群与子群

群(Group)的定义

一般当我们谈论代数时，我们指的是用字母表示数。例如实数域上的代数，我们可以写出\(x\)来表示实数集合上的任意某个元素。我们使用原本的加法符号\(x+y\)表示某两个实数的和，它可能表示\(2+3\)，也可能表示\(12+35\)。这其实是对“数”这一概念的抽象化，使得表达式的含义一般化了。通过对数的抽象的研究，我们会发现数的运算满足一些性质。这些性质都是建立在实数域这一前提下的，我们可以称之为实数域的代数性质。

如果我们对“运算”也进行抽象，那我们研究的就不只是数的性质而扩展了一个“代数结构”的性质。实数是一个代数结构。实数上的运算，比如乘法，满足一些特殊的性质，例如交换律。但有的代数结构的乘法是不满足交换律的，比如矩阵的乘法。如果将\(+\)抽象为某个一般的运算符号\(\circ\)，就可以研究运算本身的性质。我们就把这种一个集合以及若干满足一定基本规则的运算称为一个代数结构。

对于整数集合\(\Z\)和整数的运算符号\(+\)，我们发现满足如下几个性质：两个整数做加法依然得到整数；整数加法满足结合律；任何整数和0做加法都得到自身；任意整数都存在相反数。当然，整数加法还满足交换律等等许多别的性质。但假若我们只抽象出以上四条性质，一般地讨论满足这四条性质的集合及其运算， 我们就得到了“群”(group)。这就是我们要研究的第一个代数结构。为此，我们首先要对整数集合和加法运算做抽象。现在，整数集合抽象为一个一般的集合\(G\)。加法运算是\(G\)中元素的一个二元函数，对于任意的\(a,b \in G\)都有一个唯一的\(c\)使得\(a+b=c\)，我们把这样的运算抽象为符号\(\circ\)，称为\(G\)上的一个代数运算。由此给出群的定义：群是一个非空的集合\(G\)，在\(G\)上定义了元素的二元运算\(\circ\)，满足：①封闭性(closure)，\(\forall a,b\in G,a\circ b \in G\)；②结合律(associativity)，\(\forall a,b,c,a\circ (b\circ c)=(a\circ b)\circ c\)；③存在单位元(identity)\(e\)使得\(\forall a \in G,a\circ e=e\circ a =a\)；④存在逆元(inverse)，\(\forall a \in G\)总存在\(a^{-1}\in G\)使得\(a \circ a^{-1}=a^{-1}\circ a=e\)。

一些群的例子

由此可见，\((\Z,+)\)就是一个群，称为“整数加法群”。如果在群的定义上附加上交换律成立，就称为“阿贝尔群”（Abelian group），或称“交换群”。\((\Z,+)\)就是一个阿贝尔群。\((\Z,\cdot)\)不是群，因为此时单位元是\(1\)，\(2\)的逆元\(1/2\)并不是整数；\((\Q,\cdot)\)也不是群，因为0不存在一个逆元与它相乘等于1。如果去掉0，可以验证\((\Q^*,\cdot)\)就是一个群，同时是一个阿贝尔群。矩阵乘法不满足交换律，对于确定的\(n\)，以所有\(n\)阶实矩阵为元素，矩阵的乘法为运算，能得到一个群，但不是阿贝尔群。

以上都只讨论了元素个数无限的群。事实上也存在有限的群。例如只有一个元素的群\(G=\{e\}\)，定义\(e\circ e=e\)，这就是一个满足要求的群，并且是最小的有限群。对于任意给定的有限整数\(n\)，可以定义\(G=\{0,1,\cdots,n-1\}\)，定义\(\circ\)是模\(n\)意义下的加法\(+_{\text{mod } n}\)，这就是一个群\((\Z_n,+)\)。这样我们就证明了存在任何有限大小的群。

\((\Z_n,\cdot_{\text{mod } n})\)无法构成群，因为单位元是\(1\)，而\(0\)没有逆元；去掉0，\((\Z_n^*,\cdot)\)也不一定能构成群，例如\((\Z^*_4,\cdot)\)中\(2\cdot 2=0\)，不封闭。然而我们可以证明，\((\Z^*_p,\cdot)\)一定是群，也即\(n\)为素数时群的性质总是满足，这恰好是由扩展欧几里得导出的\(\Z_p^*\)在模\(p\)意义下乘法逆元始终存在的结果。进一步，对于任意的\(n\)，取出所有与\(n\)互素的数（共\(\varphi(n)\)个）也在模\(p\)乘法下构成群，这也记为\((\Z_n^*,\cdot)\)：对于任意的与\(n\)互素的\(i,j\)，一定有\(ij\mod n\)与\(n\)互素，由此封闭性成立。容易验证其余的三条也是成立的。

群的性质

群中的单位元是唯一的。假设存在两个不相等的单位元\(e\neq e'\)，那么根据单位元的定义有\(e \circ e'=e'\circ e=e\)，因为\(e\)是单位元有\(e' \circ e=e\circ e'=e'\)。因此\(e'=e\)，矛盾。

群中任何一个元素的逆元是唯一的。对于任意\(a\)，假设\(a\)有两个不同的逆元\(b,b'\)。那么\(b=e\circ b\)，代入\(b'\circ a =e\)，有\(b=(b'\circ a)\circ b\)，根据结合律\(b=b'\circ (a\circ b)\)。而\(a\circ b=e\)，因此\(b=b'\circ e=b'\)，矛盾。由此可见，始终有\((a\circ b)^{-1}=b^{-1}\circ a^{-1}\)。因为我们可以验证\((a\circ b)(b^{-1}\circ a^{-1})=(b^{-1}\circ a^{-1})(a\circ b)=e\)，而逆元是唯一的。更一般的，\((a_1\circ \cdots \circ a_n)=a_n^{-1}\circ \cdots \circ a_1^{-1}\)。

消去律成立。左消去律：\(a\circ b=a\circ c\iff b= c\)。左推右，由于二元运算是函数，因此\(a^{-1}\circ (a\circ b)=a^{-1}\circ (a\circ c)\)，由结合律得\(b=c\)。右推左，同样由于二元运算的函数性质可以两边同时左乘\(a\)，等式依然成立。同理，右消去律也成立：\(b\circ a=c\circ a \iff b=c\)。这个性质会带给我们一个极其重要的群的性质：任意给定一个\(G\)中的元素\(g\)，我们可以构造这样一个映射\(f:G\to G\)，\(f(x)=g\circ x\)。这个映射一定是双射：因为\(g\circ x_1=g\circ x_2\)可以由消去律推出\(x_1=x_2\)，因此其逆否命题就是\(x_1\neq x_2\implies f(x_1)\neq f(x_2)\)；对于任意\(y\in G\)，可以取\(x=g^{-1}\circ y\)，那么\(f(x)=y\)，因此是满射。可见，在群中左乘一个元素就会得到一个双射！如果这个群是有限群，那么这个双射就是群中元素的重新排列(permutation)。

为了书写方便，我们也用指数上标来表示相同元素累乘。记\(a\circ a=a^2\)，\(a\circ a\circ a=a^3\)，以此类推。根据结合律容易证明：\(a^{m+n}=a^m\circ a^n\)，\(a^{mn}=(a^m)^n\)。

群的等价定义

在群的原始定义中，我们要求单位元同时作为任意元素的左单位元和右单位元，同时要求任意元素既有左逆又有右逆。事实上我们可以弱化这一条件，只要求任意元素存在左单位元，同时任意元素具有左逆。下面我们证明这两种定义方式是等价的，以后我们就可以用这种简化了的群的等价定义了。Pf. 由原定义推出简化定义是显然的，我们只需证明简化定义可以推出原定义。假设群\(G\)中有左单位元\(e_L\)，任意元素都有左逆，那么\(\forall a,\exists a'\)使得\(a'\circ a=e_L\)。\(a'\)也有左逆，存在\(a''\)使得\(a''\circ a'=e_L\)。那么\(a\circ a'=(e_L\circ a) \circ a'=((a''\circ a')\circ a)\circ a'\)，代入\(a'\circ a = e_L\)，根据结合律有\(a''\circ (e_L\circ a')=a''\circ a'=e_L\)。可见\(a\)的左逆同时也是\(a\)的右逆。对于任意的\(a\)，假设其逆元为\(a'\)，那么\(a\circ e_L=a\circ (a'\circ a)=\)\((a\circ a')\circ a=e_L\circ a=a\)，可见左单位元一定也是右单位元。Qed.

“存在单位元与存在逆元”与以下条件等价：对于任何\(a,b\in G\)，存在\(x\in G\)使得\(a\circ x=b\)，存在\(y\in G\)使得\(y\circ a=b\)。左推右显然，只需取\(x=a^{-1}\circ b\)，\(y=b\circ a^{-1}\)。右推左，对于固定的\(a\)，存在\(y_0\)使得\(y_0\circ a=a\)；\(\forall g \in G\)，一定存在\(x_0\in G\)使得\(a\circ x_0=g\)，那么\(y_0\circ g=y_0\circ (a\circ x_0)=(y_0\circ a)\circ x_0=a\circ x_0=g\)，可见\(y_0\)是左单位元\(e_L\)。而对于任意的\(h \in G\)，根据条件一定存在\(z\in G\)使得\(h\circ z=e_L\)，可见任何元素都存在右逆。而存在左逆和存在左单位元等价于存在逆元和存在单位元。由此可见，群的另一种等价定义为：封闭；结合律；对于任何\(a,b\in G\)，存在\(x\in G\)使得\(a\circ x=b\)，存在\(y\in G\)使得\(y\circ a=b\)。

对于有限群，设\(G=\{g_1,\cdots,g_n\}\)，我们证明过函数\(f_a(g_i)=a\circ g_i\)是双射。双射成立的原因在于消去律成立，而不涉及单位元和逆元存在这两个条件。而如果双射成立，那么能够说明对于任意的\(a,b\in G\)，\(a\circ x=b,y\circ a=b\)都是有根的。所以根据上一段的等价定义，把单位元和逆元这两个条件替换成左右消去律，就构成了等价定义，当然这是对于有限群才成立的。有限群的等价定义为：封闭；结合律；左消去律；右消去律。注意，一个无限集合仅满足封闭、结合律和左右消去律并不一定能构成群。以\((\N,+)\)为例，满足左右消去律，但是任何\(n>0\)都不存在逆元。体现在证明中，一个无限域上的单射并不能推出双射，因此不能沿用刚才的证明。

子群(Subgroup)

如果群\(G\)的一个非空子集\(H\)也是一个群，就称\(H\)是\(G\)的子群，记为\(H \preceq G\)。如果\(H \neq G\)，则称\(H\)是\(G\)的真子群，记为\(H \prec G\)。仅由单位元构成的群\(\{e\}\)一定是\(G\)的子群，\(G\)本身也永远是\(G\)的子群。这两个子群称为平凡子群(trivial subgroup)。

子群的等价定义

我们定义在代数运算\(\circ\)下集合的乘积(product)和逆(inverse)。对于\(A,B\)，定义\(A\circ B:=\{a\circ b\mid a\in A,b\in B\}\)。定义\(A^{-1}:=\{a^{-1}\mid a \in A\}\)。在接下来的子群的等价定义中，我们要用到这两个集合上的运算。

对于\(G\)的非空子集\(H\)，\(H\preceq G\iff H\circ H \subseteq H\and H^{-1}\subseteq H\)。左推右：因为\(H\)是封闭的，因此其中任意两个元素运算后仍落在\(H\)中，因此\(H\circ H \subseteq H\)；因为\(H\)中每个函数都有落在\(H\)中的逆元，因此\(H^{-1}\subseteq H\)。右推左：\(H\circ H \subseteq H\)意味着\(H\)中的元素关于代数运算封闭；\(H\)的结合律直接继承\(G\)的结合律；对于任意\(h\in H\)，因为\(H^{-1}\subseteq H\)，因此\(h^{-1}\in H\)，因此每个元素都在\(H\)中有逆元，且\(h\circ h^{-1}\)就是单位元，它落在\(H\circ H\)中，因此也落在\(H\)中。

事实上，上一段中的包含符号其实等价于等号。\(H\circ H \subseteq H \and H^{-1}\subseteq H\iff H\circ H=H\and H^{-1}=H\)。右推左显然。左推右，根据定义\(H\circ H = \bigcup\limits_{h \in H}h\circ H\)，因此\(e\circ H \subseteq H\circ H\)。而\(e\circ H=H\)，且\(H\circ H \subseteq H\)，因此\(H \subseteq H\circ H \subseteq H\)，因此\(H=H\circ H\)；已知\(H^{-1}\subseteq H\)，根据逆元的唯一性两边同时取逆包含关系依然成立，因此\((H^{-1})^{-1}\subseteq H^{-1}\)，也即\(H\subseteq H^{-1}\)，因此\(H^{-1}\subseteq H \subseteq H^{-1}\)，因此\(H=H^{-1}\)。

另一个子群的等价定义写作：\(H\preceq G \iff\forall a,b\in H,a\circ b^{-1}\in H\)。只需证明右推左，验证群的四个条件即可（结合律可以不用验证）：取\(a\in H\)，有\(a\circ a^{-1}=e\in H\)，因此存在单位元；取\(e\in H,a\in H\)，有\(e\circ a^{-1} = a^{-1}\in H\)，因此存在逆元；取\(a\in H,b\in H\)，则\(b^{-1}\in H\)，因此有\(a\circ (b^{-1})^{-1}=a\circ b \in H\)，因此封闭。同理也可以证明该定义等价于\(\forall a,b \in H,a^{-1}\circ b \in H\)。这通常是我们验证子群时最常用的等价定义。

子群的交与并

容易证明，如果\(H_1,H_2\preceq G\)，那么\(H_1\cap H_2 \preceq G\)。验证四条性质即可。

设\(H_1,H_2\preceq G\)，如果\(H_1\subseteq H_2\)或\(H_2\subseteq H_1\)，那么显然\(H_1\cup H_2\preceq G\)。现在我们要证明，如果不存在这样的包含关系，即存在\(h_1 \in H_1\and h_1 \not\in H_2\)且\(h_2 \in H_2\and h_2 \not\in H_1\)，那么一定有\(H_1\cup H_2 \not \preceq G\)。证明如下：假设\(H_1\cup H_2 \preceq G\)，那么一定有\(h_1\circ h_2 \in H_1\cup H_2\)。如果\(h_1 \circ h_2 \in H_1\)，也即存在\(h_1'\in H_1\)使得\(h_1\circ h_2=h_1'\)，那么\(h_2=h_1'\circ h_1^{-1}\)，而\(h_1' \in H_1\)，\(h_1^{-1}\in H_1\)，因此\(h_2=h_1'\circ h_1^{-1} \in H_1\)，矛盾；同理\(h_1\circ h_2 \in H_2\)也不成立，因此\(H_1\cup H_2\not\preceq G\)。