一阶逻辑的语法与语义

\(\newcommand{\J}{\mathfrak{I}}\newcommand{\A}{\mathfrak{A}}\)我们现在开始要研究一个称为“一阶逻辑”的形式系统。这个形式系统能够表达很多数学命题，但也存在着许多一阶逻辑无法表示的数学命题。表达那样的命题需要更加高级的形式系统，而在这里我们只讨论一阶逻辑这个系统具有的性质。

一阶逻辑的语法

形式系统讨论的对象是符号串(word)，符号串就是由字符集(alphabet)中的字符连接而成的字符串。首先定义一阶逻辑的alphabet。一阶逻辑的alphabet包括以下内容：变量（一般记为\(v_0,v_1,\cdots\)，一阶逻辑能够使用的变量必须是可数的）；逻辑符号——否定（\(\neg\)），与（\(\and\)），或（\(\or\)），推出（\(\to\)），等价（\(\leftrightarrow\)）；存在量词（\(\forall,\exists\)）；等号（\(\equiv\)）；逗号（,）；\(n\)元关系符号（可以为空）；\(n\)元函数符号（可以为空）；常数符号（可以为空）。最后三者比较特殊，我们把他们统称为符号集，记为\(S\)。所有一阶逻辑的形式系统的alphabet只有\(S\)集是不同的，其它都是相同的。注意以上所有符号都是未被赋予任何含义的，等号的含义可能与我们经验中的等号的含义完全相反或完全不同。我们完全可以把等号换成苹果，否定换成香蕉，因为我们只是完全形式化地写出了这一些符号罢了。

将一阶逻辑的字符连接成字符串是要遵循一定规则的，这些规则就称为一阶逻辑的语法。对于固定的\(S\)，我们定义一阶逻辑的term：term只有三种，单个变量\(v_i\)，单个常数\(v_i\)，以及归纳地以term作为自变量的\(n\)元函数\(f(t_1,t_2,\cdots,t_n)\)。我们定义一阶逻辑的formula：用等号连接地两个term（\(t_1\equiv t_2\)）；以term作为自变量的\(n\)元关系\(R(t_1,\cdots,t_n)\)；归纳地，如果\(\varphi\)是formula，\(\neg \varphi\)、\(\forall \varphi\)、\(\exists \varphi\)也是formula；归纳地，如果\(\varphi,\psi\)是formula，\(\varphi \and \psi\)、\(\varphi\or\psi\)、\(\varphi\to \psi\)、\(\varphi \leftrightarrow \psi\)也是formula。我们依然要注意到term和formula也是没有任何意义的，它们只是按照我们定义的语法连接而成的字符串。

为了今后讨论的方便，还要引入一些概念来方便称呼。 在一个formula中，不出现在存在量词中的那些变量称为自由变元（free variable），它类似于程序中的全局变量。例如\(\forall v_1 \neg v_1\equiv v_2\)中的\(v_2\)是自由变元而\(v_1\)不是（因为按照我们的理解\(v_1\)的取值其实是被预先fix的，也即它不是自由的）如果一个formula中不存在任何自由变元，就把这个formula称为一个sentence。（可以设想只有sentence这样的formula才刻画某种真正的具有一般性的数学性质。 ）

一阶逻辑的语义

根据我们定义的一阶逻辑的语法，我们能写出许多term，term可以组成formula。现在我们要赋予term和formula以“意义”，这意味着我们要对一阶逻辑的所有符号和符号的组合给出“解释”。

意义取决于我们讨论的背景。当我们讨论自然数上的数学命题时，变量自然只能取自然数；如果我们讨论实数上的数学命题时，变量允许取全体实数。因此关于意义的第一个要素就是universe（论域），记为\(\mathcal{A}\)。确定了universe以后，\(n\)元关系就是\(\mathcal{A}^n\)的子集，函数就是\(\mathcal{A}^n\to\mathcal{A}\)的映射，常量符号是固定的\(\mathcal{A}\)中的元素。后三者可以看作从关系符号、函数符号到对应的universe上的映射\(\mathfrak{a}\)，这样我们就对变量和符号集S做出了解释。这个解释可以看作二元组\(\mathfrak{A}=(A,\mathfrak{a})\)，称为S上的一个structure（结构）。Structure没有对变量和函数关系给出具体的解释，但限制了我们讨论变量和函数关系的范围。

现在我们要更具体地对term和formula做出解释，就需要给每个变量赋值。当我们暂时不考虑有存在量词的情况时（所有变量都是free的），可以简单地理解为每个变量有一个特定的取值。于是我们定义函数\(\beta:v_i \to \mathcal{A}\)，这样就给每个变量赋予了一个解释，这称为assignment。把structure和assignment结合起来称为interpretation，记为\(\mathfrak{I}=(\mathfrak{A},\beta)\)。（注意到我们还没对一阶逻辑的其他符号给出意义，这些解释被包括在interpretation对term和formula的解释当中）。

下面定义对term的interpretation。对于单个变量，规定\(\J(v_i)=\beta(v_i)\)；对于单个常量，规定\(\J(c_i)=c^{\A}\)；对于函数，归纳地规定\(\J(f(t_1,\cdots,t_n))=\)\(f^\A(\J(t_1),\cdots,\J(t_n))\)。

对于formula，我们引入符号\(\models\)，\(\J \models \varphi\)表示在\(\J\)这一解释下\(\varphi\)是真命题。对于等号，规定\(\J\models t_1\equiv t_2\)当且仅当\(\J(t_1)=\J(t_2)\)；对于关系符号，规定\(\J\models R(t_1,\cdots,t_n)\)当且仅当\(R^\A(\J(t_1),\cdots,\J(t_n))\)成立；对于非，归纳地规定\(\J \models \neg \varphi\)当且仅当\(\J\models \varphi\)不成立，记为\(\J \not\models \varphi\)；对于与，归纳地规定\(\J \models \varphi\and \psi\)当且仅当\(\J\models \varphi\)成立且\(\J\models \psi\)成立；对于或，归纳地规定\(\J \models \varphi\or \psi\)当且仅当\(\J\models \varphi\)成立或\(\J\models \psi\)成立；对于推出，归纳地规定\(\J \models \varphi\to \psi\)当且仅当\(\J\models \varphi\)成立能推出\(\J\models \psi\)成立；对于等价，归纳地规定\(\J \models \varphi\leftrightarrow \psi\)当且仅当\(\J\models \varphi\)成立等价于\(\J\models \psi\)成立。存在量词的情况比较复杂，我们想直观上这样定义：\(\J \models\exists x \varphi\)的含义是存在一个universe \(\mathcal{A}\)中的元素\(a\)，把\(\varphi\)中的\(x\)都用\(a\)代入以后成立。为此我们引入记号\(\J\dfrac{a}{x}\)，表示在\(\J\)的assignment中强制规定\(\beta(x)=a\)。所以我们定义\(\J \models \exists x\varphi\)当且仅当存在\(a \in \mathcal{A}\)使得\(\J\dfrac{a}{x}\models \varphi\)；定义\(\J \models \forall x\varphi\)当且仅当对于所有的\(a \in \mathcal{A}\)都有\(\J\dfrac{a}{x}\models \varphi\)。

对于\(\models\)符号，我们额外规定formula集合的情况。对于formula集合\(\Phi\)，如果对于所有的\(\varphi \in \Phi\)都有\(\J\models \varphi\)，就简记为\(\J \models \Phi\)。如果对于任何的\(\J\)，只要\(\J \models \Phi_1\)就有\(\J \models \Phi_2\)，就简记为\(\Phi_1 \models \Phi_2\)。如果对于任何的\(\J\)都成立\(\J \models \varphi\)，就简记为\(\models \varphi\)。如果存在\(\J\)使得\(\J \models \varphi\)，就称\(\varphi\)是satisfiable的（可满足的）。

语义等价

对于两个命题\(\varphi,\psi\)，如果\(\varphi \models \psi\)和\(\psi \models \varphi\)都成立，就称它们是逻辑等价的。逻辑等价意味着它们在语义上的成立是当且仅当的。通过冗长但并不复杂的结构归纳（Homework3），我们发现\(\varphi \and \psi\)等价于\(\neg(\neg\varphi \or \neg\psi)\)（我们熟知的De Morgan's Law）；\(\varphi\to\psi\)等价于\(\neg \varphi \or \psi\)（前者成立时后者成立，或者前者不成立，综合起来就是前者不成立或者后者成立）；\(\varphi \leftrightarrow \psi\)等价于\(\neg(\varphi\or \psi)\or \neg(\neg \varphi \or \neg\psi)\)（同时成立或同时不成立）；\(\forall x \varphi\)等价于\(\neg \exists x\neg \varphi\)（对任意成立，等价与存在一个不成立的否定）。通过等价变换我们发现逻辑符号中，\(\and,\forall,\to,\leftrightarrow\)本质上是可以被抛弃的，因此我们只需要\(\neg,\or,\exists\)这三个符号就够了。在今后的关于语义的结构归纳中，也只需要对这三个符号做归纳。

现在我们想知道对于两个interpretation \(\J_1,\J_2\)，什么时候它们对一个term \(t\)的解释是相同的（\(\J_1(t)=\J_2(t)\)）？容易发现，如果\(\J_1\)和\(\J_2\)对每个变量都有相同的解释，对每个常量有相同的解释，对每个函数符号也有相同的解释， 那么就一定满足\(\J_1(t)=\J_2(t)\)。同样的，什么时候它们对一个formula \(\varphi\)的解释是相同的（\(\J_1\models \varphi \iff \J_2\models \varphi\)）？归纳地，我们发现我们只要对每个变量、常量以及关系符号有相同的解释就可以保证这一点。但对于formula的情形，我们还必须考虑自由变元的问题，这里我们发现formula的情形我们并不关系不自由的变元上的解释（理应如此），因此只需要求对所有自由变元有相同的解释。我们可以把以上两点总结成一条定理，称为The Coincidence Lemma：如果\(\J_1\)和\(\J_2\)有相同的universe \(\mathcal{A}\)，在共同的符号集上对符号都有相同的解释，那么如果\(\J_1\)、\(\J_2\)在所有\(t\)的变量上有相同解释就成立\(\J_1(t)=\J_2(t)\)，如果\(\J_1\)、\(\J_2\)在\(\varphi\)的所有自由变元上有相同解释就成立\(\J_1\models \varphi \iff \J_2 \models \varphi\)。

The Coincidence Lemma描述了interpretation对term和formula等价的条件，它的核心条件是两个interpretation对自由变元有相同的解释。现在考虑sentence的等价条件，这样我们就可以抛弃所有对自由变元的解释，也即可以不考虑assignment而回退到structure的情形了。对于sentence \(\varphi\)，如果两个structure \(\A,\mathfrak{B}\)是isomorphic（同构的），那么成立\(\A \models\varphi \iff \mathfrak{B}\models \varphi\)，这称为The Isomorphism Lemma。其中，isomorphism定义为，对于\(\A\)和\(\mathfrak{B}\)，在universe上存在一个\(\mathcal{A}\to\mathcal{B}\)的双射\(\pi\)，并且满足\((a_1,\cdots,a_n)\in R^\A\)\(\iff (\pi(a_1),\cdots,\pi(a_n))\)\(\in R^\mathfrak{B}\)（映射前后关系符号在各自的解释下的成立是当且仅当的），\(\pi(f^\A(a_1,\cdots,a_n))=f^\mathfrak{B}(\pi(a_1),\cdots,\pi(a_n))\)（函数符号映射后相等），\(\pi(c^\A)=c^\mathfrak{B}\)（对常数解释相等）。（容易证明isomorphism关系是一种等价关系，也即满足自反、对称、传递三条性质）。

Isomorphism Lemma反向是不对的，不能由\(\A \models\varphi \iff \mathfrak{B}\models \varphi\)推出\(\A,\mathfrak{B}\)是isomorphic的。然而这一点在\(S\)有限时是正确的，也即\(S\)有限时Isomorphism Lemma是充分必要的（见Hw4Ex2，需要构造一个能精准刻画structure的sentence。）

Substitution

现在我们要讨论substitution（代入）这一操作。在形式系统中，substitution可以发生在语法上，也可以发生在语义上。语法上的substitution是机械地按照term的formula的结构归纳做字符串上的替换操作，语义上的substitution是对assignment函数\(\beta\)做修改。下面严格地定义这两种substitution。

首先定义对term的语法替换。如果对于term \(t\)，我们要在语法上同时代入\(x_1=t_1,\cdots,x_r=t_r\)，那么把这一操作记为\(t\dfrac{t_1,\cdots,t_r}{x_1,\cdots,x_r}\)，它归纳地定义为：如果\(t\)就是单个变量，那么如果它是某个\(x_i\)那么就直接替换成给定的\(t_i\)，否则不变；如果它是常量则不变；如果它是函数\(f(t_1',\cdots,t_n')\)，那么对每个\(t_i'\)归纳地代换为\(t_i'\dfrac{t_1,\cdots,t_2}{x_1,\cdots,x_r}\)。

接着定义对formula的语法替换。同样的， 我们把这一操作记为\(\varphi\dfrac{t_1,\cdots,t_r}{x_1,\cdots,x_r}\)对于等号和关系符号这两种基本情形，直接对每个term做替换\(t\dfrac{t_1,\cdots,t_r}{x_1,\cdots,x_r}\)；对于\(\neg,\and,\or,\to,\leftrightarrow\)，对每个formula归纳地替换；对于\(\exists x\varphi\)，我们只考虑\(x_1,\cdots,x_r\)中那些在\(\exists x\varphi\)中作为自由变元的变量（这么规定的直观在于，对非自由的变量替换是没有意义的）， 只对这些归纳地做替换，同时为了考虑到替换后如果在\(t_i\)中出现\(x\)，这一变量会存在歧义，此时我们要把\(x\)替换成一个在\(\exists x\varphi\)的任何地方都从未出现过的变量（这总是做得到的，因为变量的个数是无穷的）。\(\forall\)的情形是相同的。

下面定义语义上的替换。如果我们要在某个interpretation \(\J=(\A,\beta)\)上把\(x_1,\cdots,x_r\)替换成universe中的\(a_1,\cdots,a_r\)，那么我们直接把这一操作修改到\(\beta\)上，记为\(\beta\dfrac{a_1,\cdots,a_r}{x_1,\cdots,x_r}\)。对于\(\beta\dfrac{a_1,\cdots,a_r}{x_1,\cdots,x_r}(v)\)，如果\(v=x_i\)那么函数值为\(a_i\)，否则依然返回\(\beta(v)\)。记\(\J\dfrac{a_1,\cdots,a_r}{x_1,\cdots,x_r}=(\A,\beta\dfrac{a_1,\cdots,a_r}{x_1,\cdots,x_r})\)。

重要的问题是，语法上的替换是否等价于语义上的替换？The Substitution Lemma回答了这个问题：对于term \(t\)，始终成立\(\J(t\dfrac{t_1,\cdots,t_r}{x_1,\cdots,x_r})=\)\(\J\dfrac{\J(t_1),\cdots,\J(t_r)}{x_1,\cdots,x_r}(t)\)；对于formula \(\varphi\)，始终成立\(\J \models\varphi\dfrac{t_1,\cdots,t_r}{x_1,\cdots,x_r} \iff\)$ \J\dfrac{\J(t_1),\cdots,\J(t_r)}{x_1,\cdots,x_r}\models \varphi$。换言之，对于某个interpretation，我们先在语法上做替换再做解释，与我们先做语义上的解释修改再重新解释，效果是等价的。（证明依据结构归纳）