曲线积分与曲面积分

重积分是对平直空间的积分，现在我们想要研究弯曲空间上的积分。这种积分可以根据其“物理意义”分为两类：一类是对弯曲空间上的标量做积分，这类问题可以归约为“给定密度求质量”，例如给定每点处的线密度求曲线的质量，给定每点处的面密度求曲面的质量；一类是对弯曲空间上的向量做积分，例如计算沿某路径的力做的功，通过某一曲面的磁通量。

第一类曲线与曲面积分

第一类曲线积分

对于定义曲线积分，我们当然还是采用Riemann和的形式。但如同定义重积分时需要先定义平直空间面积微元，我们首先需要定义的是弯曲空间的长度微元——某一段曲线的长度。

曲线的长度可以用折线来逼近，当这种逼近趋向无穷细的时候，折线的总长逼近曲线的长度。我们把曲线的长度定义为所有可能折线逼近的上确界，如果它是有限的，就称曲线的是可求长的。这个定义是符合直观的，因为两点间的“折线段”永远是小于“曲线段”的，因此随着划分的加细，折线的总长会不断变大，所以上确界就是极限值。并不是所有曲线都是可求长的，比如对三角形的每条边长出一个小三角形这种“分形曲线”，每次迭代都会使得总长度乘以$4/3$，因此不断迭代后就会在有限的区域内形成无穷的长度，这种曲线就是不可求长的。

对于不连续的曲线，这种定义方式会与直观相去甚远。对于特意把折现选在偏离很远的不连续点上的划分方式，这样得到的上确界会比实际看到的曲线长大很多。因此我们把我们讨论的曲线限制在“连续曲线”的范围内。我们用参数化$r(t)$来方便得表示一条曲线。于是曲线就可以看作一个粒子的运动。此时我们又必须要求这个粒子的运动不能停下来，因为如果停下来它就有可能掉头往回走， 结果是我们求出了很大的曲线长度，而它却只是在重复来回走同一段路径。同时为了方便计算，我们还要求$r(t)$是处处可求导的。这样定义出来的曲线就称为“正则曲线”。我们可以求出它的长度$\sum\limits_{i}\|r(t_{i+1})-r(t_i)\|$。由微分中值定理（因为只有一个自变量，这就是对每一维用一元的微分中值定理）可以直接得到积分表达式$\ell = \displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}\|r'(t)\|dt$。对这个表达式的一个直观理解就是把$r(t)$想象为运动粒子的位置矢量，那么$r'(t)$就是粒子的速度矢量，$\|r'(t)\|$就是速率——速率关于时间的积分得到的就是路程，也就是曲线的长度。

这样我们就可以定义第一类曲线积分了！定义在可求长曲线上的函数$f$在曲线上的积分$\lim\limits_{\lambda \to 0}\sum\limits_{i}f(\xi_i)\Delta s_i=\displaystyle\int\limits_{\Gamma}f \ ds$。这里$ds$是弧长微元，是对$\|r'(t)\|dt$的简写。当$f \equiv 1$时第一类曲线积分就直接给出了曲线长度。

容易证明，线性性和区间可加性对第一类曲线积分依然成立。换元法（选取新的参数化）也依然是成立的，这很符合直觉，但证明却不是显然的——我们要证明$\displaystyle\int\limits_{\Gamma}f \ ds=\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}f(r(t))\|r'(t)\|dt$。根据定义，就是要证明$\lim\limits_{\lambda \to 0}\sum\limits_{i}f(\xi_i)\Delta s_i$等于右侧的定积分，其中$\Delta s_i=\displaystyle\int_{t_1}^{t_2}\|r'(t)\|dt$。于是，把右侧的定积分依据区间可加性拆成相同的区间，即证$\left|\sum\limits_{i}\left(f(\xi_i)-\displaystyle\int_{t_{i-1}}^{t_i}f(r(t))\right)\|r'(t)\|dt\right|$$\leq\left|\sum\limits_{i}\displaystyle\int_{t_{i-1}}^{t_i}\left|f(r(\tau_i))-f(r(t))\right|\|r'(t)\|dt\right| \leq \sum\limits_{i} \omega_i \Delta s_i$。由于正则曲线是定义在紧集上的连续曲线，所以它具有“一致连续”的性质。“一致连续”能够让我们想要让振幅小于一个值时，只需把自变量分割成确定大小的区间。所以我们能够说明当划分趋向无穷细的时候，这个“差值”是趋向0的。

第一类曲面积分

类似地，定义曲面积分为Riemann和$\sum f(\xi_i)\Delta \sigma_i$的极限值，关键问题是如何定义曲面上的“面积”。

我们考虑性质足够好的曲面，此时曲面能够被参数化给出。三维空间中的二维曲面需要两个参数$(u,v)$，因此我们的参数化$r$是从二维空间到三维空间的映射，它可以写作矩阵的形式$\begin{bmatrix}\alpha_1 & \beta_1\\\alpha_2 & \beta_2\\\alpha_3 & \beta_3\end{bmatrix}$。我们的思想依然是当曲面片足够小时，可以用平直空间来代替弯曲空间。对于平直空间，假设参数$u,v$都在$[0,1]$中取值，那么在$(u,v)$的二维空间里它形成了面积为1的单位正方形。经过线性映射后得到了一个空间平行四边形，由于根据线性映射$\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\alpha_1 & \beta_1\\\alpha_2 & \beta_2\\\alpha_3 & \beta_3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}u\\v\end{bmatrix}$，代入$(1,0)$和$(0,1)$得到向量$\begin{bmatrix}\alpha_1\\\alpha_2\\\alpha_3\end{bmatrix}$和$\begin{bmatrix}\beta_1\\\beta_2\\\beta_3\end{bmatrix}$，它们形成的平行四边形面积就是这两个向量的叉积，记为$\|\alpha \times \beta\|$。那么对于一般的$(u,v)$形成的矩形，它们映射前后的比例也始终是这个值。这样我们就得到了$S(r(D))=\|\alpha \times \beta\|S(D)$。

在弯曲的空间中，我们用微分中值定理来写出参数化后某点$(u_0,v_0)$的线性逼近：$r(u,v)=r(u_0,v_0)+r'(u_0,v_0)\Delta r+O(\Delta r)$，舍去高阶小量后，微分部分就是$\begin{bmatrix}\dfrac{\partial x}{\partial u}&\dfrac{\partial x}{\partial v}\\\dfrac{\partial y}{\partial u}&\dfrac{\partial y}{\partial v}\\\dfrac{\partial z}{\partial u}&\dfrac{\partial z}{\partial v}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}u-u_0\\v-v_0\end{bmatrix}$，这就是我们要的线性映射！因此面积之比为$\|r_u(u_0,v_0) \times r_v(u_0,v_0)\|$。这样我们就定义出第二类曲面积分中的面积微元$dS=\|r_u \times r_v\|dudv$。因此有

$$\Sigma = \displaystyle\iint\limits_{D} f(u,v)\|r_u \times r_v\|dudv$$

根据叉积的几何意义，$\|\alpha \times \beta\|=\|\alpha\|\|\beta\|\sin\theta$$=\sqrt{\|\alpha\|^2\|\beta\|^2\sin^2\theta}$$=\sqrt{\|\alpha\|^2\|\beta\|^2(1-\cos^2\theta)}=\sqrt{\|\alpha\|^2\|\beta\|^2-(\alpha \cdot \beta)^2}$。如果设$E=r_u \cdot r_u,$$F=r_u \cdot r_v,G=r_v\cdot r_v$，那么$\|r_u \times r_v\|=\sqrt{EG-F^2}$。其中$E,F,G$称为高斯系数，在微分几何中它们可以用来表示曲率。

仿照这样的方式我们可以在更一般的空间里定义面积——只需在$n$维空间里的$k$维曲面的情形下，找到表示“面积”的方法。我们只需在$n$维空间里找到一组标准正交基，在$k$维子空间里找到一组标准正交基，其余维数补为0以后，这两组正交基之间存在一个正交矩阵把它们联系起来，而我们知道正交矩阵的映射是不改变“面积”的，对于任何一个映射$A$我们可以写出映射前后面积的比例关系为$\sqrt{\det(A^\top A)}$，因此一般地第一类曲面积分写作$\Sigma = \displaystyle\int\limits_{D}f(u)\sqrt{\det(r'^\top r')(u)}du$。

第二类曲线与曲面积分

下面开始研究向量场在弯曲空间上的积分。

第二类曲线积分

要求出力沿某路径做的功，我们期待总功等于把路径切分后每小段的元功之和。元功可以表示为，力的函数在该段路径上某一点的取值的分量乘上该小段位移向量，所以应当有$W=\lim\limits_{\Delta \to 0}\sum\limits_{i}\vec F(\xi_i) \cdot \vec \tau_i |\Delta s_i|$，其中$\tau_i$是该点处曲线的单位切向量。由此定义第二类曲线积分$\displaystyle\int\limits_{\Gamma} \vec f\cdot \vec \tau \ ds$，如果写出分量形式$\vec f=(P,Q,R),\vec \tau=(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)$，就转化为了第一类曲线积分$\displaystyle\int\limits_{\Gamma}\left(P\cos\alpha+Qcos\beta+R\cos\gamma\right)ds$。这就是正交分解，我们可以分别计算每个分力做的功，再把这些功标量相加。因此有时我们也把$\vec\tau ds$记作$d\vec s$，并记$d\vec s=(dx,dy,dz)$，其中$dx,dy,dz$作用在$f$上就表示$f$在各个坐标轴上的投影，这样第二类曲线积分也可以记为$\displaystyle\int\limits_{\Gamma}f \cdot d\vec s=\displaystyle\int\limits_{\Gamma}Pdx+Qdy+Rdz$。

如果给出曲线的参数化，那么依然有$ds=\|r'(t)\|dt$。而单位切向量$\tau(r(t))=\dfrac{r'(t)}{\|r'(t)\|}$，于是得到$\displaystyle\int_\alpha^\beta f(r(t))\cdot \tau(r(t))ds=\displaystyle\int_\alpha^\beta f(r(t))\cdot r'(t)dt$。它的直观是，总功等于功率在时间上的积分。

如果$\vec f$由一个势函数给出，即如果有$\vec f = -\nabla \phi$，那么根据链式法则$\vec f(r(t))\cdot \vec r'(t) = \dfrac{d}{dt}\phi(\vec r(t))$。于是我们大概可以知道$\displaystyle\int\limits_{\Gamma} \vec f\cdot \vec \tau \ ds = \phi(r(\beta))-\phi(r(\alpha))$，这说明保守力做功与路径无关。我们在后面将会严格证明这一点。

注意第二类曲线积分与曲线的定向有关，如果定向反向，那么积分值也要反向。

第二类曲面积分

定义向量场$f(x,y,z)$在面积$\Delta S$（假设它很小以至于向量场可以认为是均匀的）的通量为$\vec f \cdot \vec n|\Delta S|$，其中$\vec n$是单位法向量。于是第二类曲面积分定义为$\displaystyle\iint\limits_\Sigma \vec f \cdot \vec n \ dS$。如果给出分量形式$\vec f=(P,Q,R)$以及$\vec n = (\cos\alpha ,\cos \beta,\cos \gamma)$，那么写出$\displaystyle\iint\limits_\Sigma \vec f \cdot \vec n \ dS=\displaystyle\iint\limits_\Sigma(P\cos\alpha+Q\cos\beta+R\cos\gamma)dS$。对于通量我们同样有正交分解，向量场通过某一倾斜平面的通量应当等于向量在各个坐标轴方向上的分量通过该平面的通量，而对于各个分量平面投影到与向量垂直的坐标平面上不影响结果，这样我们就可以把向量和平面同时做正交分解。如果记$d\vec S=\vec n dS$表示有向面积微元，我们用微分形式的记号$dy \and dx$来表示$d \vec S$在垂直$z$轴平面方向的投影，即$d\vec S = (\cos\alpha\ dS,\cos\beta\ dS,\cos\gamma\ dS)=(dy \and dz,dz \and dx,dx \and dy)$，那么第二类曲面积分可以写作$\displaystyle\iint\limits_\Sigma \vec f \cdot d\vec S = \displaystyle\iint\limits_\Sigma P dy \and dz + Q dz \and dx+R dx\and dy$。

曲面也是需要定向的。三维空间的二维曲面在任意一点处法向量都有两个方向。而只要我们确定了某一点的法向量，并要求如果点在曲面上连续移动时单位法向量也必须连续移动，那么我们就能确定所有法向量的定向。（但并不是所有曲面都是“可定向”的，因为按照上面方式定向可能出现自相矛盾，例如在莫比乌斯环上绕一周回到原点时会恰好发现法向量反向了，因此莫比乌斯环就是不可定向曲面。）

如果给出二维曲面的参数化$r(u,v)$，那么容易写出单位法向量$\vec n = \pm \dfrac{\vec r_u \times \vec r_v}{\|\vec r_u \times \vec r_v\|}$。而根据第一类曲面积分$dS = \|\vec r_u \times \vec r_v\|dudv$，于是写出第二类曲面积分的计算方法$\displaystyle\iint\limits_\Sigma \vec f \cdot \vec n \ dS=\displaystyle\iint\limits_D \vec f(\vec r(u,v)) \cdot (\vec r_u \times \vec r_v) dudv$。

在第二类积分中，我们会遇到单独计算某个分量的问题。

在曲线积分中，单独计算$\displaystyle\int\limits_{\Gamma}Pdx$等价于$\displaystyle\int\limits_{\Gamma}(P,0,0) \cdot \vec\tau ds$，因为只有$x$方向的分量产生共线。这样就转化为了一般的第二类曲线积分，如果对曲线有参数化$r(t)$的话就得到$\displaystyle\int_\alpha^\beta (P,0,0) \cdot (v_x(t),v_y(t),v_z(t)) dt=\displaystyle\int_\alpha^\beta Pv_x(t) dt$，也即我们可以直接用$\dfrac{dx(t)}{dt} \cdot dt$来代换$dx$。

在曲面积分中，$\displaystyle\int\limits_{\Sigma}R(x,y,z)dx \and dy=\displaystyle\int\limits_{\Sigma}(0,0,R(x,y,z))\cdot \vec n dS$$=\displaystyle\int\limits_{D}(0,0,R(u,v,f(u,v)))\cdot [(1,0,f_u) \times (0,1,f_v)]dudv=\displaystyle\int\limits_{D}(0,0,R(u,v,f(u,v)))\cdot (-f_u,-f_v,1)dudv$$=\displaystyle\int\limits_{D}R(u,v,f(u,v))dudv$。直观上，由于只有$x,y$这两个变量在自由变化，我们可以把向量的分量理解为仅关于$x,y$的函数，在$x,y$所在的区域对这个函数做重积分。

数学分析的基本积分公式

如果把Newton-Leibniz公式理解为在空间$I=[a,b]$上的积分，那么它表明一个函数在该空间的边界上的求和（带定向，法向量朝外）等于其导函数在空间内部求和。事实上，对于更一般的空间也有这个结论，在平面上表现为Green公式，在空间中表现为Gauss公式，在曲面上表现为Stokes公式，他们都可以写作$\displaystyle\int\limits_{D}df=\displaystyle\int\limits_{\partial D}f$这样的形式，即对被积区域取“边界”与对被积对象取“微分”操作之间是“具有某种对偶性”的。

Green公式

给定平面有界闭区域$D$，其边界由有限条分段光滑曲线构成，那么对于$P,Q \in C^1(D,\R)$成立

$$\int\limits_{\partial D}Pdx+Qdy=\iint\limits_{D}\left(\dfrac{\partial Q}{\partial x}-\dfrac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy$$

它指出，对于平面上的一个向量场，如果我们在给定区域的边界上对向量做一圈积分，它一定等于一个奇特的项$\left(\dfrac{\partial Q}{\partial x}-\dfrac{\partial P}{\partial y}\right)$在整个区域上做积分。严格的证明非常复杂，我们采用直观的理解：假如我们能把平面划分成微小的矩形，每个矩形的左下角设为$(x,y)$，那么向量在这个矩形的边界上做积分是容易计算的：$x$方向的积分是上下两条边上的积分，可以近似为$P(x,y)\Delta x - P(x,y+\Delta y)\Delta x \approx -\dfrac{\partial P}{\partial y}\Delta x \Delta y$。同样的，对于$y$方向也有$Q(x+\Delta x,y)\Delta y - Q(x,y)\Delta y \approx \dfrac{\partial Q}{\partial x}\Delta x \Delta y$。因此整个环路积分就近似为$\left(\dfrac{\partial Q}{\partial x}-\dfrac{\partial P}{\partial y}\right)\Delta x\Delta y$。现在当我们把所有微小矩形拼成给定的区域时，我们发现重叠部分的路径积分都相互抵消了，只留下最外围的路径的积分，这些积分拼起来就是向量场在区域边界上的积分，因此$\sum \left(\dfrac{\partial Q}{\partial x}-\dfrac{\partial P}{\partial y}\right)\Delta x\Delta y$就等于边界上的积分$\displaystyle\int\limits_{\partial D}Pdx+Qdy$。

注意当我们说边界的时候，边界作为第二类曲线积分是需要定向的。这个定向是由平面的定向决定的，称为诱导定向。诱导定向满足当我们把头指向平面的法向量来沿着边界行走时，区域始终在左手边。

我们根据Green公式可以来讨论何时第二类曲线积分与路径无关，即给定力的解析式我们能够判定该力是否是保守力。 假设在区域内向量场沿任何环路积分都等于0，那么显然可以得到曲线积分与路径无关，不然选择两条积分值不同的路径我们就得到了一个积分不为0的环路；由此我们可以通过积分值定义一个势函数$U$，因为与路径无关所以这保证了良定义，并通过定义验证它的偏导就等于力的分量：$\dfrac{\partial U}{\partial x}=P,\dfrac{\partial U}{\partial y}=Q$。于是$\dfrac{\partial Q}{\partial x}-\dfrac{\partial P}{\partial y}=\dfrac{\partial^2 U}{\partial x\partial y}-\dfrac{\partial^2 U}{\partial y\partial x}=0$，因此根据Green公式我们又推出了沿任意环路积分都等于0，因此以上命题都是等价的。只需验证是否成立$\dfrac{\partial Q}{\partial x}=\dfrac{\partial P}{\partial y}$就可以判断该力是否是保守力。

Green公式只是Stokes公式在平面上的特殊情形，因此我们对这个奇特的项是什么留到Stokes公式中再做解释。

Gauss公式

给定空间有界闭区域$\Omega$，其边界由有限条分片光滑曲面构成，那么对于$F=(P,Q,R) \in C^1(\Omega,\R)$成立

$$\displaystyle\iint\limits_{\partial \Omega}\vec F \cdot \vec{n}dS=\iiint\limits_{\Omega}\nabla \cdot \vec FdV$$

也写作$\displaystyle\iint\limits_{\partial \Omega}Pdy \and dz+Qdz \and dz + R dx \and dy=\iiint\limits_{\Omega}\left(\dfrac{\partial P}{\partial x}+\dfrac{\partial Q}{\partial y}+\dfrac{\partial R}{\partial z}\right)dxdydz$。也就是说，对于空间中的向量场，如果我们在给定区域的边界上对向量做一圈积分，它一定等于$\left(\dfrac{\partial P}{\partial x}+\dfrac{\partial Q}{\partial y}+\dfrac{\partial R}{\partial z}\right)$这个又一个奇特的项在整个区域上做积分。这和Green公式非常相似，只是维数高了一维，但奇特的项的形式发生了变化：假如我们把区域划分成小长方体，每个矩形的左下角设为$(x,y,z)$，那么在边界上的积分为：$x$方向近似为$-P(x,y,z)\Delta y\Delta z +P(x+\Delta x,y,z)\Delta y\Delta z \approx \dfrac{\partial P}{\partial x}\Delta x \Delta y\Delta z$。其它方向同理。因此边界上的整个积分近似为$\left(\dfrac{\partial P}{\partial x}+\dfrac{\partial Q}{\partial y}+\dfrac{\partial R}{\partial z}\right)\Delta x\Delta y\Delta z$。把小立方体拼成给定区域时，重叠部分依然相互抵消了，只留下最外围的积分。

$\left(\dfrac{\partial P}{\partial x}+\dfrac{\partial Q}{\partial y}+\dfrac{\partial R}{\partial z}\right)$可以写成$\nabla \cdot F$，这里的点乘是形式上的点乘。它也被称为“散度”，因此Gauss公式也被称为“散度定理”。把Gauss公式的右侧用积分中值定理写成$|\Omega|(\nabla \cdot \vec F(P))$，那么Gauss定理可以写作$\dfrac{\displaystyle\iint\limits_{\partial \Omega}\vec F \cdot \vec{n}dS}{|\Omega|}=\nabla \cdot \vec F(P)$。如果我们保证$P$始终包在$\Omega$内部，并且不断缩小左侧的$\Omega$，那么这个过程的极限值就是右侧的散度，即$\lim\limits_{\Omega \to P}\dfrac{\displaystyle\iint\limits_{\partial \Omega}\vec F \cdot \vec{n}dS}{|\Omega|}=\nabla \cdot \vec F(P)$，而左侧反应的就是穿出包含$P$的一小圈曲面的通量，它反应的就是$P$点附近向量场的“发散情况”。如果$P$是“源点”，散度就为“正”，如果是“汇点”，散度就为“负”，如果既不是源点也不是汇点，散度就为0。

Stokes公式

Stokes是Green公式在曲面上的推广。给定空间有边界的曲面$\Sigma$，其边界由有限条分片光滑曲面构成，那么对于$F=(P,Q,R) \in C^1(\Sigma,\R)$成立

$$\displaystyle\int\limits_{\partial \Sigma}\vec F \cdot \vec{\tau}ds=\iint\limits_{\Sigma}(\nabla \times \vec F)\cdot d\vec S$$

分量形式为$\displaystyle\int\limits_{\partial \Sigma}Pdx+Qdy+Rdz=\iint\limits_{\Sigma}\left(\dfrac{\partial R}{\partial y}-\dfrac{\partial Q}{\partial z}\right)dy\and dz+\left(\dfrac{\partial P}{\partial z}-\dfrac{\partial R}{\partial x}\right)dy\and dz+\left(\dfrac{\partial Q}{\partial x}-\dfrac{\partial P}{\partial y}\right)dy\and dz$。向量场在曲面边界上的积分等于$\nabla \times \vec F$在曲面上的通量。怎么来证明它是对的呢？我们从三维角度来理解Green公式，可以理解为向量场在某个平面上的分量绕平面边界的环路积分等于$(\nabla \times \vec F)$这个奇特的项在垂直平面方向上的分量在平面上积分。现在我们依然把曲面分成无数个小平面片，对于每个平面片，我们是否分解向量对环路积分是不会产生影响的，而奇特的项的积分相当于乘以小平面片的面积，这样就得到：向量场在小平面片边界上的环路积分等于$\nabla \times \vec F$垂直平面的分量乘以平面片面积。于是把所有小平面片累加，得到向量场在曲面边界上的环路积分等于$\nabla \times \vec F$在曲面上的通量。

$\nabla \times \vec F$这个奇特的项称为“旋度”，用行列式可以写作$\begin{vmatrix}\vec i & \vec j & \vec k\\\partial_x & \partial_y & \partial_z\\P&Q&R\end{vmatrix}$。同样地，把Stokes公式的右侧用积分中值定理写成$|\Sigma|(\nabla \times \vec F(P))$，那么Stokes定理可以写作$\dfrac{\displaystyle\int\limits_{\partial \Sigma}\vec F \cdot \vec{\tau}ds}{|\Sigma|}=\nabla \times \vec F(P)$。保证$P$包在$\Sigma$内部不断缩小$\Sigma$，极限值就是右侧的旋度，即$\lim\limits_{D \to P}\dfrac{\displaystyle\iint\limits_{\partial \Sigma}\vec F \cdot \vec{\tau}ds}{|\Sigma|}=\nabla \times \vec F(P)$，左侧是绕$P$一小圈的线积分，它反应的就是$P$点附近向量场的“旋转情况”。如果向量场正好以某种方式绕$P$旋转，旋度就不为0。

统一性

这三个公式称为数学分析的基本积分公式，它们都可以理解为是Newton-Leibniz公式在多元情形下的推广。尽管在这些公式中涉及到的“微分”并不相同，但如果采用“微分形式的外微分”的这种语言叙述，那么Stokes公式就可以用1-形式$\omega=P(x,y)dx+Q(x,y)dy$表述为$\displaystyle\int\limits_{\partial \Sigma} \omega=\displaystyle\int\limits_{\Sigma} d\omega$，Gauss公式就可以用2-形式$\omega=P(x,y,z)dx\and dy+Q(x,y,z)dz\and dx+R(x,y,z)dx \and dy$表述为$\displaystyle\int\limits_{\partial \Omega} \omega=\displaystyle\int\limits_{\Omega} d\omega$。而Newton-Leibniz公式用0-形式$f(x)$也表述为$\displaystyle\int\limits_{\partial D} \omega=\displaystyle\int\limits_{D} d\omega$。

由此可见，在微分形式的语言下这一切都被统一为 $$\displaystyle\int\limits_{\partial D} \omega=\displaystyle\int\limits_{D} d\omega$$ ，统称为Stokes公式，或“牛顿-莱布尼兹-高斯-奥斯特洛格拉德斯基-格林-麦克斯韦-卡尔丹-斯托克斯-庞加莱公式”。它说明了高次微分形式在给定区域上的积分等于低一次的微分形式在区域边界上的积分，它凝结了从十六世纪至二十世纪历代数学家的智慧，是微积分的最高峰。