麦克斯韦方程组

$\newcommand{\big}{\displaystyle}$ $\newcommand{\d}{\text{ d}}$ $\newcommand{\e}{\epsilon}$ 到目前为止，我们已经零碎地研究过麦克斯韦方程组。现在我们开始讨论完整地电磁场理论，对于可能以任何形式随时间变化的电磁场，我们将有完整而正确的描述。完整的麦克斯韦方程组包含四个方程（微分形式）：

\begin{aligned} \nabla \cdot \vec{E} = \frac{ρ}{ϵ_{0}} \\ \nabla \times \vec{E} = - \frac{\partial B}{\partial t} \\ \nabla \cdot \vec{B} = 0 \\ c^{2} \nabla \times \vec{B} = \frac{\vec{j}}{ϵ_{0}} + \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \end{aligned}

$\begin{aligned} &\nabla \cdot \vec E=\dfrac{\rho}{\epsilon_0}\\ &\nabla \times \vec E = -\dfrac{\part B}{\part t}\\ &\nabla \cdot \vec B =0\\ &c^2\nabla \times \vec B=\dfrac{\vec j}{\epsilon_0}+\dfrac{\part \vec E}{\part t} \end{aligned}$

这四个方程的积分形式更直接地体现出它们的含义。第一个方程描述了，穿过一个闭合面的电通量始终正比于面内的电荷量，这就是静电学中的高斯定律，现在我们知道高斯定律对于动态场也始终成立；第二个方程指出电场的环路积分等于穿过该环路的磁通量的变化率，我们将看到这就是法拉第电磁感应定律；第三个方程指出不存在磁荷，这对于动态场也是恒成立的；第三个方程包含了静磁学中不曾有的一个新的项 $\dfrac{\part \vec E}{\part t}$ ，这是麦克斯韦对电磁学的修正。

电磁感应

第二个方程 $\nabla \times \vec E = -\dfrac{\part B}{\part t}$ 恰好是电磁感应定律的描述，它是历史上一直被认为是相互独立的电与磁这两个课题的一次大融合。当导线在磁场中以恰当的方式运动时，或当磁铁相对导线以恰当的方式运动时，或仅仅是磁场以某种方式发生变化时，导线上都会感应出电流。这是法拉第通过实验发现的定律。现在我们从麦克斯韦方程出发理解这些现象。

回路中的电流本质上是电子的运动，电子之所以运动是因为受到了推力。当导线中的电子受到沿导线的净推力时，就产生了电流。我们可以这样来描述这个推力，考虑单位电荷所受的沿导线的切向力对整个电路环绕一周的路程所作的线积分，这个量就成为“电动势”。那么某个闭合电路，在整个电路包围的面积上对 $\nabla \times \vec E = -\dfrac{\part B}{\part t}$ 两边同时做积分，左式等于 $\big\int_S (\nabla \times \vec E)\cdot \vec{n}\d S$ ，根据斯托克斯定理它可以写作 $\big\oint \vec E\cdot \d s$ ，这恰好沿着电路的一个推力的累积，称为“感应电动势”。而右式恰好等于 $-\big\int_S \dfrac{\part B}{\part t}\cdot \vec{n}\d S=-\dfrac{\part}{\part t}\big\int_S B\cdot \vec{n}\d S$ 。因此法拉第定律本质上在说，感应电动势的大小等于磁通量的变化率。

我们试图来理解这一定律为何正确。考虑在磁场中运动的导线，电子因为运动而受到洛伦兹力，洛伦兹力迫使电子的运动方向发生偏转，于是产生了沿着导线的运动，这称为“动生电动势”。反之，如果固定回路而改变磁场，那么我们不能根据同一论证来得到解答，只能用法拉第通过实验得出的定律算出磁通量的变化率，得到“感生电动势”。在物理学的其它领域还没有一个这么简单而又准确的普遍原理，为了真正理解它需要依据两种分析。我们也许希望从电场与磁场的相对论统一性的论证中来理解它。另外需要指出的是，通量法则并不总是正确的，在诸如“法拉第圆盘”等例子中，直接使用通量法则会得出错误的结论，这是因为通量法则其实还附加要求电路的“材料”必须保持相同，而法拉第圆盘中电路的材料实际上是在不停变化的。因此最好的方法是回到最基本的定律中去， $F=q(E+v\times B)$ 和 $\nabla \times E=-\dfrac{\part E}{\part t}$ 始终是正确的。

新的项

下面我们来看第四个方程中新的项 $\dfrac{\part \vec E}{\part t}$ 是如何起作用的。

电荷守恒

首先我们会发现，加上了这个新的项之后，第四个方程本身就蕴含了“电荷守恒定律”。对第四个方程两边同时求散度，根据旋度的散度是0左侧得到0，于是有 $\dfrac{\nabla \cdot \vec j}{\epsilon_0}+\nabla \cdot \dfrac{\part \vec E}{\part t}=0$ 。那么 $\nabla \cdot \vec j = -\epsilon_0\dfrac{\part}{\part t}\nabla \cdot \vec E$ ，代入高斯定律得到 $\nabla \cdot \vec j=-\dfrac{\part\rho}{\part t}$ ，这恰好表明通过任何一个闭合曲面的电荷量等于曲面内电荷的损失量，这恰好就是电荷守恒的一种表述。