波

声波

波动现象出现在物理学的许多领域中，力学中出现振动传播形成的机械波，电磁学中出现电磁波，在现代物理学中还有给出发现粒子概率的物质波。下面我们以力学中的声波作为一个波的特殊的对象来讨论。

声学是力学的一个分支，所以它要用牛顿定律来解释。声波由一处往另一处传播，只是力学定律及传播声的那种物质（介质）的性质的推论。

波动方程

现在考虑声波的一维传播。当一个物体在空气中的某个地方运动时，会有一种扰动在空气中传开。这种扰动可以被描述为是由物体运动产生的空气压强的变化：当物体运动得很快时，空气没有足够得时间绕过物体流过去，于是随着物体得运动而被压缩，这引起了压强得变化。这种变化推动了周围的其它气体，接着这些气体又被压缩，于是又引起更远处空气的压强变化，这样就有一种“波”传播开了。为了用数学描述这个过程，我们用\(\chi(x,t)\)来描述原始位于坐标\(x\)的“一小块”气体在\(t\)时刻的位移情况，\(P(x,t)\)来描述这块气体中的压强，\(\rho(x,t)\)来描述密度，等等。

考虑平衡状态时位置\(x\)处的一小块气体和位置\(x+\Delta x\)处的一小块气体。经过\(t\)时刻后，它们分别到达了位置\(x+\chi(x,t)\)和\(x+\Delta x+\chi(x+\Delta x,t)\)。假设平衡状态时气体密度为\(\rho_0\)，在\(\Delta x\)足够小时可以认为\(t\)时刻两位置之间气体密度为常数\(\rho\)，那么由于前后时刻两位置间气体质量不变得到等式\(\rho_0\Delta x=\rho(\Delta x+\chi(x+\Delta x,t)-\chi(x,t))\)，其中\(\chi(x+\Delta x,t)-\chi(x,t)\approx \left(\dfrac{\part \chi}{\part x}\right)\Delta x\)，于是\(\rho_0\Delta x=\rho(\Delta x+\left(\dfrac{\part \chi}{\part x}\right)\Delta x)\)，也即\(\rho_0=\rho(1+\left(\dfrac{\part \chi}{\part x}\right))\)。记\(\rho=\rho_0+\rho_e\)，那么\(\rho_e+(\rho_0+\rho_e)\left(\dfrac{\part \chi}{\part x}\right)=0\)。其中，\(\rho_e\)是小量，\(\rho_e\dfrac{\part \chi}{\part x}\)一项可以忽略，于是有\(\rho_e=-\rho_0\dfrac{\part \chi}{\part x}\)。而压强是关于密度的函数（无论气体、液体还是固体），所以\(P_0=f(\rho_0)\)，\(P_0+P_e=f(\rho_0+\rho_e)\approx f(\rho_0)+f'(\rho_0)\rho_e\)，因此\(P_e\approx f'(\rho_0)\rho_e\)，其中\(f'(\rho_0)\)是常数，记为\(\kappa\)，那么\(P_e=\kappa \rho_e\)。现在考虑气压差对空气块产生的力，由此列出牛顿运动方程：由\(t=0\)时刻计算出厚度为\(\Delta x\)的空气片质量为\(\rho_0\Delta x\)，\(t\)时刻压强差为\(P(x,t)-P(x+\Delta x,t)\approx -\dfrac{\part P}{\part x}\Delta x=-\dfrac{\part P_e}{\part x}\Delta x\)，其加速度由\(\chi\)的二阶导数给出，那么由牛顿第二定律\(\rho_0\Delta x\dfrac{\part^2 \chi}{\part t^2}=-\dfrac{\part P_e}{\part x}\Delta x\)。代入\(P_e=\kappa \rho_e\)并化简得到\(\rho_0\dfrac{\part^2\chi}{\part t^2}=-\kappa\dfrac{\part \rho_e}{\part x}\)，再代入\(\rho_e=-\rho_0\dfrac{\part \chi}{\part x}\)得到：\(\dfrac{\part^2 \chi}{\part t^2}=\kappa\dfrac{\part^2 \chi}{\part x^2}\)。这就称为波动方程。

我们来看波动方程告诉了我们什么。我们来验证，声波的波形随时间以恒定地速度向前平移，这等价于对任意函数\(f\)，代入\(\chi(x,t)=f(x-vt)\)满足波动方程：等式左侧\(\dfrac{\part^2}{\part t^2}=\dfrac{\part}{\part t}(-vf'(x-vt))=v^2f''(x-vt)\)，等式右侧\(\kappa\dfrac{\part^2 \chi}{\part x^2}=\kappa f''(x-vt)\)。这意味着\(\kappa=v^2\)，也即速度确实是恒定的。记波的传播速度为\(c_s\)，我们可以把波动方程进一步写为\(\dfrac{\part^2 \chi}{\part t^2}=c_s^2\dfrac{\part^2 \chi}{\part x^2}\)。再来验证，一维情形下声波会同时向左或向右传播，只需验证\(\chi(x,t)=g(x+vt)\)同样满足波动方程即可，此处省略。同时，由于微分有线性性，所以当\(\chi(x,t)=\chi_1(x,t)+\chi_2(x,t)\)时，假如\(\chi_1,\chi_2\)都是波动方程的解，那么\(\chi\)也是波动方程的解，这证实了叠加原理成立，一列波可以分解为多个波的叠加。

在上述验证的过程中我们得到了\(\kappa=c_s^2\)，而\(\kappa:=f'(\rho_0)=\left(\dfrac{\part P}{\part \rho}\right)_0\)。因此，波在介质中的波速实际上就由公式\(c_s^2=\left(\dfrac{\part P}{\part\rho}\right)_0\)给出。而声波中压强随密度的变化是一种绝热变化，此时\(PV^\gamma\)为常数。而体积与密度成反比，因此\(P\)正比于\(\rho^\gamma\)。设\(P=C\rho^\gamma\)，有\(\dfrac{\part P}{\part \rho}=C\gamma\rho^{\gamma-1}=\dfrac{C\gamma\rho^\gamma}{\rho}=\dfrac{\gamma P}{\rho}\)。因此\(c_s^2=\dfrac{\gamma P}{\rho}=\dfrac{\gamma PV}{\rho V}=\dfrac{\gamma NkT}{Nm}=\dfrac{\gamma kT}{m}\)，由此可见声速只与温度和介质材料有关。进一步代入\(kT=\dfrac{1}{3}m\lang v^2\rang\)，可得\(c_s^2=\dfrac{\gamma}{3}\lang v^2\rang\)，这表明声速的大小与分子的平均速率有相同的数量级，大约为分子平均速率的一半。