有限群的结构
我们可以从有限群的大小\(|G|\)的质因数分解出发研究有限群的结构。
有限交换群
首先，我们研究交换群。对于交换群而言，所有子群都是正规子群。因此，所有的商集都会形成商群。由此我们能得到一些重要性质。
设\(G\)是有限交换群，\(|G|=n\)。假如\(n\)有素因子\(p\)，也即存在素数\(p\)使得\(n=pm\)，则\(G\)中存在order为\(p\)的元素（也就是说存在大小为\(p\)的子群，因为由这个元素可以生成循环子群）。为了证明这一点，我们对\(m\)归纳，并且对每个\(m\)对任意\(p\)给出证明。\(m=1\)时\(G\)是素阶群，任何非单位元的order都是\(n=p\)；假设小于\(m\)时上述性质已经成立：任取\(a\in G\)且\(a\)不是单位元，那么\(\lang a\rang \mid pm\)。记\(r=|\lang a\rang|\)，若\(p\mid r\)，则显然\(a^{r/p}\)的order就是\(p\)；若\(p\not\mid r\)，则取\(G\)的商集\(G/\lang a\rang\)。由于是交换群，任何子群都是正规子群，因此任何商集都是商群。那么\(|G/\lang a\rang|=n/r\)。因为\(|\lang a\rang|\mid pm\)而\(p\not\mid r\)，所以只能是\(r\mid m\)。因此\(|G/\lang a\rang|=p\cdot \dfrac{m}{r}\)，记\(m'=m/r\)，可以用归纳假设得到\(G/\lang a\rang\)中存在order为\(p\)的元素。也即，存在\(b\in G\)使得陪集\(b\lang a\rang\)在商群中的order为\(p\)。这意味着，\(b\not\in \lang a\rang\)（否则就有\(b\lang a\rang=\lang a\rang\)，则order为\(1<p\)），同时\(b^p\in \lang a\rang\)。那么，\((b^p)^r=(b^r)^p=e\)。这说明\(|\lang b^r\rang|\mid p\)，\(p\)是质数。只要证明\(b^r\neq e\)，我们就能说明\(b^r\)的order是\(p\)。因为\(\gcd(p,r)=1\)，根据扩展欧几里得存在\(x,y\)使得\(px+ry=1\)，这意味着\(b=b^{px+ry}=(b^p)^x\cdot b^{ry}\)。如果\(b^r=e\)，则\(b=(b^{p})^x\in \lang a\rang\)，这就与\(b\not\in\lang a\rang\)矛盾。因此\(b^r\neq e\)，证毕。
设有限交换群\(|G|=n\)，可以证明对任意的\(n\)的因子\(m\)，一定存在\(H\preceq G\)使得\(|H|=m\)。而我们知道根据Lagrange定理一个有限群的子群大小只可能是\(n\)的因子，因此有限交换群具有这样的性质：每个可能大小的子群都存在。依旧，我们对\(m\)归纳，并且对每个\(m\)对任意\(n\)给出证明。\(m=1\)时\(H=\{e\}\)；假设小于\(m\)时上述性质已经成立：若\(m\)是素数，由上面的定理可知\(G\)中存在\(m\)阶元素，这个元素生成的循环群就是\(m\)阶的；若\(m\)不是素数，那么存在素因子\(p\)使得\(p\mid m\)。那么\(p\mid n\)，由上面的定理可知\(G\)中存在\(p\)阶元素\(a\)。由此可以构建商群\(G/\lang a\rang\)，其大小为\(n/p\)。因为\(p\)是\(m,n\)的公因子，且\(m\mid n\)，因此\(m/p\mid n/p\)。那么根据归纳假设，\(G/\lang a\rang\)中存在大小为\(m/p\)的子群，由自然同态\(\pi:G\to G/\lang a\rang\)的逆映射我们找到了\(G\)中大小为\((m/p)\cdot p=m\)的子群（右子群左子群），证毕。
Sylow定理
对于一般的有限群，交换律不一定成立。此时我们有Sylow定理来基于\(|G|\)的质因数分解刻画群的结构。下面我们描述并证明这些定理，我们会看到在证明中我们将反复使用群在集合上的作用。
Sylow第一定理
设\(|G|=n\)有素因子\(p\)，我们提出所有的素因子，得到\(n=p^rm\)且\(p\not\mid m\)。Sylow第一定理指出，\(G\)一定有一个大小为\(p^r\)的子群。这个子群称为Sylow \(p\)-子群。（一般我们把一个大小为\(p\)的某个幂次的群称为一个\(p\)-群，如果它是一个子群就称\(p\)-子群。）
令\(G\)以元素左乘的方式作用在所有大小恰为\(p^r\)的\(G\)的子集集合上：\(X=\{S\mid S\subseteq G,|S|=p^r\}\)，\(f_g:S\to xS\)。由于左乘群的元素的映射是单射，因此不改变集合的大小，\(f_g\)确实是\(X\to X\)的映射，并且结合律和单位元显然成立。\(X\)的大小是\(\dbinom{n}{p^r}\)。由\(G\)在\(X\)上的作用，\(\dbinom{n}{p^r}\)个元素被分为了若干轨道。
一个重要的观察是，\(p\)一定不是\(\dbinom{n}{p^r}\)的因子。这是因为我们可以证明\(\dbinom{n}{p^r}\)和\(\dfrac{n}{p^r}\)在模\(p\)下同余，那么由\(n=p^rm\)中\(p\not\mid m\)就说明\(p\not\mid \dbinom{n}{p^r}\)。Pf：对任意整数\(X\)，\((X+1)^{p}=X^{p}+1+\sum\limits_{i=1}^{p-1}\dbinom{p}{i}X^i\)，其中\(\dbinom{p}{i}=\dfrac{p!}{i!(p-i)!}=p\cdot \dfrac{(p-1)!}{i!(p-i)!}\)，由于\(i<p,p-i<p\)，分母\(i!(p-i)!\)中不可能有\(p\)的因子，因此\(\dbinom{p}{i}\)始终是\(p\)的倍数。因此\((X+1)^p\equiv X^p+1\pmod p\)。于是，\((X+1)^{p^2}\equiv ((X+1)^p)^p\)\(\equiv (X^p+1)^p\equiv X^{p^2}+1\pmod p\)。依此类推，对任意的\(r>0\)都有\((X+1)^{p^r}\equiv X^{p^r}+1\pmod p\)。于是\((X+1)^{n}=(X+1)^{p^rm}=((X+1)^{p^r})^m\)，因此\((X+1)^n\equiv(X^{p^r}+1)^m\pmod p\)。左侧展开后\(X^{p^r}\)这一项的系数就是\(\dbinom{n}{p^r}\)，右侧是\(\dbinom{m}{1}=m\)，它们必须是关于\(p\)同余的，证毕。
这意味着，不可能\(X\)的所有轨道的大小都是\(p\)的倍数，不然\(\dbinom{n}{p^r}\)就一定有因子\(p\)了。也就是说，存在一个轨道\(B(S),S\in X\)，使得\(p\not\mid |B(S)|\)。将\(S\)的稳定子\(G(S)\)记为\(P\)。那么\(\forall g\in P,gS=S\)。也即\(\forall g\in P,s\in S\)都有\(gs\in S\)。也即对任意的\(s\in S\)，都有\(Ps\subseteq S\)。由于群中元素的右乘不改变大小，于是有\(|P|=|Ps|\leq |S|=p^r\)。而轨道大小乘以稳定子大小一定等于群的大小，因此\(|P|\cdot |B(S)|=p^rm\)，且\(p\not\mid |B(S)|\)。因此\(p^r\mid |P|\)，也即\(p^r\leq |P|\)。综上，\(|P|=p^r\)。换言之，那个轨道大小不能整除\(p\)的\(S\)的稳定子\(G(S)\)就是我们要找的Sylow \(p\)-子群。证毕。
既然存在大小为\(p^r\)的子群，那么根据Lagrange定理子群中的元素的阶都必须为\(p\)的幂次。在这些元素生成的循环群中，显然存在阶恰好为\(p\)的元素。因此Sylow第一定理的一个简单推论就是，如果有限群的大小有素因子\(p\)，那么其中一定存在\(p\)阶元素。这正是我们在有限交换群中已经验证过的事实，现在我们知道对于非交换群它也成立。
如果\(|G|=p^r\)，那么它的所有子群大小都是\(p\)的幂次，因此所有元素的阶也都是\(p\)的幂次；反之，如果一个群的所有元素的阶都是\(p\)的幂次，这个群的大小也必须是\(p\)的幂次：如果不是，那么设\(|G|\)还有另一个素因子\(q\)，根据刚才的推论也就一定有\(q\)阶元素，矛盾。所以我们得知，\(p\)-群可以等价定义为所有元素的阶都是\(p\)的幂次。
Sylow第二定理
设\(|G|=n\)，\(n=p^rm\)且\(p\not\mid m\)。记\(n_p\)为Sylow \(p\)-子群的个数，Sylow第二定理指出：\(n_p\equiv 1\pmod p\)。
由于Sylow第一定理已经表明存在至少一个Sylow \(p\)-子群，不妨取一个这样的子群记为\(P\)。令所有Sylow \(p\)-子群构成集合\(X=\{H\mid H\preceq G,|H|=p^r\}\)，令群\(P\)以元素共轭的方式作用在集合\(X\)上，\(f_a:H\to aHa^{-1},a\in P\)。我们就是要证明\(|X|\)模\(p\)余\(1\)。对于任意的\(X\)中一个轨道，它的大小为\(|P|\)除以稳定子大小，而\(|P|\)是\(p\)的幂次，因此轨道大小也必须是\(p\)的幂次。那么我们只需证明大小为\(1\)的轨道只有一个，这样就完成了Sylow第二定理的证明了。
首先，\(P\)的轨道大小必须为1。因为\(\forall a\in P\)，\(aPa^{-1}=P\)。假设有另一个\(Q\in X\)满足\(\forall a\in P,aQa^{-1}=Q\)，也即\(\forall a\in P,aQ=Qa\)，因此\(PQ=QP\)。而\(P,Q\)都是\(G\)的子群，我们证明过此时\(PQ\)也是\(G\)的子群。我们还证明过\(|PQ|=\dfrac{|P||Q|}{|P\cap Q|}\)，其中\(|P||Q|=p^{2r}\)，而\(1\leq |P\cap Q|\leq |P|=p^r\)，因此\(|PQ|\geq p^r\)。如果\(|PQ|>p^r\)，那么由Lagrange定理\(|G|\)有一个大于\(p^r\)的\(p\)的幂次作为因子，矛盾。因此\(|PQ|=p^r\)。而\(P\subseteq PQ\)且\(|P|=p^r\)，因此只能是\(PQ=P\)，那么只能是\(P=Q\)（如果不相等，那么由于\(P\)中有单位元，\(PQ\)中就会有\(P\)中不存在的元素）。综上，轨道大小为1的子群只有一个，证毕。
Sylow第三定理
第三定理描述Sylow \(p\)-子群之间的关系。
设\(R\)是\(G\)的任意某一个\(p\)-子群，令\(R\)以左乘的方式作用在\(X=G/P=\{gP\mid g\in G\}\)上，\(f_a:gP\to agP\)，其中\(P\)是某一个Sylow \(p\)-子群。于是\(|X|=|G|/p^r=m\)。同样地，\(X\)中所有轨道大小都是\(R\)的因子，因此都是\(p\)的幂次，所有轨道大小累加得到\(|X|=m\)，而\(m\)不是\(p\)的幂次。这意味着，一定存在大小为\(1\)的轨道。也即，存在\(g_0\in G\)使得\(\forall r\in R\)，\(rg_0P=g_0P\)。等价于\(g_0^{-1}rg_0P=P\)，等价于\(\forall r\in R,g_0^{-1}rg_0\in P\)，等价于\(g_0^{-1}Rg_0\subseteq P\)。
假如\(|R|=p^r\)，也即如果它是一个Sylow \(p\)-子群，那么\(|R|=|g_0^{-1}Rg_0|=|P|\)。而我们已经证明了\(g_0^{-1}Rg_0\subseteq P\)，因此一定有\(g_0^{-1}Rg_0=P\)。这就是Sylow第三定理，所有的Sylow \(p\)-子群都与\(P\)共轭（等价于pairwise共轭）。而对于任意\(g\)，我们验证过共轭是保群的性质的，因此\(gPg^{-1}\)一定构成一个新的子群，它一定也是Sylow \(p\)-群。也即所有用这样的共轭方式得到的群的集合就是所有的Sylow \(p\)-群！我们可以用子群的共轭作用来描述：考虑\(G\)元素共轭作用在\(X=\{H\mid H\preceq G\}\)上。那么对于Sylow \(p\)-子群\(P\in X\)，根据Sylow第三定理，其轨道上的所有子群就恰好是全部的Sylow \(p\)-子群，\(n_p=B(P)\)。因此\(n_p\)是\(|G|\)的因子。而第二定理告诉我们\(n_p\equiv 1\pmod p\)，因此\(p\not\mid n_p\)。那么必须有\(n_p\mid m\)。可见，Sylow \(p\)-子群的个数一定是\(\dfrac{|G|}{p^r}\)的约数。
在交换群中，任何子群的共轭都是自身。因此在有限交换群中应用Sylow第三定理，容易发现它具有唯一的Sylow \(p\)-子群。
另一个结果是，如果Sylow \(p\)-子群\(P\)是\(G\)的正规子群，那么\(\forall g\in G,gPg^{-1}=P\)，可见\(P\)是唯一的Sylow \(p\)-子群。
Sylow定理的推论
去除\(p^r\not\mid m\)
Sylow第一定理指出若\(|G|=p^rm\)，且\(p^r\not\mid m\)，那么存在大小为\(p^r\)的子群。我们可以进一步证明对于任意的\(1\leq k\leq r\)，大小为\(p^k\)的子群都存在。这样我们就不必在描述第一定理的时候附加上\(p^r\not\mid m\)这一条件，而是简单地表述为若\(|G|=p^rm\)成立，则存在大小为\(p^r\)的子群。
我们对\(n\)用归纳法，\(n=1\)时显然成立。假设\(n'<n\)时都成立，要证\(n\)成立。设\(G\)的中心元群\(C=\{g\mid \forall x\in G,gx=xg\}\)。中心元群一定是交换群。如果\(C=G\)，则\(G\)是交换群，我们证明过有限交换群的任意因子大小的子群都存在，因此成立；如果\(C\subsetneq G\)，此时分类讨论：
- \(p\mid|C|\)：根据\(C\)是有限交换群，一定存在大小为\(p\)的循环子群\(\lang a\rang\)。由于\(\lang a\rang\)中元素与所有\(G\)中元素满足交换律，因此\(\forall g\in G,g\lang a\rang=\lang a\rang g\)，也即\(\lang a\rang\unlhd G\)。那么，\(G/\lang a\rang\)构成商群，\(|G/\lang a\rang|=p^{r-1}m<n\)，根据归纳假设它存在大小为\(p^{r-1}\)的子群\(\bar H\)。那么把\(\bar H\)对应的所有陪集中的元素倒出来，根据自然同态的右子群左子群得到了大小为\(|\lang a\rang|\cdot |\bar H|=p^r\)的子群\(H\)。
- \(p\not\mid |C|\)：考虑\(G\)到\(G\)的元素共轭作用产生的轨道等价类（我们把它称为共轭等价类）。由于中心元群中的任意元素\(c\)都满足\(gcg^{-1}=cgg^{-1}=c\)，因此它们都自成一个轨道（共轭类）；反之，一个自成一个轨道的元素一定是中心元。因此\(|G|\)可以写成\(|C|\)与一系列大小大于1的轨道大小之和。既然\(p\)是\(|G|\)的因子而不是\(|C|\)的因子，那么肯定存在一个大于1的轨道大小不是\(p\)的倍数。而这个轨道的大小又一定是\(|G|\)的因子，那么它一定是\(m\)的因子，这等价于这个轨道的稳定子\(S\)的大小一定是\(p^r\)的倍数。由于轨道大小大于1，稳定子一定是\(G\)的真子群，因此可以由归纳假设得知\(S\)一定由大小为\(p^r\)的子群，因此\(G\)有大小为\(p^r\)的子群。
大小为\(p^2\)的群
下面我们证明大小为\(p^2\)的群\(G\)一定是交换群。也就是我们要证明，中心元群\(C\subseteq G\)一定是全集。根据Lagrange定理，我们只需排除\(|C|=1\)与\(|C|=p\)的可能性。
- 如果\(|C|=1\)，那么在\(G\)元素共轭作用于\(G\)上时，只有一个大小为1的轨道。而每个大于1的轨道大小只可能为\(p\)或\(p^2\)，这就与所有轨道的所有元素之和为\(p^2\)矛盾。
- 如果\(|C|=p\)，那么由于\(C\)是正规子群，\(\bar G=G/C\)构成商群。这个商群的大小为\(p\)，而素阶群都是循环群，所以\(\bar G\)是循环群，设其生成元为\(\lang bC\rang\)，那么\(\bar G=\{C,bC,b^2 C,\cdots,b^{p-1}C\}\)。那么\(G=\bigcup\limits_{i=0}^{p-1}b^{i}C\)。\(C\)也是循环群，记为\(\lang a\rang\)，那么\(C=\{1,a,\cdots,a^{p-1}\}\)。于是\(G=\{b^ia^j\mid 0\leq i,j<p\}\)。如果这样，那么\(\forall g_1,g_2\in G\)，设\(g_1=b^{i_1}a^{j_1},g_2=b^{i_2}a^{j_2}\)，\(g_1g_2=b^{i_1}a^{j_1}b^{i_2}a^{j_2}\)。因为\(a\in C\)，可以与任何元素交换位置，因此\(g_1g_2=a^{j_1+j_2}b^{i_1+i_2}=b^{i_2}a^{j_2}b^{i_1}a^{j_1}=g_2g_1\)，因此\(G\)全集就是交换群，也即\(|C|=p^2\)，矛盾。
综上所述，Sylow定理描述了有限群的一般结构：如果群的大小\(n\)有因子\(p^k\)，那么一定能找到大小为\(p^k\)的子群。这样的子群中最大的\(p^r\)那个称为Sylow \(p\)-子群，Sylow \(p\)-子群的个数一定模\(p\)余1，且是\(n/p^r\)的因数。所有的Sylow \(p\)-子群两两共轭。
