转动

现在，我们想要研究不止一个质点的运动学。首先要指出，在质点系的运动学时，除了不停应用牛顿定律的组合以外，没有任何新的东西。而这样的组合很多时候是复杂的。我们的工作是找到一些方法，来使得复杂的分析变得简单。

二维空间中的转动

质心

当我们把一串木块抛到空中时，尽管每个木块都将做着复杂的运动，但我们能大概描绘出整串木块沿抛物线运动。那么，究竟是什么在沿着抛物线运动？

对每个质点应用牛顿第二定律，有\(F_i =m_ia_i=\dfrac{d^2 (m_ir_i)}{d t^2}\)。那么对于所有质点累加得\(\sum\limits_i F_i=\sum\limits_{i}\dfrac{d^2(m_ir_i)}{d t^2}=\dfrac{d^2(\sum\limits_{i}m_ir_i)}{d t^2}\)。根据牛顿第三定律，内力在相加后全部抵消，等式左侧即为合外力\(F\)。\(\sum\limits_{i}m_ir_i\)是一个矢量，因此总存在一个矢量\(R\)满足\(MR=\sum\limits_{i}m_ir_i\)。因此\(F=\dfrac{d^2(MR)}{dt^2}=M\dfrac{d^2R}{dt^2}\)始终成立。这表明，存在一个数学上可以定义的“平均位置”\(R\)，使得外力始终等于总质量与该“假想点的加速度”的乘积。我们把这个矢量（点）称为“质心”。它是各质点位置矢量关于质量的加权平均值。当我们研究物体整体的运动轨迹时，可以只研究质心的运动轨迹。

质心的性质就是由这个数学关系给出的数学性质。例如对称性，如果某物体的各个质点（质量的微元）是关于某个对称轴对称分布的，那么左右抵消后最终质心一定会落在对称轴上。我们也容易发现，质心一定在所有质点的包络内。另一个重要的性质是我们可以先计算部分质点的质心，再把这若干个质心当作质点算整体的质心：这其实是数学关系（矢量式实际上是三个标量式的简便写法，因此我们只需着重研究\(\dfrac{\sum m_ix_i}{\sum\limits m_i}\)）

\(MX=\sum\limits_{i}m_ix_i=\sum\limits_{i\in A}m_ix_i+\sum\limits_{i \in B}m_ix_i=M_AX_A+M_BX_B\)

的体现。

存在“质心”这个事实向我们阐释了牛顿定律的一种独特的性质：如果牛顿定律在某一小尺度范围内（质点的运动的组合）是正确的，那么在大尺度范围内（质心的运动）也将是正确的。即当我们把若干复杂物体简化为一个简单物体时，定律将会在我们简化之后重现其自身。可我们应当认识到，牛顿定律的这种自我重现并不是自然界自身所具有的一种特色（一种客观特性），而是一个重要的历史特色（人类认识的主观特性）：人类最初能够发现的定律应当是能在较大尺度内重现的，因为人类的直接生活层面是离宇宙的基本尺度（原子）相当远的，因此我们最初得以发现的“定律”必须是对于非“原子”尺度的物体适用的。而事实上，人们已经发现，到了宇宙基本尺度附近（量子层面），牛顿定律已经不再适用了。这再次说明牛顿定律只是我们处理大尺度问题时用某种方式作的近似。如果我们把量子力学不断在大尺度上做推广，它最终会渐进于牛顿定律，而牛顿定律就处在原子规律推广的“末端”，在推广时不断重现自身。

质心的概念与重心是不同的。重心是为了回答：“在何处施加一个力，其产生的转矩和所有质点所受重力产生的转矩相同？”我们可以采取与质心的定义方式完全相似的方法计算出重心的位置：\(G(R_G-X)=\sum G_i(x_i-X)\)，于是\(R_G=\dfrac{\sum G_ix_i}{G}\)的。如果重力加速度可以被近似认为是均匀的（匀强场），那么重心和质心恰好是重合的。

在黑箱中，我们是无法分辨加速度和力的。我们可以把加速产生的惯性力当作是重力。由于重力的力矩是通过重心的，此时如果重心和质心是重合的，我们就发现加速度产生的惯性力的力矩是通过质心的。如果我们选通过质心的轴，那么惯性力的力矩不会改变角动量！因此转矩等于角动量的变化率这个定理在非惯性系中对于过质心的轴也是成立的。

刚体的转动

根据伽利略变换，质点系中的每个质点的运动都可以分解为相对于质心的运动与质心本身运动的叠加。因此质心的运动可以与“物体内部”的运动分开来处理。因此我们首先来研究质心不动的情形。

刚体是指质点系内所有质点的相对位置都不会改变的物体。当我们固定一根轴以后，观察其中一个质点的运动。容易发现，这个质点的运动就能决定整个物体的运动。假设这个质点的运动始终在某个垂直于轴的平面内，就称刚体绕固定轴做平面转动，或在二维空间中的转动。这个转动只需要“角度\(\theta\)随时间\(t\)的变化”这一个函数来描述。

我们熟悉的“质点的直线运动”和“刚体的二维转动”很多时候是可以类比（转动运动学）。这种相似性源于二者的物理方程在数学结构上的相似性。我们定义刚体转动的角速度（类比速度）\(\omega = \dfrac{d\theta}{dt}\)。假设刚体发生了很小的二维转动\(d\theta\)，那么对于刚体上某质点\((x,y)=(r\cos\theta,r\sin\theta)\)，有\(d x = rd\theta \cdot (-\sin \theta)=-yd \theta,\)\(d y = rd\theta\cdot \cos \theta=xd \theta\)。因此\(v_x = \dfrac{dx}{dt}=\dfrac{dx}{d\theta}\dfrac{d\theta}{dt}=-\omega y,\)\(v_y = \dfrac{dy}{d\theta}\dfrac{d\theta}{dt}=\omega x\)。那么有\(v = \sqrt{v_x^2+v_y^2} = \omega r\)，即\(\omega=\dfrac{v}{r}\)。类似地也可以定义角加速度（类比加速度）\(\alpha = \dfrac{d\omega}{dt}=\dfrac{a}{r}\)

研究力与转动的关系（转动动力学）时，这种相似性得到了更充分的体现。为此，首先我们想要类比线性运动，找到某个量使得它和转动的关系就像力对线性运动的关系那样。我们知道定性地，是力让刚体发生了转动。而如何定量描述这种转动？定义力的一个最好的办法就是看在力的作用下通过某一给定的位移时，它做了多少功。为了保持线性运动和转动的各个量之间的对应关系，我们就定义一个量，使这个量乘以角度的微元等于力乘以位移的微元。那么得到\(dW=F_xdx+F_ydy=F_x(-yd\theta)+F_y(xd\theta) = (xF_y-yF_x)d\theta\)。这个量就定义为转矩\(\tau = xF_y-yF_x\)。

我们知道从做功的角度\(dW = F_{切}\cdot ds\)，而经过我们的定义这又等于\(\tau \cdot d\theta\)。因此\(\tau = \dfrac{F_{切}\cdot ds}{d\theta}=\dfrac{F_{切}\cdot rd\theta}{d\theta}=F_{切}\cdot r\)。即转矩等于力的切向分量乘以半径。这是我们理解转矩的第二个角度。还有第三个角度：由于\(F_{切}\)可以表示成\(F\sin \alpha\)（其中\(\alpha\)力与位置矢量的夹角），如果在\(F\sin \alpha \cdot r\)中把\(\sin\alpha\)分配给\(r\)，就得出转矩等于力乘以转轴到力的作用线的垂直距离。这个距离称为“力臂”。对于同样的\(F\)，力臂越大转矩越大。一个固定大小的力对转动的作用效果取决于力臂的长度，也就是力与转动方向的夹角。如果沿径向，就没有转动效果。如果沿切向，转动效果最大。

角动量

转矩的这种数学性质即使对非刚体也是有意义的。如果在空间里选定一根轴，那么即使对于单个质点，我们也可以谈“转矩”。我们再次把转动和线性运动相类比，在线性运动的“动量定理”中，力等于动量关于时间的变化率。那么我们想知道，转矩是什么的变化率？换言之，我们要寻找转矩关于时间的积分。我们发现，\(m(x\dfrac{dy}{dt}-y\dfrac{dx}{dt})\)对\(t\)求导刚好等于\(m(\dfrac{dx}{dt}\dfrac{dy}{dt}+x\dfrac{d^2y}{dt^2}-\dfrac{dy}{dt}\dfrac{dx}{dt}-y\dfrac{d^2x}{dt^2})=m(x\dfrac{d^2y}{dt^2}-y\dfrac{d^2x}{dt^2})=xF_y-yF_x\)。所以\(m(x\dfrac{dy}{dt}-y\dfrac{dx}{dt})\)就是我们要找的量，我们把称为“角动量”，记为\(L\)。力矩是角动量关于时间的变化率。特别强调，上述类比是建立在单个质点的基础上的。我们定义的角动量是单个质点相对于选定轴的角动量。

把角动量写成分量的线性运动的动量的形式\(L=xp_y-yp_x\)。我们发现这个结构和转矩的结构是完全相同的，因此也可以从切向分量以及力臂的角度看：角动量等于动量的切向分量与半径的乘积；等于动量与“动量臂”的乘积。

例如，行星在万有引力作用下，取引力中心为转轴，由于引力始终和位置矢量共线，所以转矩始终为0。这样的力成为有心力。在有心力作用下，质点角动量一定守恒。因此行星的角动量守恒。从动量切向分量的角度来看，角动量恰好反应了单位时间行星半径扫过的面积。因此开普勒第二定律正是角动量守恒的一种文字表述。

转动惯量

再次强调，刚才的角动量定理成为“质点的角动量定理”。对于质点系，我们也有一个“质点系的角动量定理”——把每个质点的角动量定理方程累加，内力产生的转矩为互相抵消（这并不是显然的：在质点系中证明内力之和为0的时候，我们只用到了牛顿第三定律中力的大小相等方向相反的性质，而在这里我们还必须用到作用力和反作用力一定在同一直线上这一性质，由此可以发现作用力和反作用力的力的作用线一定是同一条直线，因此力臂大小必定相等，所以作用力和反作用力的转矩之和一定为0。我们的直觉似乎会认为，比如两个非接触物体间的万有引力，它们由于位置矢量不同，产生的转矩可能是不同的。而事实上，虽然位置矢量不同，它们的夹角也不同，而结果是它们的转矩恰好是相同的），因此总转矩就等于外转矩。由此可知，质点角动量之和的变化率等于外转矩。

对于做平面转动的刚体来说，速度方向始终是切向的。因此每个质点的角动量就等于\(mvr=m\omega r^2\)。由此可得总的角动量\(L = \omega\sum\limits_{i}m_ir_i^2\)。其中\(\sum\limits_{i}m_ir_i^2\)只由刚体本身的“形状”来决定，我们把它记为\(I\)。于是，刚体的角动量\(L=I\omega\)可以类比一维运动的动量\(p=mv\)。所以我们把\(I\)称为刚体的转动惯量，它的大小反应刚体阻碍转动的惯性的量。刚体的转动惯量是不会变的。要使角动量发生一定的变化，即当我们施加一定的力的时候，转动惯量越大，角动量的变化量越小。从式中也可以发现，同样质量的刚体，如果其质量分布离轴越远，其转动惯量也就越大。

求刚体的转动惯量就是求积分\(\displaystyle\int (x^2+y^2)dm\)。从根本上来说这就是一个数学工作（和求质心类似）。我们更关心的是它的数学性质，比如我们能一眼看出转动惯量有这样的性质：总转动惯量等于各部分转动惯量的和；总转动惯量等于\(x\)分量上地转动惯量加上\(y\)分量上的转动惯量。

对于刚体，还有一个十分有趣的定理。首先，如果轴不在质心上，那么我们可以把转动分解为绕过质心的轴旋转和绕该轴的“平动地旋转”的合成（这一定是可行的，因为刚体上一点的运动就可以决定整个刚体的平面转动，而这个运动一个可以分解成相对质心的运动与质心本身的运动）。我们把转动惯量也分成这两部分来看。如果质心不动而绕过质心的轴旋转，此时转动惯量就是\(I_c\)。而绕另一轴“平动地旋转”时，我们没有用到任何除了这个物体“质量大小”以外的条件，所以我们猜测它的“转动惯量”应当只与它的总质量有关（换言之可以看作质点），因此应当有\(I'=MR^2\)，其中\(R\)是质心到轴的距离。我们猜想总的转动惯量就等于这两部分转动惯量之和。这个定理称为“平行轴定理”，即当我们要求物体相对某一任意轴的转动惯量的时候，可以先把轴平行移动到质心，求出此时的转动惯量\(I_c\)，然后加上\(MR^2\)这一项，得到\(I=I_c+MR^2\)。

我们只需对一个坐标证明：设\(x_i=x_i'+X_{c}\)，其中\(x_i\)是到给定轴的距离，\(x_i'\)是到质心的距离，\(X_c\)是质心到轴的距离。要证\(\sum m_ix_i^2=\sum m_ix_i'^2+M{X_c}^2\)。左式代入\(\sum m_ix_i^2=\sum m_i(x_i'+X_c)^2=\sum m_ix_i'^2+\sum m_iX_c^2+2\sum m_ix_i'X_c\)。我们只需证明交叉项\(\sum m_ix_i'X_c\)为0。这是显然的，因为提出因子\(X_c\)，\(\sum m_ix_i'\)就是质心的定义式，所得向量是质心到原点的距离。而\(x'\)的原点就是质心，因此为0。

转动动能

继续我们的类比，容易猜到做转动的物体具有的动能为\(\dfrac{1}{2}I\omega^2\)。这其实就是\(\sum \dfrac{1}{2}m_iv_i^2=\dfrac{1}{2}\sum m_i(wr_i)^2=\dfrac{\omega^2}{2}\sum m_ir_i^2\)。

刚体的转动惯量在转动动能的表达式里是线性的。所以由平行轴定理可得，如果一个刚体在绕质心的轴做二维转动的同时，质心有一个“平动的转动”，那么总的动能就等于转动的动能加上质心“平动转动”的动能。其实对于质点系有一个更一般的定理：质点系的总动能等于质心的动能加上各质点相对质心的平动动能（柯尼希定理）。因此，如果刚体在绕质心转动时做任何平动运动，总动能都等于转动动能加平动动能。

转动参考系

假设没有外力作用在一个作转动的物体上，那么它将保持角动量守恒\(I_1w_1=I_2w_2\)。如果由于内部质点位置的变化（比如旋转的人缩紧了手臂导致转动惯量变小角动量增大，注意此时我们没有在讨论刚体），尽管角动量守恒而转动动能却不守恒。因为\(E=\dfrac{1}{2}L\omega\)，所以如果角速度变大物体的转动动能也会变大。这个多出来的能量来自哪里？我们拉近某个物体时对它做了功，因为我们在旋转：在不旋转的时候我们把一个物体从静止移动到另一个地方静止是不做功的，而在旋转时，我们为了克服离心力做了功！

再来看上述过程中的力的情况。物体作为整体角动量守恒，而作为内部没有发生位移的那部分质点，由于角速度变大他们的角动量变大了。这意味着有一个切向地转矩作用在了内部的质点上。离心力和克服离心力的力是径向的，不可能产生切向的转矩。因此出现在转动系统中的不仅有离心力，还有其他力。这另一个力称为“科里奥利力”，它具有非常奇怪的性质，即当我们在转动系统中移动一个物体的时候，有一个力试图把它推向侧面。这种“倾向”是相对于一个我们已经选取了的转动的参考系的，因此和离心力一样，这只是一个表观上的力（惯性力）——

对于单个质点，设其离轴距离为\(r\)，那么其角动量为\(m\omega r^2\)。假设角速度不变，而使其离轴的距离变化，那么对应的角动量变化率为\(\dfrac{d(m\omega r^2)}{dt}=2m\omega r \dfrac{dr}{dt}\)。这就是此时科里奥利力的转矩\(\tau\)，因此科里奥利力\(F=\dfrac{\tau}{r}=2m\omega \dfrac{dr}{dt}=2m\omega v_r\)，是切向的力。

我们从一般的转动参考系的角度来理解这个力的来源：（需要用到叉积）

设参考系中\(x,y\)轴的平面绕\(z\)轴转动，这个运动可以通过单位矢量\(\vec{i},\vec{j},\vec{k}\)来描述。现在\(\vec{i},\vec{j},\vec{k}\)是运动着的，我们需要想象其背后有一个不动的地面参考系。换句话说，在地面参考系的前提下，参考系的选择决定\(\vec{i},\vec{j},\vec{k}\)的运动，而\(\vec{i},\vec{j},\vec{k}\)前面的系数描述了相对该参考系的运动。

单位矢量的转动可以这样来描述：\(\dfrac{d\vec{i}}{dt}=\omega \vec{j},\)\(\dfrac{d\vec{j}}{dt}=-\omega \vec{i}\)\(,\dfrac{d\vec{k}}{dt}=0\)（在运算过程中\(\omega\)是标量，\(\vec{\omega}\)是矢量）。物体的位置矢量写作\(\vec{r}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}\)，其速度为\(v=v_x\vec{i}+x\omega\vec{j}+v_y\vec{j}+y(-\omega \vec{i})+v_z\vec{k}\)。其中\(v_x\vec{i}+v_y\vec{+}v_z\vec{k}\)恰好是质点在转动参考系下的速度\(\vec{v'}\)，而\(-\omega y\vec{i}+x\omega \vec{j}=\omega \vec{k} \times(x\vec{i}+y\vec{j})=\vec{\omega} \times \vec{r}\)。由此得到结论\(\vec{v}=\vec{v'}+\vec{\omega} \times \vec{r}\)。即转动参考系下的速度叠加上转动的线速度恰好等于地面参考系下的速度，这是符合常识的。

求二阶导数，我们就可以得到加速度，因此也就得到了转动参考系下力的情况（此时需要考虑到角加速度\(\alpha\)，依然当作标量）：\(\vec{a}=a_x\vec{i}+v_x\omega \vec{j}+v_x\omega \vec{j}+x\alpha \vec{j}+x\omega(-\omega \vec{i})+a_y\vec{j}+v_y(-\omega \vec{i})-v_y\omega\vec{i}-y\alpha \vec{i}-y\omega(\omega \vec{j})+a_z\vec{k}\)。其中\(a_x\vec{i}+a_y\vec{j}+a_z\vec{k}\)是质点在转动参考系下的加速度，\(x\alpha \vec{j}-y\alpha\vec{i}=\alpha \vec{k} \times (x\vec{i}+y\vec{j})=\vec{\alpha} \times \vec{r}\)，\(-\omega^2(x\vec{i}+y\vec{j})=-\omega^2 \vec{r}\)，\(2\omega(v_x\vec{j}-v_y\vec{i})=2\omega\vec{k}\times(v_x\vec{i}+v_y\vec{j})=2\vec{\omega} \times \vec{v'}\)。因此最终我们写出：\(\vec{a}=\vec{a'}-\omega^2 \vec{r}+\alpha \times \vec{r}+2\vec{\omega}\times\vec{v'}\)。从力的角度看，\(m\vec{a}=m\vec{a'}-m\omega^2 \vec{r}+m\vec{\alpha} \times \vec{r}+2m\vec{\omega}\times\vec{v'}\)。即，在转动参考系下， 一个物体除了受到其在坐标系内产生的加速度以外，还会受到一个沿半径向外的力，这个力就是离心力。还会因为运动而受到一个始终与运动方向垂直的力，称为科里奥利力。如果角速度在变化，还会受到一个因为角速度变化产生的切向的力。

三维空间的转动

矢量的本质

在讨论三维空间的转动时，“矢量”这个概念变得相当重要。我们从一个物理上更本质的观点来看矢量到底是什么。

物理学的所有概念都不纯粹是数学的或抽象的概念。在使用物理概念时，都需要具备一定的常识。其中一个非常重要的常识是物理定律的对称性。“对称”是指一个东西在进行某种变换后能够保持完全相同的性质。对于物理定律，比如牛顿定律，它最重要的特点是在“平移”和“转动”这两种变换下保持不变。这种对于平移和转动的对称性可以通过数学上代入坐标变换后验证牛顿定律依然成立来说明。它使得我们在选取坐标轴的时候没有限制，因为任何坐标轴对于牛顿定律来说都是等价的。在某一特定轴下的物理定律的数学形式在另一坐标轴下一定“恰好具有相同形式”。

为此，我们发展了一套数学技巧来尽量把繁琐的东西减小到最低限度，这种工具就是“矢量”。矢量仅仅是人们用来简化计算的一种主观工具，不使用矢量我们也完全可以计算物理定律，只不过我们对于每一个方向都要单独列一个算式。矢量是为了保持数学的简单性，用同一符号来表示三个数，这三个数对应于从不同坐标轴看到的同一客体的三个“分量”。

“在空间中走一步”这个事实是不依赖于坐标的选取，并且在平移和转动坐标轴下是“对称”的。任何与三个数相联系的物理量，如果它的变换和“在空间走一步”的三个分量的变换一样，我们就把它称为“矢量”。比如，我们解出力的变换恰好和“走一步”的数学结构相同，所以力也是一个矢量。

我们验证矢量的一个运算性质，就是验证这种变换在坐标变换（平移和转动）后是否仍然成立。由此我们验证了矢量加法的法则（坐标相加，或者说平行四边形法则）、数乘的法则（线性空间的性质）。

三维空间中的转矩(*)

我们可以把二维空间中的转动看作空间转动的一种特殊情形。不妨认为\(z\)轴就是转轴，而二维物体处于\(xy\)平面内。我们对二维转动的定理都是从质点出发的，此时质点的运动被限制在平面内。如果质点可以在整个空间里运动，那么它的运动可以被分解为三个方向，这三个方向分别对应着\(xy,xz,yx\)平面上的转动。（我们说过二维转动只需要角度这一个参量来描述，也就对应着点在单位圆上的运动；那么相似的，在三维空间中的运动就对应着点在单位球上的运动，某种意义上，只需要两个参数就可以描述这种运动，但为了方便，同时和二维转动建立联系，我们仍然认为转动可以分解为三个方向）因此，我们只需要分别讨论每个平面内的转动，最后再把它们“组合”到一起，就把转动推广了三维。我们在二维空间中导出的定理仍然是正确的。

但是我们有必要把这个问题看得更清楚。我们讨论“转矩”在三维空间中的表现。 我们在平移和转动下验证转矩的数学结构，发现它在变化下保持不变——这意味着转矩是一个矢量！这是一件惊奇的事，因为转矩作为“平面的扭转”这个概念出现时，并不具有先验的矢量特征。我们在数学上发现了它具有矢量的特征，是一个十分幸运的奇迹。事实上，这是三维空间的一个特性：在二维空间中，转矩是一个标量；而在四维空间中，我们有6个平面，而6个量不能被表示为一个四维的矢量。

我们把\(\left\{\begin{aligned}c_x&=a_yb_z-a_zb_y\\c_y&=a_zb_x-a_xb_z\\c_z&=a_xb_y-a_yb_x\end{aligned}\right.\)这种数学关系简记为\(c=a \times b\)，称之为叉积。我们就由这个表达式来确定叉积的几何性质和代数。在几何上，有\(|c|=|a||b|\sin \theta\)，并且\(c\)的方向垂直于\(a,b\)所确定平面，方向朝向从\(a\)到\(b\)做右手螺旋定则（右手坐标系中）的方向。由\(a \times b\)创造的矢量是人为的，\(a,b\)作为真正的矢量称为“极矢量”，而\(c\)作为由一个特殊法则构成的“矢量”称为“赝矢量”。转矩、角动量、角速度，还有之后的磁场\(B\)都属于赝矢量。

刚才我们已经由几何性质导出了代数法则\(a \times b= -b \times a\)和\(a \times a = 0\)。除此之外，还可以验证叉积的以下代数法则：

​ \(\begin{aligned}a \times (b+c)&=a \times b+a \times c\\(\alpha a) \times b &=\alpha(a \times b)\\a \cdot (b \times c) &= (a \times b) \cdot c\\a \times (b \times c) &= b(a \cdot c)-c(a \cdot b)\\a \cdot (a \times b)&=0\end{aligned}\)

于是我们可以写出转矩\(\tau = r \times F\)；角动量\(L=r \times p\)。另外我们也可以验证，角速度\(\omega\)也是一个矢量，在空间中转动的角速度可以分解为三个平面内转动的角速度的矢量和。角速度与线速度有关系\(v=\omega \times r\)。

空间中的角动量守恒

假设有一个人站在转盘上手上拿着水平的杆，杆上有转轮绕杆（水平轴）旋转。当我们把杆立起来的时候，由于水平方向没有外力，因此竖直方向角动量必须守恒，也即绕竖直轴的总角动量必须始终为0。因此假如此时转轮还在旋转，人就必须绕反方向旋转。

如果我们只是把杆立起一个小角度， 那么角动量的主要部分依旧是绕杆转动产生的，但多出了一个朝向\(z\)轴的分量（不会有\(x\)方向的分量，因为它没有理由偏爱任何一边）。我们认为在角度很小时转盘角动量的大小不变，但方向改变了\(\Delta \theta\)。因为可以认为\(\Delta L=L_0\Delta \theta\)，因此\(\tau = \dfrac{dL}{dt}=\Omega \times L_0\)，其中\(\Omega\)是杆立起（绕\(x\)轴旋转）的角速度。因此发现转矩\(\tau\)指向竖直方向。要产生这个转矩，需要水平方向的力。正是这个力的反作用力让转盘上的人开始反向旋转。

陀螺绕其自身的对称轴旋转，但整体在地面上绕其地面接触点垂直地面的转轴做旋转。仔细想一想，这和刚刚“回转仪”的情形是相似的——重力作用在重心上相对于地面的轴产生产生了转矩，这个转矩是水平方向的。由于陀螺的角动量守恒，它可以分解为两部分：绕陀螺自身轴转动的角动量方向沿轴方向，而重力的转矩水平转动。这两个矢量扫过的轨迹形成了一个圆锥，总的角动量始终在这个圆锥的中心的竖直轴上。

一般来说，刚体的角动量和角速度并不在同一个方向上。如果物体相对两个轴的转动惯量不同，那么当我们把角动量按照轴分解时，每个角动量可以写成角速度乘以转动惯量，而因为转动惯量不同，角动量的分解就会和角速度不一样，所以角速度矢量的方向也就和角动量方向不一样了。

转动惯量有一个非常重要的性质，任何物体都可以找到三根互相垂直的通过质心的轴，使得其中一根的转动惯量具有最大可能值（相对于别的轴的选取），一根具有最小可能值，第三根轴处于这两者之间。这三根轴称为物体的主轴——当物体绕其中一根主轴旋转的时候，角动量方向和角速度方向相同。对于有对称性的物体来说，对称轴就是主轴。此时可以有\(L=I_x\omega_xi+I_y\omega_yj+I_z\omega_zk\)，\(E_k=\dfrac{1}{2}I_x\omega_x^2+\dfrac{1}{2}I_y\omega_y^2+\dfrac{1}{2}I_z\omega_z^2\)。