几何光学
电磁辐射的宽广谱系被一个称为“波长”的变量加以区分。波长从长到短经历了无线电波、红外波、可见光、紫外波、X射线、\(\gamma\)射线等等。其中，有三个区域特别值得关注。一个区域内，波长比用来研究它的一起的尺度小得多，此时可以用一种称为“几何光学”得方法来作粗略的一级近似；另一个区域内，波长与仪器的尺度相近，此时仍然不用考虑量子力学，可以用经典的电磁辐射理论来研究；最后一个区域内波长短到波的特性可以忽略，此时我们用“光子”的模型来粗糙地加以描述。下面我们开始讨论“几何光学”的部分。在这里我们甚至不用去追问“光是什么”，只要找出大尺度下光的行为如何。换言之，我们决定先从十分粗糙的角度来研究光的行为。
最短时间原理
我们从经验上已经对光足够熟悉，能充分理解光沿直线传播，当光射向某个界面时会发生反射，当光穿过不同介质时会发生折射等现象。人们对这些现象做过许多研究，得出了反射时入射角等于反射角的规律，折射时的斯涅耳定律等等。
所有这些光的行为都被统一在费马的最短时间原理里：在从一个点行进到另一个点的所有可能路径中，光一定会走所需时间最短的路径。这个简单的原理既包含了光的直线传播定理，也包括了所有反射、折射的现象。
在反射中，我们需要找到两点间经过镜面的一条最短路径。根据几何我们知道两点间线段最短，通过三角形全等我们可以作出一点关于镜面的对称点，通过这样的数学技巧我们再一次把问题转化为两点间的最短路径问题，显然答案就是线段最短。此时我们通过几何分析出反射角始终与入射角相等。由于视觉-大脑系统只能识别入射的光线，因此人脑会把反射的像解析为好像镜子里面有一个对称的世界一样。这是由反射现象引起的视觉错觉。
折射本质上是给光速加权的反射。在已知两种介质中光的速度比（折射率）时，我们要做的就是找到界面上最优的那个点，这是个一元函数的最值问题，通过微分很容易找到答案——入射角和折射角的正弦值之比等于折射率（斯涅耳定律）。
最短时间原理的另一个直接的结果就是光路可逆。因为一旦我们找到了用时最短的路径，那么反方向的路径一定也是用时最短的路径。
用“最短时间原理”来叙述光具有的这种性质有时是具有误导性的。例如在反射的例子中其实最短时间的路径是不经过镜子直接到达另一点。所以这里的“最短”其实是“极小”而不是“最小”，它是一个变分学问题，对光所走的路径作无穷小扰动造成的时间变化一定也是无穷小。
还有一个疑问是，光究竟是如何找出这条用时最短的路径的？它是否试探了邻近的所有路径？某种程度上，它确实试探了所有的路径，因为光的本质是电磁波，它以波的形式传播，因此在效果上像是“试探”了空间中的所有路径。这个特征在几何光学中是无法知道的。
球面的焦距
考虑两种不同介质，不妨认为光在左边介质的速度为\(1\)，在右边介质的速度为\(1/n\)（即折射率为\(n\)）。现在我们想让左边介质中一个点光源发出的光穿过介质以后会聚到一个点，我们想要求出这个能让光线聚焦的介质的曲面应当是什么形状的。
根据最短时间原理，先到达界面的光线在右侧介质内必须走更长的距离。我们可以确定界面上某两个点的位置，这样就得到了一个聚焦的点，然后其它所有光线都必须以和这两条光线相同的时间到达聚焦点——因为如果光源与焦点之间存在着不同时间到达的路径，光一定会选择用时更短的那条路径，因此如果想让光全部会聚，用时必须完全相等。事实上，这种用最短时间原理来思考的方法和完全采用斯涅耳定律按照曲面前面来计算折射角的算法是完全等价的。结果表明，这个曲面的解是一个非常复杂的四次曲面。如果点光源在无穷远处，也即如果入射光是平行光，那么曲面的解是二次曲面（实际上就是抛物线（面），这正是圆锥曲线的光学性质的结论之一）。
无论是二次曲面还是四次曲面都因为过于精确因而难以制造的。在实践中我们一般不试图去制造能把所有光线都会聚的曲面，而是妥协为指向把靠近光源和焦点连线部分的光线（傍轴光线）聚焦。由于只考虑很小一部分曲面，我们可以用球面来做局部的近似，因此问题就在于找出球面的曲率半径。
如上图，过\(P\)作\(OO'\)的垂线，垂足为\(Q\)。我们只需根据\(OPO'\)的用时与\(OVO'\)的用时相等就可以解出曲率半径。写出\(OP+PO'\cdot n=OV+VO'\cdot n\)。也即\(OP+PO'\cdot n=OQ-VQ+(VQ+QO')\cdot n\)，也就是\(OP-OQ+(PO'-QO')n=VQ\left(n-1\right)=(PC-QC)\left(n-1\right)\)。我们发现式子中的三项都是某个直角三角形的斜边减去直角边。由于角度很小，我们对它们作这样的近似：以\(\triangle OPQ\)为例，设\(PQ=h\)，\(\ang POQ=\theta\)，那么\(s-s\cos\theta=2s\sin^2\dfrac{\theta}{2}\approx 2s\cdot\dfrac{\theta^2}{4}\approx \dfrac{s}{2}\tan\theta^2=\dfrac{h^2}{2s}\)。于是我们的方程变成了\(\dfrac{PQ^2}{2OP}+\dfrac{nPQ^2}{2PO'}=\dfrac{(n-1)PQ^2}{2R}\)。因为它们共用了\(PQ\)这个高， 所以我们消去了它！由此解得\(\dfrac{n-1}{R}=\dfrac{1}{OP}+\dfrac{n}{PO'}\)。因为角度很小，\(OP\)和\(PO'\)就可以理解为\(OV\)和\(VO'\)。
这个结果不仅使我们求出了所需的曲率半径，还预示着不仅这样特定的\(OP\)和\(PO'\)能够被聚焦，所有满足\(\dfrac{1}{s}+\dfrac{n}{s'}\)恒定的\(s\)和\(s'\)都适用当前的半径\(R\)。特别有趣的是当\(s\to \infty\)时的情况，此时\(\dfrac{1}{s}\)这一项趋向0，得到\(\dfrac{n-1}{R}=\dfrac{n}{s'}\)，解得\(s'=\dfrac{nR}{n-1}\)。这段距离\(s'\)就被称为这个球面透镜的“焦距”，记为\(f'\)——当入射光为平行光时，它们将在\(f'\)处会聚。同理我们可以知道另一边当\(s' \to \infty\)时，解得\(s=\dfrac{R}{n-1}\)，记为\(f\)。根据光路可逆，如果我们放一点光源在“焦点”处，光经过透镜折射以后将会平行射出。由于焦距比曲率更容易测出，我们一般把式子写作\(\dfrac{1}{s}+\dfrac{n}{s'}=\dfrac{1}{f}\)。
如果\(s<f\)，那么我们得到了一个负的\(s'\)。此时方程依然有实际的意义。我们发现当光源过于接近透镜时它难以被折成平行光，而从几何的反向延长线上它会聚在了透镜的另一侧，这个点到透镜的距离恰好由原来的方程给出。这个焦点（像）是表观上的像，又称为“虚像”。而一般的实际上的会聚点称为“实像”。人的视觉系统是能够识别虚像的，就像我们在镜子里看到的像一样。
当\(R \to \infty\)时，我们得到\(\dfrac{1}{s}+\dfrac{n}{s'}=0\)，也即\(s'=-ns\)。这对应着平面界面的折射情况，当我们在水面上看水下的鱼时，鱼好像看上去更浅一些，事实上我们会看到它位于它真正深度的\(\dfrac{3}{4}\)处，对应的恰好是水的折射率的倒数。
透镜
球面镜的结论也可以理解为，如果在距离球面镜\(s\)处放一光源，那么它将聚焦于\(s'\)处。现在我们讨论透镜，它由两个球面组成的，光先从空气中经过第一个表面的折射，穿过玻璃，再经过第二个球面回到空气中聚焦。
根据球面镜的公式，我们可以计算出光线在穿过第一个界面后的聚焦点，这个聚焦点可能在透镜内也可能在透镜外，但关键在于从效果上看它“好像一个新的光源”，于是我们以这个假象的光源作为出发点再对第二个球面用一次我们的球面镜公式，事实上这样就得出了实际上的透镜的聚焦点。事实上，这样的规律对更多的透镜也是适用的，我们每次只需要考虑一个界面，用球面镜公式算出下一个光源的位置，不断迭代即可。
现在我们就用这种方式来计算透镜的焦距：设透镜穿过轴的厚度为\(T\)，那么根据\(OP+PO'=OQ+QO'-T+T/(1/n)\)，得到\(OP-OQ+PO'-QO'=T(n-1)\)。根据完全相同的近似法则得到\(\dfrac{h^2}{2s}+\dfrac{h^2}{2s'}=(n-1)T\)。\(T\)可以用两个球面镜的半径\(R_1,R_2\)来表示，记透镜在轴上的左端点为\(A\)，右端点为\(B\)，那么\(T=AQ-BQ=\dfrac{h^2}{2R_1}-\dfrac{h^2}{2R_2}\)，代入就可以消去\(h^2\)得到\(\dfrac{1}{s}+\dfrac{1}{s'}=(n-1)\left(\dfrac{1}{R_1}-\dfrac{1}{R_2}\right)\)。
根据公式我们发现\(s\)和\(s'\)是完全对称的，因此我们只会算出一个焦距，当\(s\)趋向无穷时得到\(\dfrac{1}{f}=(n-1)\left(\dfrac{1}{R_1}-\dfrac{1}{R_2}\right)\)。事实上这个对称是可以理解的，我们在推导球面镜公式的时候就发现了“焦距之比等于折射率之比”的数学性质，现在从左到右和从右到左都是从空气到玻璃到空气，既然介质是对称的那么焦距必然是对称的。
于是我们得到\(\dfrac{1}{s}+\dfrac{1}{s'}=\dfrac{1}{f}\)。这就是透镜的焦距公式。当平行光入射时，光线将会聚于焦距处（这正是焦距的测量方法）。
透镜成像
现在我们来考虑光源偏离轴的情况。如果这样的光源依然能够会聚，那么我们只需要选择其中的两条光路找到它们的交点，这个交点处会出现一个和光源一摸一样的图像，因为光源上的每一个点都会聚到了相应的点。这两条线是容易选取的，我们选取一条平行于轴的光线，这条光线折射后一定穿过透镜的焦点；另一条光线穿过左侧的焦点，那么由于光路可逆它经过透镜折射后必然平行射出。这样我们就求出了像的位置。事实上可以证明，光线的确会聚到了这个焦点上，呈现处了图像，这就是透镜的成像。这样我们就把成像的问题转化成了几何的问题，通过简单的相似三角形知识我们就可以计算像的位置，放大的倍数等等。
假设光学系统是由多个透镜组成的，我们也只需要像把球面镜推广到透镜一样，每一次计算一个透镜成像的等效位置，然后依次迭代即可。理论上所有光学系统都可以用这种方法计算得到。一个有趣的结果是，如果最初入射和最终初设的介质相同，那么再复杂的光学系统都好像一个等效的透镜一样，平行入射的光线从某个焦点射出，过焦点入射的光线平行射出。于是光学系统的全部性质就此得到描述。
局限性
透镜理论最大的局限性在于，我们的一切推导都是基于当光源位于轴上或偏离轴较小的距离的，因为我们在计算时用到了角度的三角函数的等价无穷小。对于离开轴较远的光源，透镜并不能把它聚焦在焦点上，甚至不能完全聚焦从而产生模糊的光斑，这一效应称为“球面像差”。
另外，由于不同颜色的光在玻璃中有不同的折射率，因此透镜对不同颜色的光的焦距是不同的。这种性质叫做“色相差”。
为了弥补透镜的这一缺陷，光学系统的设计常常需要用到多个透镜来对光线做矫正。理论上，只要透镜足够多，系统足够复杂，我们总能在理论上得到一个足够好的效果。但这是否意味着任何结果都是可能的？例如显微镜能否无限倍将物体放大？显然不可能。因为几何光学的基本假设就是建立在最短时间原理上的，这条原理本身并不是绝对的真理而只是电磁波的一种“几何模型”，当尺度到达光的波长这一级别时，最短时间原理已经不再适用。当两个像点之间，从光源到焦点所消耗的时长之差小于光的一次振动的周期时，再进一步改进光学系统已经没用任何用处了。只有当这一时间差大于一个周期时，两个像点才“能被分辨”。
