Fourier变换

Fourier变换及其逆变换

在我们已经讨论过的Fourier级数中，我们能够取三角函数的一个周期\([-\pi,\pi]\)对任何周期为\(2\pi\)的函数做Fourier展开。现在假设函数的周期不是\(2\pi\)而是一般地具有有限周期\(2T\)，那么很自然地我们可以对三角函数做伸缩，用\(\sin \dfrac{\pi}{T}x\)和\(\cos \dfrac{\pi}{T}x\)的三角级数做展开，得到：\(f_T(x)\sim\dfrac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left[a_n\cos\left(\dfrac{n\pi}{T}x\right)+b_n\sin\left(\dfrac{n\pi}{T}x\right)\right]\)。其中，\(a_n=\dfrac{1}{T}\displaystyle\int_{-T}^{T}f_T(x)\cos \left(\dfrac{n\pi}{T}x\right)dx\)，\(b_n=\dfrac{1}{T}\displaystyle\int_{-T}^{T}f_T(x)\sin \left(\dfrac{n\pi}{T}x\right)dx\)。而对于非周期函数，我们总可以选定一段定义域区间\([-T,T]\)而抛弃其余的部分，取而代之选定区间的部分从而把它“延拓”为周期函数，而对于周期函数我们可以写出其Fourier级数，这之后再令\(T\to +\infty\)就可以得到一般非周期函数的Fourier展开。

我们常常用复指数来表示三角函数，这样会得到更简洁的形式。由欧拉公式有\(\cos\theta=\dfrac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}\)，\(\sin\theta=\dfrac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}=-\dfrac{i}{2}(e^{i\theta}-e^{-i\theta})\)。记\(\dfrac{\pi}{T}=\omega\)，得到\(f_T(x)\sim \dfrac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty}(a_n \cdot \dfrac{e^{in\omega x}+e^{-in\omega x}}{2}-ib_n \cdot \dfrac{e^{in\omega x}-e^{-in\omega x}}{2})\)\(=\dfrac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\dfrac{a_n-ib_n}{2}e^{in\omega x}+\dfrac{a_n+ib_n}{2}e^{-in\omega x}\right)\)。记\(a_n-ib_n=c_n\)，则\(a_n+ib_n=\overline{c_n}\)。代入\(a_n,b_n\)的表达式，得到\(c_n=\dfrac{1}{T}\displaystyle\int_{-T}^{T}f_T(x)\left[\cos \left(\dfrac{n\pi}{T}x\right)-i\sin\left(\dfrac{n\pi}{T}x\right)\right]dx=\dfrac{1}{T}\displaystyle\int_{-T}^{T}f_T(x)e^{-in\omega x}dx\)。那么现在整个Fourier级数可以写成\(f_T(x)\sim \dfrac{a_0}{2}+\dfrac{1}{2}\sum\limits_{n=1}^{\infty}(c_n e^{in\omega x}+\overline{c_n}e^{-in\omega x})\)。为了写法上的方便，我们记\(\overline{c_n}=c_{-n}\)，同时\(c_0=a_0\)。那么写出\(f_T(x)\sim \dfrac{1}{2}\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}c_n e^{in\omega x}\)，这就是Fourier级数的复数形式。

代入\(c_n\)，得到\(f_T(x)\sim \dfrac{1}{2T}\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}\left[\displaystyle\int_{-T}^{T}f_T(x)e^{-in\omega x}dx\right]e^{in\omega t}\)。现在令\(T\to +\infty\)。代入\(T=\dfrac{\pi}{\omega}\)，那么\(\omega \to 0\)。得到\(f_\infty(x)\sim \lim\limits_{\omega \to 0}\dfrac{\omega}{2\pi}\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}\left[\displaystyle\int_{-T}^{+T}f_T(x)e^{-in\omega x}dx\right]e^{in\omega t}\)，而求和的部分形如Riemann和的形式，因此在形式上对一般的函数\(f\)可以写出\(f(x)\sim \dfrac{1}{2\pi}\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\left[\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)e^{-i\omega x}dx\right]e^{i\omega t}d\omega\)。可以观察到，内层的积分和外层的积分有着非常相似的形式，内层积分对于每个\(\omega\)都得到一个值，形成了一个关于“频率”\(\omega\)的函数，这个函数在外层积分的作用后又会恢复到\(f\)本身。从一个函数到另一个函数的过程就是“变换”(transform)，我们定义函数\(\hat f(\omega)=\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)e^{-i\omega x}dx\)为\(f\)的Fourier变换，记为\(F[f](\omega)\)。定义\(\dfrac{1}{2\pi}\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\hat f(\omega)e^{i\omega x}d\omega\)为Fourier变换的逆变换，记为\(F^{-1}[\hat f](x)\)。在一定的条件下，可以认为\(f(x)=F^{-1}[F[f]]\)，其中\(F^{-1}[F[f]]=\dfrac{1}{2\pi}\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\left[\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)e^{-i\omega x}dx\right]e^{i\omega t}d\omega\)就称为Fourier积分。可以证明（略）如下充分条件：如果\(f\)在\((-\infty,+\infty)\)上绝对可积且在任何闭区间上分段可导，那么\(f\)的Fourier积分等于\(f\)本身。

Fourier变换的性质

根据定义\(F[f](\omega)=\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)e^{-i\omega x}dx\)，可以证明Fourier变换（以及逆变换\(F^{-1}[\hat f]=\dfrac{1}{2\pi}\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\hat f(\omega)e^{i\omega x}d\omega\)）具有如下性质：

①线性性：\(F[c_1 f+c_2g](\omega)=c_1F[f](\omega)+c_2F[g](\omega)\)；\(F^{-1}[c_1\hat f+c_2 \hat g](x)=c_1F^{-1}[\hat f](x)+c_2F^{-1}[\hat g](x)\)。这本质上就是积分的线性性。

②平移性质：\(F[f(x\pm x_0)](\omega)=F[f(x)](\omega) \cdot e^{\pm i\omega x_0}\)；\(F^{-1}[\hat f(\omega\pm \omega_0)](x)=F^{-1}[\hat f(\omega)](x) \cdot e^{\mp i\omega_0 x}\)。\(e^{i\omega x}\)一项是积分的换元法产生的结果。

③伸缩性质：\(F[f(ax)](\omega)=\dfrac{1}{|a|}F[f(x)]\left(\dfrac{\omega}{a}\right)\)；\(F\left[\dfrac{1}{a}f\left(\dfrac{x}{a}\right)\right](\omega)=F[f(x)]\left(a\omega\right)\)。这本质上也是积分的换元法。

④微分性质：若\(\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=0\)且\(f,f'\)绝对可积，则\(F[f'](\omega)=i\omega \cdot F[f](\omega)\)；若\(f,xf\)绝对可积，则\(F[-ix \cdot f](\omega)=[F[f]]'(\omega)\)。这本质上是分部积分法。

⑤卷积的Fourier变换：\(f,g\)的卷积定义为\((f*g)(x)=\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)g(x-t)dt\)。若\(f,g\)绝对可积，则\(F[f*g]=F[f]\cdot F[g]\)。也就是说：卷积的Fourier变换等于各自Fourier变换的乘积。

⑥Parseval等式：\(\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}[f(x)]^2dx=\dfrac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}|\hat f(\omega)|^2d\omega\)

离散Fourier变换

用离散的求和来近似Fourier变换，我们在\(f(x)\)上选取\(N\)个点\(x_0,\cdots,x_{N-1}\)，我们称以下变换为离散Fourier变换：\(D[x](j)=X(j)=\sum\limits_{n=0}^{N-1}x_ne^{-2\pi ij \frac{n}{N}}\)。我们选取的离散形式下基\(e^{-2\pi i\frac{n}{N}\cdot k}\)是内积\(\sum ()()\)意义下的正交基：\(\dfrac{1}{N}\sum\limits_{n=0}^{N-1}e^{-2\pi i\frac{nj}{N}}e^{-2\pi i\frac{nk}{N}}=\delta_{j,k}\)。由此可以验证离散Fourier逆变换\(D^{-1}[X](k)=\dfrac{1}{N}\sum\limits_{j=0}^{N-1}X(j)e^{2\pi i\frac{jk}{N}}\)满足：\(\dfrac{1}{N}\sum\limits_{j=0}^{N-1}X(j)e^{2\pi i\frac{jk}{N}}\)\(=\dfrac{1}{N}\sum\limits_{j=0}^{N-1}\sum\limits_{n=0}^{N-1}x_ne^{-2\pi ij \frac{n}{N}}e^{2\pi i\frac{jk}{N}}\)\(=\sum\limits_{n=0}^{N-1}x_n\sum\limits_{j=0}^{N-1}\left[\dfrac{1}{N}e^{-2\pi ij \frac{n}{N}}e^{2\pi i\frac{jk}{N}}\right]\)\(=\sum\limits_{n=0}^{N-1}x_n\delta_{n,k}=x_k\)。

Fourier变换有这样的性质，如果被变换的函数本身是由几个基频的三角函数叠加而成，那么变换后的函数只会在基频附近得到一个模长较大的峰。由此可以对任意函数做谱的分解。在数字信号传输中，如果应用离散Fourier变换，我们只需关注模长较大的那些\(X_j\)就可以基本正确地还原出原始数据，这使得信号传输的效率大大提高。同时，1960年代人们也发现了\(O(n\log n)\)完成离散Fourier变换计算的方法，称为快速Fourier变换（FFT），见算法课的笔记[分治]。