电磁辐射
电磁辐射的“基本定律”
在讨论电磁辐射时，我们肯定需要用到电磁学的定律。在电磁学的部分我们会详细讨论这些定律的内容。但当我们做一些近似以后，我们发现它有很简单的数学形式，以致于我们只要把这种数学形式作为一种“已知的定律”记住，就可以用初等的方法研究光学和电动力学。
我们可以这样描述电磁学的全部定律：电荷受到的力描述为\(F=q(E+v\times B)\)，这指出电荷只受电场力和洛伦兹力。那么我们只需要描述清楚每个位置的电场和磁场我们的阐述就完整了。由于电场和磁场都满足叠加原理，我们只需描述单个电荷产生的磁场。其中，\(E=-\dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0}\left[\dfrac{e_{r'}}{r'^2}+\dfrac{r'}{c}\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{e_{r'}}{r'^2}\right)+\dfrac{1}{c^2}\dfrac{d^2e_{r'}}{dt^2}\right]\)，\(B=-e_{r'}\times \dfrac{E}{c}\)。其中\(r'\)矢量是观测位置到电荷的单位矢量，之所以加一撇是因为我们发现场的传播也是无法超过光速的，因此我们观测到的其实是延迟了\(r/c\)秒的场，因此加上一撇表示它若干时间以前的位置。这三个公式就完整地描述了经典电磁学的内容，甚至把相对论相应也包含在其中。
我们常常讨论的是电荷以比较慢的速度运动一段不大的距离这样更简单的情况，一次我们可以认为\(r\)就是距离，位置矢量就取一个固定的时间\(\dfrac{r}{c}\)秒前的时刻的位置矢量。在电场的三项中，第一项就是库仑定律，电场强度随着距离的增加呈平方反比的速率衰减；单位矢量本身就带有一个\(1/r\)的因子（相似三角形），因此第二项也是平方反比衰减的。唯有第三项是一次反比衰减的（它恰好正比于单位矢量的加速度，也就是电荷的加速度除以距离）。综上，对于较远的距离，我们可以可以认为点电荷产生的电场就是
其中\(a\)就是点电荷的加速度。而且我们只需考虑垂直于视线的加速度（视平面上的加速度），因此视线方向的加速度对单位矢量是没有影响的。我们就把这作为电磁辐射的“基本定律”，通过实验我们可以验证式子是相当精确的。
波
现在我们来考察这一数学表达式的物理意义。当一个电荷上下运动时，我们沿垂直运动方向的轴观察某一时刻各个点处的电场情况，发现越靠近电荷的位置的电场越接近于此时此刻的电荷加速度形成的电场，因此公式中加速度的“延时”表现为了电荷的加速度被按照时间顺序排列在了轴上，换言之电荷的运动情况被“传播”了出去，这就是“电磁波”的由来，这种“波”的传播速度恰好是光速。因此我们引入一个新的量，它来自固定某一时刻\(t\)观察空间上电场的分布（波），与时间上的一个周期对应的“空间上的一个周期”通常称为“波长”\(\lambda\)，它是一个整周的波所占的距离，这个距离可以写作波的传播速度乘以波源的运动周期，在这里\(\lambda=cT\)，因为我们等一个周期的时间波就会向前恰好传播一个完整周期的距离。
当我们说离波源“足够远”的时候可以使用我们的基本定理，究竟多远是足够远？答案是几个波长左右的距离就够了，此时电场的前两项要比\(1/r\)小\(\lambda/r\)的量级，我们的公式已经是足够好的近似。
这样的波是具有能量效应的。由于根据我们的电磁学定律，电荷受到的力正比于场强，因此加速度、速度、位移都与场强成正比，根据动能定理的量纲不难发现能量应当与场强的平方成正比。所以我们就把场所能传递给系统的能量当作与场的平方成正比。这意味着离开源越远，能量以距离平方反比的速率衰减。这可以有一个很简单的解释：我们取电荷出发的一个角锥，在角锥的某个截面上电场强度与距离成反比，因此能量与距离平方呈反比，但截面面积本身与距离平方呈正比，这意味着角锥的每个截面上的能量是定值。所以我们可以把“电场的振幅随距离反比衰减”理解为“源的能量永远不能收回地散布在越来越大的有效面积中”，散布出去的能量可以被其它系统所收集。
干涉
当把两个以相同频率振荡的电荷（称为偶极辐射子）放在一起时，尽管空间处某点的电场满足简单的矢量叠加原理，但当我们要讨论“强度”的时候，我们指的是能量。能量并不简单地满足叠加原理， 因此我们要研究偶极辐射子形成的场的能量。
容易发现，某点处场的能量取决于该点处两个电场振荡情况的相位差。如果相位差为0，那么两个振动始终叠加而加强，最终得到的能量为当个振子能量的四倍。如果相位差刚好为半个周期，那么所有的振荡都会被抵消而得到能量为0。用数学来描述，我们其实就是要研究\(R=A_1\cos(\omega t+\phi_1)+A_2\cos(\omega t+\phi_2)\)的数学性质。如果\(A_1=A_2\)，那么由和差化积公式就能够简单地得到。对于其它的情况，我们也可以仿照简谐运动中“把三角函数看作复数的实部”这一技巧计算得到。一个更有趣的方法是用几何来思考：余弦可以看作旋转矢量的水平投影，于是问题转化为计算两个旋转矢量的和，再考虑这个和的投影。那么由于两个旋转矢量有着相同的频率，它们之间没有相对运动，换言之两个矢量整体像刚体一样转动，因此旋转矢量的长度是个定值，这个值可以用余弦定律直接求出，即\(A_R^2=A_1^2+A_2^2+2A_1A_2\cos(\phi_1-\phi_2)\)。
由此可见，辐射偶极子的能量叠加由简单的能量叠加和一个修正项\(2A_1A_2\cos(\phi_1-\phi_2)\)决定，这个修正项只取决于该点处两个振动的相位差，也就是由源的相位差和路程差共同决定。这个修正项称为“干涉效应”。如果干涉项为正，该处就加强；干涉项为负，振动被减弱。空间中相同能量的点被一组双曲线系方程确定，因为双曲线正是路程差为定值的点构成的曲线。
衍射
人们总喜欢把干涉和衍射分开讨论，但它们实际上在物理上并没有明确的重大差别，至今没有人能令人满意地把干涉和衍射区分开来。一般当源的个数比较少时，我们习惯说“干涉”，而当源很多时，则说“衍射”。因此对于衍射的讨论其实就是对干涉的讨论的继续。
衍射的问题是：有\(n\)个等间距的振子以相同的振幅和相同的频率振动，但彼此相位不同，现在要考虑能量的叠加原理。
我们先考虑以下数学问题的计算：\(R=A[\cos\omega t+\cos(\omega t+\phi)+\cos(\omega t+2\phi)+\)\(\cdots+\cdots+\cos(\omega t+(n-1)\phi)]\)，这意味着这些振子的相位差也等距分布。这是等差数列的三角函数的求和问题，我们在数学分析课上用复数的技巧求得过结果，因为它就是复数的等比数列求和。用干涉的几何，我们可以有一个更直观的方法。每个余弦都看作旋转矢量的水平投影，那么旋转矢量构成了个正多边形的一系列边长， 这个正多边形一定内接于某个圆，只要求出这个圆的半径和圆心角就不难求出合矢量\(A_R=A\dfrac{\sin(n\phi/2)}{\sin(\phi/2)}\)。所以合强度\(I=A^2\dfrac{\sin^2(n\phi/2)}{\sin^2(\phi/2)}\)。当\(\phi\)趋向0时，它正好趋向\(A^2n^2\)（利用角度这一等价无穷小），表示所有相位相同时振幅直接叠加；随着\(\phi\)的增加，分子不断波动，不停取到极大值1和极小值0，分母单调递增，因此合振幅呈现出幅度越来越小的摆动。而每当\(\phi\)增大\(2\pi\)的整数倍时\(I\)再次回到原点（因为两个三角函数平方都与原点相同），这是三角函数本身的周期性。
现在考虑排成一列的\(n\)个等间距\(d\)并相位完全相同的振子，我们想知道当我们在与发现成不同角度\(\theta\)的位置观察时强度如何变化。这里我们描述观察位置时只用角度一个变量，是因为我们假定了我们离源较远做的一个近似。容易发现因为角度的存在，相邻两个源之间出现了相位差，这个相位差计算可得\(\dfrac{d\sin\theta}{\lambda} \cdot 2\pi\)。把它代入刚才的公式，得到\(I=A^2\dfrac{\sin^2(n\pi d\sin\theta/\lambda)}{\sin^2(\pi d\sin\theta/\lambda)}\)。我们发现最小值0在\(n\pi d\sin\theta/\lambda=k\pi\)时取到，即\(\sin\theta=\dfrac{\lambda}{nd}\cdot k\)，其中\(nd\)刚好是这一列光源的长度\(L\)，也即\(\sin\theta=\dfrac{\lambda}{L}\)；最大值在\(\theta=0\)时首先取到，接着周期性地在\(2\pi d\sin\theta/\lambda=2m\pi\)时取到，因此得到\(\sin\theta=\dfrac{\lambda}{d}\cdot m\)（为了有解要求\(d>\lambda\)，即源之间的距离要大于波长）。可见这样的光源像四周散发的光束分为几个很强的主极大值合若干个很弱的“边瓣”，这就是衍射的效应，它是光源间的振动叠加的结果。
我们也容易把它推向光源连续的情况。现在\(d,\phi \to 0,n \to \infty\)，而\(n\phi\)固定为某个常数\(\Delta\)。于是对于\(I=A^2\dfrac{\sin^2(n\phi/2)}{\sin^2(\phi/2)}\)可以对分母做等价无穷小的替换，得到\(I=\dfrac{4A^2}{\phi^2}\sin^2(\Delta/2)\)。
在一块平玻璃片上刻上排列非常紧密的等间距凹槽，使得玻璃上刻痕处的原子会发生与玻璃的其余部分不大相同的运动，这样每个刻痕就成了一个“源”，这样我们就能预期光不仅会笔直穿过玻璃片，还会在某几个角度上出现强光束。这就是衍射光栅。
在这个过程中，远处源的粒子运动使得玻璃中的粒子运动，而玻璃的粒子运动有产生了自己的波，这一现象称为“散射”。当我们分析光源以一定倾角射到光栅上时，我们可以开始理解反射的基本机理。我们考虑以倾角\(\alpha\)入射时\(\beta\)角处的光强度，只需代入\(\phi=2\pi\dfrac{d\sin\beta}{\lambda}-2\pi\dfrac{d\sin\alpha}{\lambda}\)。\(\phi=0\)时取绝对值，此时\(\sin\beta=\sin\alpha\)。因此我们首先发现，\(\alpha=\beta\)意味着散射光沿原来光的方向前进；而\(\alpha\)与\(\beta\)互为补角也是满足条件的解！这意味着有一束光位于入射角等于散射角的方向上，这就是“反射光束”。衍射使得在出射角度等于入射角度的位置出现了加强的光束。
