量子力学-1

量子力学描述物质和光的行为的各方面细节，特别是发生在原子尺度上的事件。在微小尺度下事物的行为一点也不像我们有着直接经验的任何事物，因为一切人类的直接经验和所有的人类直觉都只适用于大的物体。所以我们必须用一种抽象的或想象的方式，而不是把它与我们的直接经验联系起来的方式来学习。

电子双缝干涉与不确定性原理

原子客体（电子、质子、中子、光子等）的量子行为都是相同的，他们都是“粒子波”。所以当我们学习一种原子客体（比如电子）的行为以后，它的性质也可以应用到所有粒子上。下面我们考虑电子的双缝干涉实验，装置由发射器、双缝和带有探测器的屏组成，探测器可以测出物体到达屏上每个位置的概率（本质上是计数器，只要发射电子足够多则计数器除以总数就趋向概率）。

假如我们不发射电子而是发射完整不可分割的子弹（宏观物体），发射的角度随机分布在一定范围内。那探测器会得到一条关于位置$x$的光滑的单峰曲线， 这条曲线可以看作我们先后遮挡一个缝得到的两条曲线的直接相加：当我们挡住缝2以后，得到曲线$P_1$，它在发射源和缝1连线的位置处有极大值，在两边均匀递减；$P_2$是$P_1$的镜像对称。移除遮挡后我们得到的曲线$P_{12}=P_1+P_2$（没有做normalize意义下），这是因为一个子弹要么通过缝1来到屏上，要么通过缝2来到屏上，因此到达屏上每个点的概率都是通过缝1来到屏上的概率与通过缝2来到屏上的概率之和。

假如把发射器替换成水波的振动波源，探测器替换为测量波的振动强度的装置，那么双缝处可以看作两个新的波源，这两个波源发出的波会发成干涉，最终在屏上依次显示出强弱强弱不断起伏的曲线（干涉条纹）。这是由于屏上一点的波强取决于到达该位置处两个波的相位差，在波长整数倍的地方两个振动加强，在半波长的奇数倍的地方振动相消。这种叠加本质上是三角函数的和差化积，用复数的实部表示会取得方便。遮住缝2得到波的高度的瞬时值设为$h_1e^{i\omega t}$的实部（$h$是复数），遮住缝2得到的设为$h_2e^{i\omega t}$的实部，那么移除遮挡后总的分布就是$(h_1+h_2)e^{i\omega t}$的实部。对于三角函数，波动的强度正比于瞬时值的均方高度。一般地，设$h=a+bi$，那么$he^{i\omega t}=(a+bi)(\cos\omega t+i\sin\omega t)$，它的实部为$a\cos\omega t-b\sin\omega t$，由合一变形得到其强度应为$\sqrt{a^2+b^2}=|h|^2$。因此遮住缝2的强度$I_1=|h_1|^2,I_2=|h_2|^2$，合强度为$I_{12}=|h_1+h_2|^2$。显然此时不成立$I_{12}=I_1+I_2$，因此叠加并不是简单地相加，而是以干涉的方式叠加。

现在我们来考虑电子的实验。我们一个一个地发射电子，角度随机均匀分布，用探测器检测电子到达每个位置的概率。双缝的间距是精确设计的，并且非常小。必须指出，这是一个理想实验，因为这样的装置小到几乎制造不出来，但是许多已经得到证实的其它实验能够确保这个理想实验一定会呈现下面的结果：当我们遮住一个缝时，屏上的分布和子弹的情况完全相同；当我们移除遮挡让双缝同时存在时，电子在屏上的分布曲线和水波的情况相同。这是不可思议的事实。然而这个不可思议的事实却被发现可以用如下的简单数学规律表示——设单缝的概率曲线$P_1=|\phi_1|^2$和$P_2=|\phi_2|^2$，设$P_{12}=|\phi|^2$，那么此时成立的是$\phi=\phi_1+\phi_2$，而不是$P_{12}=P_1+P_2$。这就是电子的量子行为！我们试图理解这件事。电子总是整颗整颗地发射出，那么总应当成立“每个电子要么通过缝1要么通过缝2”这件事。但这件事成立就将预示着$P_{12}=P_1+P_2$，而这显然与实验矛盾。因此，“每个电子要么通过缝1要么通过缝2”这件事一定是不正确的了！

我们有没有可能想办法在刚才的实验中监视每个电子究竟通过了哪个缝呢？为了显示电子的行径，我们需要在双缝旁放置一个光源，这样电子通过时就会散射光子进入我们的眼睛（或精确地，仪器）。安排好这样的装置以后，我们确实发现每个电子恰好要么通过缝1要么通过缝2，但实验的结果却被改变了，我们得到了曲线$P_{12}=P_1+P_2$，和子弹的结果一样，而不是水波的结果。这并不太意外，因为光源会对电子产生作用力，因此改变了原来的实验结果。那么我们是否可以慢慢调低光源的强度，使得光源的作用可以渐渐忽略不计？结果是，当光源的强度越来越弱以至于几乎要无法分辨电子通过了哪个双缝时，屏上的曲线开始渐渐趋向干涉的曲线。这意味着，只有当我们看不到电子从哪个缝通过时，才会得到电子的干涉现象。海森堡提出，我们不可能设计出一个装置又能看到电子从哪个缝通过又得到干涉图像。只有认为我们的实验能力有某种前所未知的基本极限，才能使当时发现的新的自然界的定律协调一致。这其实正是“不确定性原理(The Uncertainty Principle)”的一种表述，不确定性原理指出在同一时刻对任意客体进行动量$p$和位置$x$的测量时，测量的不确定性$\Delta p$和$\Delta x$始终满足$\Delta p\Delta x\geq\dfrac{\hbar}{2}$，也就是说一旦我们确定某一粒子的位置在某一点附近不超过$\Delta x$的范围内，那么位置测量产生的干扰会使得我们永远不可能设计出一套装置来使其测得的动量比$\dfrac{\hbar}{2\Delta x}$更精确。

不确定性原理是实验总结的结果，它的背后没有更本质的东西。所有的量子力学理论都取决于不确定性原理的正确性。虽然不确定性原理并不一定是正确的，但一旦推翻了不确定性原理，我们就将推翻整个量子力学。目前还没有一个人找到一条绕过不确定性原理来研究量子力学的途径，所以我们必须假设它描述的是自然界的一个基本特征。从电子双缝干涉中我们也看到，在初始条件确定时我们不再能预言最终结果，而只能预言各种结果的可能形的分布。必须承认，这时我们早先认知自然界的理念的削弱。在目前，我们强烈地感觉到很可能永远都将只能做到这样，因为自然界可能实际上就是如此。

概率幅$\newcommand{\l}{\lang}\newcommand{\r}{\rang}$(Probability Amplitudes)

现在我们要较为精确地来讨论量子行为，我们的讨论从概率幅（振幅）的叠加开始。这些原理是具有普适性的，但我们依然以电子双缝干涉的实验为例帮助理解。我们记发射源为$s$，第一条原理是：从$s$出发到达屏上某个位置$x$的概率能够用一个称为概率幅的复数的绝对值平方来定量地描述。我们用狄拉克的符号把这个复数记为$\l 到达x的粒子\mid 离开s的粒子 \r$，再没有歧义的情况下可以缩写为$\l x\mid s\r$。我们在电子的双缝干涉中看到可能从两个小孔通过的电子最终的概率并不是单独通过两个小孔的概率相加，而应当是概率幅的相加，这就得到了第二条原理：当一个粒子可以通过两条可能的路径到达某一给定状态时，总振幅等于各自独立地考虑的两条路径的振幅之和，用狄拉克的符号表示为：$\l x\mid s\r_{两个小孔都打开}=$$\l x\mid s\r_{只打开1}+\l x\mid s\r_{只打开2}$。假设我们讨论的是一个理想的足够简单的小孔，那么我们还有第三条原理：对于粒子走的特定路径，总振幅可以写成前后两部分路程的振幅的乘积。例如当已知电子通过小孔1到达$x$时，有$\l x\mid s\r_{只打开1}=\l x\mid 小孔1\r \l 小孔1\mid s\r$。那么现在就有$\l x\mid s\r_{两个小孔都打开}=\l x\mid 小孔1\r \l 小孔1\mid s\r+\l x\mid 小孔2\r \l 小孔2\mid s\r$。另外当涉及多个粒子的时候，我们需要一条额外的原理：如果两个粒子不相互作用，那么一个粒子做一件事并且另一个粒子做另一件事的振幅是两个粒子分别做这两件事的振幅的乘积，这类似于概率论中事件的独立性。

有了这些原理，我们可以分析用光源$L$观测电子时双缝干涉实验结果的概率幅。电子会散射光子，我们在孔1和孔2后分别放置光子探测器$D_1$和$D_2$。根据相乘的法则，电子从发射源$s$出发到达孔1的振幅为$\l 1\mid s\r$，此时散射光子使得光子到达$D_1$，这一事件的振幅设为$a$，而后从孔1到达屏上的振幅为$\l x\mid 1\r$。因此总的振幅（从右往左）为$\l x\mid 1\r a\l 1\mid s\r$。把$\l x\mid 1 \r\l 1 \mid s \r$记为$\phi_1$，得到$a\phi_1$。同时，通过孔2的电子也可能把光子散射进$D_1$里（尽管可能性很小），记孔2的电子散射进$D_1$的概率幅为$b$，那么孔2电子散射的光子被$D_1$探测到且电子到达$x$的概率幅为$b\phi_2$。根据系统的对称性容易得到另一边的结果。这样就有$\l 电子到x且光子到D_1\mid s,L\r=a\phi_1+b\phi_2$，$\l 电子到x且光子到D_2\mid s,L\r=a\phi_2+b\phi_1$。由此可得， 在观测孔1时测得的概率分布为$|a\phi_1+b\phi_2|^2$，它不等于$|\phi_1+\phi_2|^2$。当$b$可以忽略时，其分布恰好为$|a|^2|\phi_1|^2$，与只通过孔1的分布只差了因子$|a|^2$，这符合实验结果。

很重要的一点是，在求解最终的概率时究竟是概率相加还是振幅相加是由终态能否在事实上加以区分而不是能否被我们费心区分决定的。只要原则上各个终态能被区分（例如已经用光源观测了电子通过哪个小孔），我们就必须算出各个可能终态的概率后再相加；如果原则上就已经不能区分各个终态（没有观测小孔），那么应当将概率幅相加以后再绝对值平方求解概率。

全同粒子(Identical Particles)

我们讨论将两个粒子对撞的实验，这里对撞只涉及静电斥力。对撞后，粒子将以某一随机角度$\theta$散射。我们首先选取氦原子核与氧原子核对撞，用实验测量各个角度的分布。设$f(\theta)$是氦原子核偏转角度为$\theta$的振幅，那么意味着探测氦原子的探测器在$\theta$处检测到氦原子的概率为$|f(\theta)|^2$。现在假设探测器能同时接收氧原子和氦原子，讨论在$\theta$处探测到某个原子的概率。此时，探测到氦原子的概率为$|f(\theta)|^2$，探测到氧原子意味着氦原子偏转$\pi-\theta$，因此概率为$|f(\pi-\theta)|^2$。由于探测到氧原子还是氦原子是原则上可区分的现象，因此在$\theta$处探测到原子的概率应当是概率的相加：$|f(\theta)|^2+|f(\pi-\theta)|^2$。以上结果和实验相符。

然而，当氦原子核与另一个完全相同的氦原子核对撞时，结果发生了变化。原因在于，现在我们原则上不能区分探测到的是哪个原子了。这表明完全相同的粒子（称为全同粒子）对撞时散射的现象区别于不同粒子的对撞。当探测器接收到一个氦原子核时，有两种不能区分的情况：只考虑第一个氦原子核，那么此时它有可能是偏转$\theta$（称为直接对撞的情况），也有可能是偏转$\pi-\theta$（称为交换对撞的情况）。因此我们期待能够做概率幅的叠加：$|f(\theta)+f(\pi-\theta)|^2$。但还应当小心地考虑到，已知概率并不能确定概率幅。虽然直接对撞的情况和交换对撞的情况在概率上应当完全相等，但概率幅却没有理由完全相等。我们必须假设交换对撞的情况相比于直接的情况有一个相位因子$e^{i\delta}$。综上，我们在$\theta$处探测到原子的概率写作$|f(\theta)+e^{i\delta}f(\pi-\theta)|^2$。现在如果我们交换一下两个粒子的角色，应当得到$|e^{i\delta}f(\pi-\theta)+e^{2i\delta}f(\theta)|^2$。而粒子是全同的，结果一定保持不变。这意味着一定要有$e^{2i\delta}=1$，也即相位差的平方必须为1，也就意味着相位差只能取1或-1。也就是说，全同粒子的对撞有可能出现两种可能的干涉。一种是正号的干涉：$|f(\theta)+f(\pi-\theta)|^2$；一种是负号的干涉$|f(\theta)-f(\pi-\theta)|^2$。这两种干涉在自然界中都是存在的，它们对应着不同种类的粒子。以正号相干涉的粒子称为玻色子(Bose particles)，玻色子有光子、介子、引力子等；以负号相干涉的粒子称为费米子(Fermi particles)，费米子有电子、质子、中子、$\mu$子、中微子、重子等。

如果考虑两个电子的对撞，还要考虑到电子的自旋。电子的自旋有两种情况，要么“向上”要么“向下”，自旋是可以测量的。当两个同方向自旋的粒子碰撞时，各自的自旋方向都不会改变；而当自旋相反时，有可能不变，有可能自旋方向都反向。这和角动量守恒非常类似。因此我们发现，当对撞的两个电子有相同方向的自旋时，它们作为费米子将以负号干涉；而当自旋方向相反时，我们可以分辨出两个粒子，因此它们不再是“全同”的，因此不会发生干涉。

氦原子核中有两个中子和两个质子，它们也都是费米子。氦原子本身没有自旋，因此两个氦原子核是全同粒子。如果它们足够靠近，就有可能发生中子和质子的交换。这种交换是无法分辨的，因此要发生干涉。由于质子和中子是费米子，且每一对交换都会引起一次符号的改变，因此最终它的行为像玻色子还是费米子取决于交换的费米子个数的奇偶。如果对撞时两个氦原子核保持着相当的距离，使得只有库仑斥力作用，那么它可以看作单个粒子。此时的情况只有整个粒子的交换与不交换，其中交换的情形等价于所有费米子都发生了交换，所以最终干涉的符号取决于整个原子核中费米子总数的奇偶。由此可见此时氦原子核表现为玻色子。我们指出费米子的自旋都是半整数，玻色子的自旋都是整数。因此最终粒子的行为像玻色子还是费米子就看总自旋是半整数还是整数。这就是复合粒子的行为法则。

玻色子的状态

我们考虑两个玻色子在另外两个粒子上散射，这里我们不考虑散射的细节，只考虑被散射粒子发生的变化。被散射后粒子的方向、能量等称为散射后进入的“状态(state)”。

假设两个玻色子$a,b$不相同，第一个散射后进入状态1，这个概率幅为$a_1=\l 1\mid a\r$；第二个进入状态2，这个概率幅为$b_2=\l 2 \mid b \r$。我们无法讨论到达空间某个特定点的概率，只能讨论到达某个单位面积的概率。因此$a$被散射到1方向上单位面积的概率为$|a_1|^2dS_1$，$b$被散射到2方向上单位面积的概率为$|b_2|^2dS_2$。由于这两个事件独立，两事件同时发生的概率为$|a_1|^2|b_2|^2 dS_1dS_2$。现在假设我们有两个探测器，一个探测状态1，一个探测状态2。假设计数器探测的面积为$\Delta S$。那么两个探测器都分别探测到玻色子的概率应当是$P=\displaystyle\int_{\Delta S}|a_1|^2|b_2|^2dS_1dS_2$，因为玻色子不同所以原则上可区别所以不发生干涉。

假设两个玻色子全同，那么两个探测器分别探测到某个玻色子的概率变为$P'=\displaystyle\int_{\Delta S}|a_1b_2+a_2b_1|^2dS_1dS_2$，因为此时不能分辨是$a$进入了状态1还是$b$进入了状态1，所以发生干涉。

假设状态1和状态2逐渐靠近，那么最终会趋向$a_1=a_2=a,b_1=b_2=b$，设探测器足够小那么积分可以化为乘积。于是$P=\displaystyle\int_{\Delta S}|ab|^2dS_1dS_2=|a|^2|b|^2(\Delta S)^2$。$P'=\displaystyle\int_{\Delta S}|2ab|^2dS_1dS_2=4|a|^2|b|^2(\Delta S)^2\cdot \dfrac{1}{2}=2|a|^2|b|^2(\Delta S)^2$。这里要乘$1/2$是因为在计算$P$时，$dS_1$和$dS_2$都要各自取遍整个$\Delta S$没有问题；而在计算$P'$时，$dS_1$和$dS_2$已经没有任何分别了，所以必须成对计算，这等价于把它们都取遍整个$\Delta S$再除去重复计算的一半。

于是我们发现，玻色子全同时概率变为了原来的两倍！我们这样来理解这一结果：玻色子具有这样的特性，当其它全同的玻色子存在时再加入一个玻色子的概率会增大。如果已知一个玻色子被散射到了某一特定方向，那么另一个全同的玻色子被散射到这一方向的概率会比独立看待这个事件时扩大一倍。一般地，如果已有一个玻色子处于一个给定状态，那么再将另一全同玻色子放进同一状态的振幅会变为第一个粒子不在时的$\sqrt{2}$倍。

把这一结果推广到$n$个玻色子的情况，互不相同时概率为$|a_1|^2|a_2|^2\cdots |a_n|^2 dS_1\cdots dS_n$，积分得到$|a_1|^2|a_2|^2\cdots |a_n|^2 (\Delta S)^n$。全部相同时，概率为$|n!a_1a_2\cdots a_n|^2dS_1\cdots dS_n$，积分时要除去重复计算的$n!$，得到$n!|a_1|^2|a_2|^2\cdots |a_n|^2(\Delta S)^n$。概率扩大了$n!$倍。这意味着假如已经有$n$个全同的玻色子进入了某个特定状态，那么第$n+1$个相同的玻色子进入这个状态的概率就会增强$n+1$倍。我们说，玻色子倾向于让所有粒子进入同一状态。

以上关于散射的讨论可以推广到普遍的情况。例如光子是玻色子，那么把光子“发射到某个特定状态”也满足这样的规律：如果在某一特定状态中已经有了$n$个光子，那么原子再发射一个光子到达这个状态的概率就会增大$n+1$倍。光子具有使所有的粒子都进入同一状态的倾向。氦原子是玻色子，在低温下热运动变得非常小，此时液氦中的原子有极强的进入同样状态的倾向，因此只要发生流动，所有原子都要以相同的方式运动。这种运动有一种刚性，使得液氦表现出“干水”的效应，这正是玻色子的效应。

费米子的状态(泡利不相容原理)

费米子的行为与玻色子完全相反。在散射的粒子中把玻色子换成费米子，容易得到两个全同费米子被散射到几乎完全相同的方向上的振幅应当为$\l 1\mid a \r\l 2\mid b \r - \l 2 \mid a \r \l 1 \mid b \r$。当$\l 1\mid a \r,\l 2 \mid a \r$充分接近、$\l 1\mid b \r,\l 2 \mid b \r$充分接近时，这个振幅趋向0。也就是说全同费米子几乎不可能进入相同状态，这就是泡利不相容原理。

当我们说“状态”时，也包括了费米子的自旋。所以我们应当说两个自旋方向相同的费米子不可能处于同一位置上。如果两个费米子——电子、质子或中子——处于同一位置上，那么唯一的可能是它们具有相反的自旋。元素周期表中外层电子的排布就是泡利不相容原理的直接结果：在最靠近原子核的地方最多只能容纳两个电子，这两个电子有相反方向的自旋。第三个电子不可能处于这两个电子附近，因此它被迫处于一个更外侧的“轨道”。

泡利不相容原理对大尺度物体的稳定性起着作用，由于没有两个以上的电子能够处于同一位置，原子之间必须保持一定的距离，因此大尺度物体不至于塌缩；两个具有相反方向自旋的电子能够彼此接近，由此产生稳定的化学键，因为这样的电子对一旦产生就不容许其它电子加入；当两个电子接近时会产生一个表观上的巨大的力迫使自旋方向相反，这引起了铁磁体中强烈的排列力；核力对自旋方向比较敏感，自旋相同时核力比自旋相反时更大，一个中子与一个质子间可以在同一位置有相同方向的自旋（因为它们两个不同的粒子，不会不相容），由此形成氘；而两个质子不能有相同方向的自旋，此时核力不足以形成束缚态，所以只有两个质子没有中子的氦原子不存在。

自旋(Spin)

我们接下来描述的问题称为“角动量量子化”。实验证明大部分粒子都拥有一种和运动无关的先天角动量，我们把它称为“自旋”。自旋不能取任何连续的实数，而总是以整数或半整数的倍数出现。费米子的自旋为半整数，玻色子的自旋为整数。已发现的粒子中，自旋为整数的最大自旋为4；自旋为半整数的最大自旋为3/2。

角动量是经典力学中的概念，我们现在希望不要类比经典力学而是从量子力学本身来讨论这个问题，所以我们避免使用角动量这个词语。

当原子束通过一个非均匀磁场的时候会分裂成好几束，我们用（改进的）Stern-Gerlach装置使得原子束先分散成好几束最后再汇聚到一起。如果我们在第一个装置的中间用挡板使得只有其中一束通过，那么通过的这一束再通过一个一模一样的Stern-Gerlach装置时就不会再分散成多束而是这有与第一个装置中一样的一束。这就是一个Stern-Gerlach过滤器。通过过滤，我们得到了纯化了的原子。每一束过滤出来的原子不能再被过滤，因此我们称每一束纯化的原子是一个基础态(base states)。不同自旋的原子基础态数量不同。自旋为1的原子有3个基础态，它在通过一个Stern-Gerlach装置时分裂成三束。而自旋为1/2的原子只有2个基础态。我们以自旋为1的粒子为例展开讨论，之后再把结果推广到一般情况。

我们把自旋为1的粒子的三束射线记为三个基础态$+,0,-$。在$S$装置中挡住$0,-$的射线，通过$S$后的粒子就处在$+S$态中。$0S,-S$以此类推。现在把两个$S$装置串联，实验结果显示如果在第一个装置只允许$+$粒子束通过，那么当第二个装置也只允许$+$通过时所有进入第二个装置的粒子都能通过，而如果第二个装置只允许$0$（或$-$）则所有粒子都不能通过。我们用概率幅记为$\l +S\mid +S\r=1$，而$\l +S\mid 0S\r=\l +S\mid-S\r=0$。第一个装置为$0S,-S$的情况也是类似的，这样我们就得到了一个矩阵，表明当两个相同的Stern-Gerlach装置串联时，只有当它们允许的基础态相同时粒子才能通过，否则粒子不能通过。这个现象是容易理解的，因为第一个装置对原子进行了过滤。现在要讨论这样一个重要的问题：如果把第二台装置倾斜一个角度， 使得磁场的轴线不再和第一个装置中的磁场平行（这里考虑的是装置在三维空间的旋转），结果会怎样变化。记转动后的第二个装置为$T$，我们容易理解下面的实验结果：在第一个装置经过$+S$过滤后，通过$T$以后$+T,0T,-T$的结果都存在，因为$T$是一个全新的装置。问题在于，如果在$T$之后再放一个与$S$完全相同的没有经过旋转的装置（为了区分记为$S'$），那么在通过$T$以后粒子是否还记得它在第一个装置时的状态？实验结果显示它丝毫不记得（如果是经典情况则粒子因为被过滤一定会记得之前的状态）。设定粒子已经通过$+S,0T$，在$S'$中并不是所有粒子都会进入$+S'$基础态，而是$+S',0S',-S'$都有分布。通过概率幅的分析我们就能理解这一点：经过$+S,0T,+S'$的概率为$|\l +S'\mid 0T\r\l 0T\mid +S\r|^2=|\l +S\mid 0T\r|^2|\l 0T\mid +S\r|^2$，经过$+S,0T,0S'$的概率为$|\l 0S'\mid 0T\r\l 0T\mid +S\r|^2=|\l 0S\mid 0T\r|^2|\l 0T\mid +S\r|^2$，两者做比值会约掉历史信息$|\l 0T\mid +S\r|^2$，得到比值$\dfrac{|\l +S\mid 0T\r|^2}{|\l 0S\mid 0T\r|^2}$。这显示了量子力学的一条基本原理：在任一给定的基础态中，粒子未来的行为只依赖于基础态的性质，而与任何历史信息无关。

现在我们把$T$中所有的挡板拿掉， 实验显示这时通过$S'$的粒子又记忆起$S$中的状态了：$+S,T,+S$所有粒子都会通过，$+S,T,0S$则所有粒子都不会通过。这是由于通过$T$时发生了振幅的干涉：根据实验结果，$\l +S\mid +T\r\l+T\mid +S\r+\l +S\mid 0T\r\l0T\mid +S\r+\l +S\mid -T\r\l-T\mid +S\r=1$，$\l 0S\mid +T\r\l+T\mid +S\r+\l 0S\mid 0T\r\l0T\mid +S\r+\l 0S\mid -T\r\l-T\mid +S\r=0$，$-S'$同理。也就是说，如果一个装置里所有的通道都打开，这个装置就好像不存在一样。这个实验结果可以推广为以下结论：对于任意的状态$\chi,\phi$，总有$\l \chi\mid \phi\r=\sum\limits_{i}\l \chi\mid i\r\l i\mid \phi \r$，其中$i$取遍所有基础态。

同时我们还得到对于基础态$i,j$，除非$i=j$时有$\l i\mid j\r=1$，否则一定有$\l i\mid j\r=0$。这个结果称为基础态的正交性，可以简记为$\l i \mid j\r=\delta_{ij}$，其中$\delta$是单位矩阵。

在之前的实验中，假如对于串联的$S,T$依次进行$+S,+T$、$+S,0T$、$+S,-T$，那么是能够得到全部的通过$+S$的粒子的，也就是说我们有概率相加：$|\l +T\mid +S\r|^2+|\l 0T\mid +S\r|^2+|\l 0T\mid +S\r|^2=1$。在复数中，模长平方等于复数与其自身的共轭复数（$z$的共轭记为$z^*$）的乘积，那么上式等价于$\l +T\mid+S\r\l+T\mid +S\r^*+\l 0T\mid+S\r\l0T\mid +S\r^*+\l -T\mid+S\r\l-T\mid +S\r^*=1$。与$\l +S\mid +T\r\l+T\mid +S\r+\l +S\mid 0T\r\l0T\mid +S\r+\l +S\mid -T\r\l-T\mid +S\r=1$联立，等式的左边相等对于任何的$T,S$都成立。所以对于任意的状态$\phi,\chi$，成立$\l \phi \mid \chi\r=\l \chi \mid \phi\r^*$。也就是当一个事件反过来进行时，概率幅变为它的共轭。

我们把我们发现的三条普遍定律总结如下：

$$\l i\mid j\r=\delta_{ij}$$

$$\l\chi\mid \phi\r=\sum_i \l \chi\mid i\r \l i \mid \phi\r$$

$$\l \phi\mid \chi\r =\l \chi\mid \phi\r^*$$

其中，$i,j$代表某一表象的所有基础态，$\phi,\chi$代表原子的任何可能状态。在自旋为1的情况中，基础态数量为3。而在一般情况基础态数量可以是任意的，甚至是无穷的。

对于确定的起始状态$\phi$和终止状态$\chi$，假设粒子中间要经过一个复杂的仪器$A$，我们如何计算从$\phi$出发能够到达$\chi$的振幅？我们把这个振幅记为$\l \chi \mid A \mid \phi\r$。现在我们知道，经过一个所有可能状态都打开的仪器是不影响结果的，因此我们在$A$的前后都放上全打开的仪器$T$，就把这个振幅拆解为基础态的平方个振幅（在自旋为1的情形下是$3\times3=9$个）：$\l\chi\mid A \mid \phi\r=\sum\limits_{i,j}\l \chi \mid j\r \l j \mid A \mid i \r \l i \mid \phi\r$。这意味着，装置$A$可以用矩阵$M_{ji}=\l j \mid A \mid i\r$来描述，当我们已知起始和终止的振幅$\l i \mid \phi\r$和$\l \chi \mid j\r$时，实验结果就能被预言。如果装置$A$是由$B$和$C$串联而成的，那么在$B,C$中间插入全打开的仪器$T$，就能得到$\l j \mid A \mid i\r=\sum\limits_{k}\l j \mid C \mid k\r\l k \mid B \mid i\r$，这正是矩阵的乘法法则。要描述两个串联的仪器，只需把对应的描述矩阵相乘。

在对同一量子现象的描述中，有可能选用了不同的基础态而使得描述的方程完全不同。为了从一个基础态$iS$变换到另一个基础态$jT$，根据基础态的法则只需要做：$\l jT\mid\phi\r=\sum\limits_{i}\l jT \mid iS\r \l iS \mid \phi\r$。因此只需要计算矩阵$\l jT \mid iS\r$就可以完成变换。这里指出但不证明，仅仅由三维空间转动产生的基础态变换矩阵是可以从存在3个基础态这一纯粹的事实以及转动空间的对称性出发用纯粹的抽象推理来得到的。对于自旋为1的粒子，这就是一个$3\times 3$的矩阵。这样的数学运算和矢量代数中的基向量变换很类似，所以自旋为1的粒子常被称为“矢量粒子”。