然的。我们证明当\(R\)无限时这个结论依然成立：根据Zorn's Lemma，如果一个偏序集的任何一条链都有一个偏序集内的元素作为上界，那么这个偏序集存在极大元。那么对于偏序集（基于集合的包含关系）\(S=\{I\mid I\text{ is a proper ideal of }R\}\)，那么我们只需证明\(S\)中的任何一条链都有一个\(S\)中的元素作为上界（\(S\)不为空，因为零环是一个真理想）。对于\(I_1\subseteq I_2\subseteq \cdots \subseteq \cdots\)，取上界\(\bigcup\limits_{i=1}^{\infty}I_i\)，因为\(\forall i,I_i\subsetneq R\)，说明任何\(I_i\)都不包含乘法单位元\(1\)，因此\(1\not\in \bigcup\limits_{i=1}^{\infty}I_i\)，那么只需证明\(\bigcup\limits_{i=1}^{\infty}I_i\)是理想。\(\forall a,b\in \bigcup\limits_{i=1}^{\infty}I_i\)，不是一般性设\(I_k\subseteq I_m\)，\(a\in I_k,b\in I_m,\)，则\(a\in I_m\)。那么\(a-b\in I_m,ab\in I_m\)，可见\(\bigcup\limits_{i=1}^{\infty}I_i\)是子群且对乘法封闭。\(\forall r\in R,i\in \bigcup\limits_{i=1}^{\infty}I_i\)，设\(i\in I_m\)，则\(ri\in I_m\in \bigcup\limits_{i=1}^{\infty}I_i\)，因此满足吸纳性质。所以\(\bigcup\limits_{i=1}^{\infty}I_i\)是理想，任何环\(R\)都至少存在一个极大理想。

交换环\(R\)中的理想\(M\)是极大理想当且仅当商环\(R/M\)构成域。由于\(R\)是交换环，\(R/M\)一定也是交换环；由于\(R\)有幺，因此\(R/M\)也有幺。因此\(R/M\)是域当且仅当\(R/M\)中每个非0元素都有乘法逆元。下面我们证明\(M\)是极大理想\(\iff\) \((\forall a\in R,a+M\neq M\implies\exists b\in R\text{ s.t. }(a+M)(b+M)=1+M)\)。Pf：左推右：因为\(a\not\in M\)，\(M\subsetneq (a)+M\)，而\((a)+M\)也是理想，同时\(M\)是极大理想，因此只能是\((a)+M=R\)。在交换环中，\((a)=aR\)，因此\(aR+M=R\)，那么\(\forall r'\in R,\exists r\in R,m\in M\)使得\(ar+m=r'\)。取\(r'=1\)，则\(ar+m=1\)，因此\(ar-1\in M\)，也即\(ar+M=1+M\)。所以\((a+M)(r+M)=1+M\)，这样我们就找到了\(b=r\)；右推左：设\(I\)是理想且\(M\subsetneq I\)，只需证\(I=R\)。\(\forall a\in I\)，如果\(a\not\in M\)，那么\(\exists b\in R\)使得\((a+M)(b+M)=1+M\)，也即\(\exists m\in M\)使得\(ab-1=m\)。因此\(ab-m=1\)。而\(a\in I\)，因此\(ab\in I\)；\(m\in M\subsetneq I\)，因此\(m\in I\)，因此\(ab-m=1\in I\)，这说明\(I=R\)，证毕。

域是具有非常良好性质的代数结构。以上定理表明，在交换环中只要能找到极大理想，我们就能用这个极大理想的商环构造一个域。

素理想

整数（环）具有这样的性质：设\(n=ab\)，如果存在素数\(p\)使得\(p\mid n\)，那么要么成立\(p\mid a\)要么成立\(p\mid b\)。和中国剩余定理中的想法类似，我们可以用\(p\)生成的理想来表达“因数”，这样以上性质就可以写作：若\(ab\in (p)\)，那么要么\(a\in (p)\)要么\(b\in (p)\)。我们注意到，只有素数\(p\)才满足这样的性质，一般的合数是不具有这样的分解性质的（比如\(50=2\times 25\)，尽管\(10\mid 50\)，但\(10\mid 2\)和\(10\mid 25\)都不成立）。

我们把以上整数环中的素数性质抽象出来，定义理想的“素数”性质：称交换环\(R\)中的真理想\(P\)为素理想(prime ideal)，当且仅当\(\forall a,b\in R,ab\in P\implies\)\(a\in P\or b\in P\)。

交换环\(R\)中的理想\(P\)是素理想当且仅当商环\(R/P\)构成整环。由于\(R\)是交换环，\(R/P\)一定也是交换环；由于\(R\)有幺，因此\(R/P\)也有幺。因此\(R/P\)是整环当且仅当\(R/P\)中无零因子。那么我们要证明\(P\)是素理想\(\iff\) \((\forall a,b\in R， (a+P)(b+P)= P\implies a+P= P\or b+P= P)\)。右侧等价于\(\forall a,b\in R,ab\in P\implies a\in P\or b\in P\)。这就是素理想的定义，证毕。

极大理想与素理想的关系

我们看到，极大理想与素理想作为理想的特殊性会在其商环上表现出来，这种关系是当且仅当的，我们可以通过理想的商环是否是域或整环反推出理想是否是极大理想或素理想。环同态下的同构定理就给出了kernel作为极大理想和素理想的例子：设\(f\)是\(R\)出发的环同态，由第一同构定理\(R/\ker(f)\cong f(R)\)。若\(f(R)\)是域，那么\(R/\ker(f)\)也是域，所以\(\ker(f)\)是\(R\)的极大理想；若\(f(R)\)是整环，那么\(R/\ker(f)\)也是整环，所以\(\ker(f)\)是\(R\)的素理想。

我们发现，在交换环中极大理想一定是素理想！Pf：若\(M\)是极大理想，那么\(R/M\)是域，因此\(R/M\)一定是整环，所以\(M\)是素理想。反之，素理想不一定是极大理想。反例：在整数系数的多项式环\(\Z[x]\)上，构造映射\(f:\Z[x]\to \Z\)，\(f(a_0+a_1x_1+\cdots+a_nx^n+\cdots)=a_0\)，容易验证\(f\)是环同态。根据第一同构定理，\(\Z[x]/\ker(f)\cong \Z\)，而\(\Z\)是整环，因此\(\ker(f)\)是素理想。而\(\ker(f)\)是所有常数项为0的多项式，可以写作\(x\Z[x]\)，在交换环中这等价于\(x\)生成的主理想\((x)\)。而\((x)\subsetneq (2,x)\subsetneq \Z[x]\)，因此素理想\((x)\)不是极大理想。