随机过程的熵率

随机过程(Stochastic Process)\(\newcommand{\E}{\mathbb{E}}\)

在渐进均分性中，我们讨论的是一列独立同分布的随机变量。现在我们要讨论一列并不独立同分布的随机变量，这样的一列随机变量通常被称为一个“随机过程”，记为\(X_1,X_2,\cdots,X_t,\cdots\)。随机变量\(X_i\)的下标\(i\)通常称为时间（必须是整数，但可以是负数），这样我们就能把这列随机变量看作一个随时间变化的状态。例如一维数轴上的随机游走就是一个随机过程。在这里，我们认为\(X_i\)的取值个数是可数的，这样的随机过程称为离散的随机过程。

一个随机过程的特性通过联合分布\(\Pr[X_1=a_1\and X_2=a_2\and \cdots \and X_t=a_t],\forall t\)来刻画（假设\(t\)从1开始）。如果对于任意的整数\(n,l\)，联合分布都满足\(\Pr[X_1=a_1\and \cdots \and X_n=a_n]\)\(=\Pr[X_{1+l}=a_{1+l}\and\cdots\and X_{n+l}=a_{n+l}]\)，就称这个随机过程是stationary(平稳)的。也即这个随机过程中变量的分布是与时间无关的。如果一个随机过程满足对任意的时间\(t\)都有\(\Pr[X_t=a_t\mid X_{t-1}=a_{t-1},\cdots,X_1=a_1]=\)\(\Pr[X_t=a_t\mid X_{t-1}=a_{t-1}]\)，也即每个随机变量的取值分布都只与前一时间的随机变量有关，就称这个随机过程是一个（离散）马尔可夫链(Discrete Markov Chain)。一维随机游走就是一个马尔可夫链。如果\(X_t\)可能的取值是有限的，假设不超过\(n\)种，那么我们就能用一个\(n\times n\)的矩阵\(P_t\)来描述\(\Pr[X_t=a_t\mid X_{t-1}=a_{t-1}]\)。这称为这个马尔可夫链的状态转移矩阵。对于一个stationary的马尔可夫链，状态转移矩阵与时间\(t\)无关，那么只需要一个矩阵\(P\)以及初始分布\(X_1\)就可以完全刻画这个马尔可夫链：设\(X_t\)的分布为\(\mu_t\)，那么\(\mu_t^\top P=\mu_{t+1}^\top\)。由此，\(\mu_t^\top=\mu_1^\top P^{t-1}\)。

对于stationary的有限马尔可夫链，如果存在一个分布\(\pi\)满足\(\pi^\top P=\pi^\top\)，也即状态转移后分布不变，那么称\(\pi\)为一个稳态分布(Stationary Distribution)。我们可以证明，stationary的马尔可夫链一定存在一个稳态分布（证明：即证方程\(P^\top \pi=\pi\)有界，这等价于\(P^\top\)有特征值1。chihao的随机过程中给出了具体证明）。

熵率(Entropy Rate)\(\newcommand{\X}{\mathcal{X}}\)

一个随机过程的熵率定义为\(H(\mathcal{X})=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{1}{n}H(X_1,X_2,\cdots,X_n)\)，它描述前\(n\)个随机变量的联合熵取平均值随\(n\)趋向无穷后的取值。

对于一个stationary的随机过程，熵率是well-defined的，因为我们可以证明这一极限始终存在。根据链式法则，\(H(X_1,\cdots,X_n)=\sum\limits_{i=1}^{n}H(X_i\mid X_1,\cdots,X_{i-1})\)，于是\(\lim\limits_{n\to\infty} \dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}H(X_i\mid X_1,\cdots,X_{i-1})\)。现在对于stationary的随机过程，我们注意到\(H(X_n\mid X_1,\cdots,X_{n-1})\)一定是收敛的：根据条件熵的性质，始终成立\(H(X_{n+1}\mid X_1,\cdots, X_n)\leq H(X_{n+1}\mid X_2,\cdots,X_n)\)，而根据stationary这就等于\(H(X_{n}\mid X_1,\cdots,X_{n-1})\)。也即\(H(X_n\mid X_1,\cdots,X_{n-1})\)一定是随\(n\)递减的，而由于熵是非负的，它有下界\(0\)。那么根据单调有界必收敛，\(H(X_n\mid X_1,\cdots,X_{n-1})\)一定收敛，我们把这个极限记为\(H'(\X)\)。根据Cauchy命题，熵率\(H(\X)\)恰好等于这个极限\(H'(\X)\)。因此对于stationary的随机过程，也可以定义熵率为\(\lim\limits_{n\to\infty}H(X_n\mid X_1,\cdots,X_{n-1})\)。这通常是更容易计算的，它描述了前\(n\)个随机变量对随后的随机变量贡献的信息的极限情况。换言之，它描述了随着时间增长时熵的增长率。

对于stationary的马尔可夫链，\(H(\X)=H'(\X)=\lim\limits_{n\to\infty}H(X_n\mid X_1,\cdots,X_{n-1})=\lim\limits_{n\to\infty}H(X_n\mid X_{n-1})\)\(=\lim\limits_{n\to\infty}H(X_2\mid X_{1})=H(X_2\mid X_{1})\)。设\(X_1\)的可能取值集合为\(\{v_i\}\)，取\(v_i\)的概率为\(\mu_i\)，则\(H(X_2\mid X_1)=\sum\limits_{i}\mu_i H(X_2\mid X_1=v_i)\)\(=\sum\limits_{i}\mu_i\sum\limits_{j}(-P_{ij}\log P_{ij})\)。对于一般的马尔可夫链，我们可以证明（见chihao的随机过程）如果它满足irreducible与aperiodic，那么它有唯一的稳态分布，并且任意初始分布都会收敛于稳态分布。自然，此时取\(\mu\)为这个稳态分布代入上式依然会得到正确的熵率。

马尔可夫链的函数\(\newcommand{\Y}{\mathcal{Y}}\)

对于stationary马尔可夫链\(X_1,\cdots,X_n,\cdots\)和函数\(\phi\)，由\(\phi\)给出了新的一列随机变量\(Y_i=\phi(X_i)\)，我们称它为马尔可夫链\(\X\)的函数\(\mathcal{Y}\)。此时，我们并不能由此说明\(Y_i\)是马尔可夫链。事实上很多时候\(\Y\)并不是马尔可夫链。然而由于\(\X\)是时间无关的(stationary)，因此\(\Y\)也势必是时间无关的。因此，用同样的方法可以论证熵率\(H(\Y)=H'(\Y)=\lim\limits_{n\to\infty}H(Y_n\mid Y_1,\cdots,Y_{n-1})\)依然是well-defined的。

在计算熵率\(H(\Y)\)时，如果仅仅计算\(H(Y_n\mid Y_1,\cdots,Y_{n-1})\)是难以判断收敛的，因为收敛数列本身的差分是不足以判断收敛情况的（调和级数就是例子）。为此，我们希望能给出\(H(\Y)\)的关于\(n\)的上下界，如果上下界充分靠近就能判定收敛。在定义stationary随机过程的熵率时，我们已经证明了单调递减性\(H(Y_{n+1}\mid Y_1,\cdots, Y_n)\leq H(Y_{n}\mid Y_1,\cdots,Y_{n-1})\)，这其实已经给出了上界\(H(\Y)\leq H(Y_n\mid Y_1,\cdots,Y_{n-1})\)始终成立。对于下界，我们惊奇地发现只要把\(Y_1\)替换为\(X_1\)，就得到了下界\(H(\Y)\geq H(Y_n\mid X_1,Y_2,\cdots,Y_{n-1})\)，并且

这一对上下界最终会夹逼收敛到\(H(\Y)\)。推导如下：由于\(Y_1\)是\(X_1\)的函数，因此在\(H(Y_{n}\mid X_1,Y_2\cdots,Y_{n-1})\)中增加条件\(Y_1\)并不会改变熵的大小，于是\(H(Y_{n}\mid X_1,Y_2,\cdots,Y_{n-1})=H(Y_{n}\mid X_1,Y_1,Y_2,\cdots,Y_{n-1})\)。而\(X\)是马尔可夫链，所以再往里加入\(X_0,X_{-1},\cdots\)以及对应的函数值\(Y_0,Y_{-1},\cdots\)所有这些过时的条件也完全不能改变熵，因此又有\(=H(Y_n\mid X_{-k},\cdots,X_0,X_1,Y_{-k},\cdots,Y_0,Y_1,Y_2,\cdots,Y_{n-1})\)。现在丢掉所有\(X\)的条件，熵会变大，也即\(\leq H(Y_n\mid Y_{-k},\cdots,Y_0,Y_1,\cdots,Y_{n-1})\)。根据stationary，平移\(k+1\)个时间单位，得到\(H(Y_{n}\mid X_1,Y_2\cdots,Y_{n-1})\leq\)\(H(Y_{n+k+1}\mid Y_1,\cdots,Y_{n+k})\)。RHS在\(k\to\infty\)时就是\(H(\Y)\)，因此\(H(Y_{n}\mid X_1,Y_2\cdots,Y_{n-1})\leq H(\Y)\)。最后我们要验证\(n\to \infty\)时，\(H(Y_n\mid Y_1,\cdots,Y_{n-1})-H(Y_n\mid X_1,Y_2,\cdots,Y_{n-1})\to 0\)。首先，把\(H(Y_n\mid X_1,Y_2,\cdots,Y_{n-1})\)写作\(H(Y_n\mid X_1,Y_1,Y_2,\cdots,Y_{n-1})\)，那么这个差可以等价地写作互信息\(I(Y_n;X_1\mid Y_1,\dots,Y_{n-1})\)。要证它趋于0，只需证级数\(\sum\limits_{i=1}^{\infty}I(Y_i;X_1\mid Y_1,\cdots,Y_{i-1})\)收敛，而根据链式法则，这个级数等价于\(\lim\limits_{n\to\infty}I(X_1;Y_1,Y_2,\cdots,Y_n)\)。而\(I(X_1;Y_1,\cdots,Y_n)\)始终有上界\(H(X_1)\)，并且级数\(\sum\limits_{i=1}^{\infty}I(Y_i;X_1\mid Y_1,\cdots,Y_{i-1})\)显然是正项的。因此收敛得证。

最终我们得到了夹逼：\(H(Y_{n}\mid X_1,Y_2\cdots,Y_{n-1})\leq H(\Y)\leq H(Y_n\mid Y_1,\cdots,Y_{n-1})\)。