数项级数
定义与基本性质
可列个实数可以对应一个数列\(x_n\)，他们的和就是\(x_1+x_2+\cdots\)
我们可以严格定义无穷（可列）多个数的和，这就是数项级数。类似反常积分的定义，我们也通过先求和再取极限的方式来定义。设前缀和\(S_n=\sum\limits_{k=1}^{n}x_k\)，那么就可以把\(\lim\limits_{n \to +\infty}S_n\)记为\(\sum\limits_{k=1}^{\infty}x_k\)。如果这个极限存在，就称这个数项级数收敛，否则称为它发散。
p级数\(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^p}\)是一个很重要的级数（当\(p=1\)时称为调和级数），我们证明过这个级数在\(0<p\leq 1\)时发散，在\(p>1\)时收敛。
事实上我们注意到，我们对于级数没有发展任何新的理论。因为级数收敛就是前缀和数列\(S_n\)收敛，这只是一个数列收敛的问题。因此，级数的性质就可以理解前缀和数列的极限的性质，对收敛的判定方法也就可以沿用数列收敛的Cauchy收敛原理等等。
首先，如果\(\sum\limits_{n=1}^{\infty}x_n\)收敛，那么一定有\(\lim\limits_{n \to \infty}x_n=0\)。因为对\(S_n\)用Cauchy收敛原理就可以得到\(n\)充分大时有\(|S_{n}-S_{n-1}|=|x_n|\)任意小。（逆命题是不成立的！调和级数就是反例）
其次，根据数列极限的线性性（前缀和数列的加法和乘法的四则运算法则）可以推出无穷级数运算的线性性\(\sum\limits_{n=1}^{\infty}(\alpha a_n+\beta b_n)=\alpha\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n+\beta\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_n\)
收敛的无穷级数在表示的时候可以随意加括号，这体现了收敛级数的加法“结合律”。因为如果把每个括号看作一个新的数列的元素，我们会发现我们得到的新的前缀和数列\(S_n'\)不过是\(S_n\)的一个子列。既然原数列收敛于某个值，子列一定也收敛于这个值，加括号不会“改变结果”。
上下极限
对于不收敛的数列，我们也想用一种方法来描述它。如果数列有界，我们知道有界数列一定有收敛子列，那么一种可行的方法是：把某个子列收敛的值称为一个极限点，即\(\xi\)是极限点等价于\(\xi\)的任何一个邻域里都有无限个\(x_n\)中的元素。把所有可能的极限点（所有收敛的子列的极限）收集在一起构成集合\(E\)，我们把\(E\)的上确界称为上极限，\(E\)的下确界称为下极限。上极限记为\(\overline\lim\limits_{n \to \infty}x_n\)，下极限记为\(\underline\lim\limits_{n \to \infty}x_n\)。
可以证明，\(E\)的上确界和下确界都是在集合\(E\)里的，即这个集合对上下确界是封闭的。因为我们可以构造出一个收敛于上确界（下确界）的子列，方法类似Heine定理的证明：找到\(E\)中一列\(\xi_k\)逼近上确界\(H\)，对于每个\(\xi_k\)都可以找到一个\(\varepsilon\)邻域，从中取出一个\(x_{n_k}\)。这样构造出的\(x_{n_k}\)一定收敛于\(H\)。
如果数列是收敛的，那么\(E\)中只存在一个唯一的元素。因为\(E\)的上下确界必须在\(E\)内部，因此这意味着\(E\)的上极限必须等于下极限。因此，数列收敛当且仅当上极限等于下极限。
对于无界数列，我们把\(+\infty\)与\(-\infty\)也作为记号引入，作为极限点的一种可能的取值，可以证明上述讨论依然是成立的。
上下极限有一个等价描述，这个等价描述是我们证明许多关于上下极限性质的基础。如果上极限是\(H\)，则等价于“\(\forall \varepsilon>0\)，\(n\)充分大时\(x_n<H+\varepsilon\)恒成立，同时存在无穷多项满足\(x_n>H-\varepsilon\)”。下极限也是类似的。
上下极限还有一个完全规避“极限点”的概念的等价定义方式，\(\overline\lim\limits_{n \to \infty}x_n=\lim\limits_{n \to \infty}\left(\sup\limits_{k \geq n}\{x_k\}\right)\),\(\underline\lim\limits_{n \to \infty}x_n=\lim\limits_{n \to \infty}\left(\inf\limits_{k \geq n}\{x_k\}\right)\)。我们可以验证这和我们“极限点”的描述方式是等价的。
上下极限不同于一般的数列极限，它并不具有四则运算的性质。但我们将会看到，当参与运算的两个数列中有一个收敛时，则加法和乘法的运算性质依然成立。当数列都不收敛的时候，等式退化为不等式：
我们有加法运算法则：
\(\overline\lim\limits_{n \to \infty}(x_n+y_n) \leq \overline\lim\limits_{n \to \infty}x_n+\overline\lim\limits_{n \to \infty}y_n,\underline\lim\limits_{n \to \infty}(x_n+y_n) \geq \underline\lim\limits_{n \to \infty}x_n+\underline\lim\limits_{n \to \infty}y_n\)
乘法运算法则：（\(x_n,y_n\geq 0\)）
\(\overline\lim\limits_{n \to \infty}(x_ny_n) \leq \overline\lim\limits_{n \to \infty}x_n \cdot \overline\lim\limits_{n \to \infty}y_n,\underline\lim\limits_{n \to \infty}(x_ny_n) \geq \underline\lim\limits_{n \to \infty}x_n \cdot \underline\lim\limits_{n \to \infty}y_n\)
如果\(x_n\)收敛则等号取到等号
以上法则可以推广到\(+\infty\)和\(-\infty\)的情形，但前提是右侧不能出现未定式
证明只需用到我们的等价描述
乘法的运算法则只对正数适用。但我们很容易知道\(\overline\lim\limits_{n \to \infty}x_n =-\underline\lim\limits_{n \to \infty}(-x_n)\)，使用的时候要注意转化。
正项级数的收敛判别法
正项级数的前缀和数列\(S_n\)是单调递增的。根据单调有界必收敛原理，\(S_n\)收敛当且仅当\(S_n\)有界。这被称为“正项级数的收敛原理”。但事实上我们发现，判断是否有界也是同样困难的问题，因此有必要发展其它的判别法。
比较判别法
和反常积分相似，我们有比较判别法：如果当\(n\)充分大时有\(x_n \leq Ay_n\)恒成立，那么根据数列的Cauchy收敛原理讨论一段充分大区间上的和是否是无穷小，得知可由\(\sum y_n\)收敛推出\(\sum x_n\)收敛，也可由\(\sum x_n\)发散推出\(\sum y_n\)发散。也可以从两边的前缀和来看，如果\(y_n\)的前缀和有界，那么\(x_n\)的前缀和一定也有界 ；如果\(x_n\)的前缀和无界，那么\(y_n\)的前缀和一定也无界。
同样的，也有比较判别法的极限形式：设\(\lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{x_n}{y_n}=l\)，如果\(l=0\)，那么可以由\(\sum y_n\)收敛推出\(\sum x_n\)收敛；如果\(l=+\infty\)，那么可以由\(\sum y_n\)发散推出\(\sum x_n\)发散；如果\(0<l<+\infty\)，那么\(x_n < (l+\varepsilon)y_n,y_n < \dfrac{x_n}{l-\varepsilon}\)，\(\sum x_n\)与\(\sum y_n\)同时收敛或发散。
比较判别法是一个原理性的纲领性的判别法，它是接下来导出其它各种判别法的基础——选取不同的\(y_n\)，就会得到不同的判别法。
与等比数列比较
正项级数可以和等比数列进行比较判别法。这种“比较”就是描述\(x_n\)与\(q^n\)的关系。如果我们可以找到某个\(q\)满足\(x_n \leq q^n\)，那我们直接通过放缩就可以判定级数收敛了。而很多时候这个\(q\)不容易找到。
我们可以避免寻找\(q\)，而直接通过给出一个关于\(x_n\)的式子来“描述\(q\)”。要描述\(x_n\)与\(q^n\)的关系，可以考察\(\sqrt[n]{x_n}\)的极限。这是从通项的角度描述递减速率“和等比数列差不多”的数列。即使这个极限不存在，我们可以考虑它的上极限。这就是Cauchy判别法：设\(r=\overline\lim\limits_{n \to \infty}\sqrt[n]{x_n}\)，那么当\(r<1\)时\(\sum x_n\)收敛，\(r>1\)时\(\sum x_n\)发散。Pf：\(r<1\)意味着\(n\)充分大时\(\sqrt[n]{x_n}<1\)，我们一定可以取出一个\(\xi \in (r,1)\)使得\(\sqrt[n]{x_n}<\xi\)恒成立，因此\(x_n < \xi^n\)；\(r>1\)意味着有无穷多项都有\(\sqrt[n]{x_n}>1\)，这等价于\(x_n > 1\)。当\(r=1\)的时候，我们发现我们无法确定级数是否收敛。比如，\(x_n=\dfrac{1}{n}\)时\(r=1\)发散，\(x_n=\dfrac{1}{n^2}\)时\(r=1\)却收敛。
等比数列也可以从公比的角度描述，这就是d'Alembert判别法：\(\overline\lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{x_{n+1}}{x_n}<1\)则\(\sum x_n\)收敛，\(\underline\lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{x_{n+1}}{x_n}>1\)则\(\sum x_n\)发散。事实上，比值与通项之间有一个简单的累乘的关系，我们根据\(\varepsilon-N\)语言以及上下极限的定义，可以证明有不等式链\(\underline\lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{x_{n+1}}{x_n} \leq \underline\lim\limits_{n \to \infty}\sqrt[n]{x_n} \leq \overline\lim\limits_{n \to \infty}\sqrt[n]{x_n}\leq \overline\lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{x_{n+1}}{x_n}\)。由此可以看出，d'Alembert判别法的条件只不过是Cauchy判别法的弱化条件，Cauchy判别法的适用范围完全包括了d'Alembert判别法。但在某些情况下用比值的形式更方便一些。
与\(\dfrac{1}{n^p}\)比较
Cauchy判别法与d'Alembert判别法之所以会在\(r=1\)时失效，是因为\(r=1\)的时候数列趋向0的速度比等比数列要慢。相应地，如果把比较的对象换做\(\dfrac{1}{n^p}\)，那么应当就能解决那些递减速度比\(\dfrac{1}{n^p}\)快的级数的收敛问题。
同样的，我们还是要解决如何“描述”的问题。在这里，即如何从\(x_n\)本身抽出\(x_n=\dfrac{1}{n^p}\)中的\(p\)。我们考虑\(\dfrac{x_{n}}{x_{n+1}}=\dfrac{(n+1)^p}{n^p}\)。或许我们可以写出\(p = \log_{\frac{n+1}{n}}\dfrac{x_{n}}{x_{n+1}}\)，但这应用起来就显得有些繁琐。如果我们用Taylor展开的方法就可以简化后面式子的结构，有\(\dfrac{x_{n}}{x_{n+1}}=\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^p=1+\dfrac{p}{n}+o(\dfrac{1}{n})\)。于是，我们尝试令\(r=n\left(\dfrac{x_{n}}{x_{n+1}}-1\right)\)，验证判别法：如果\(r>1\)则收敛，如果\(r<1\)则发散（\(r=1\)依然不可用）。这就是Raabe判别法。为了严格的说明这个判别法是有效的，我们可以把\(x_n\)切实地放缩成收敛的级数（不一定要是\(\dfrac{1}{n^r}\)）。因此可以在\(r\)与\(1\)之间取中值满足\(r>s>t>1\)，于是当\(n\)充分大时一定有\(n\left(\dfrac{x_{n}}{x_{n+1}}-1\right)>s\)，即\(\dfrac{x_{n}}{x_{n+1}}>1+\dfrac{s}{n}\)，而右侧又一定可以大于\((1+\dfrac{1}{n})^t=\dfrac{(n+1)^t}{n^t}\)，整理得到\(n^tx_n>(n+1)^tx_{n+1}^t\)，即\(n^tx_n\)这个数列是单调递减的，因此它必定有界。所以可以写出\(n^tx_n \leq M\)，也就有\(x_n \leq \dfrac{M}{n^t}\)，由于\(t>1\)，所以能推出\(x_n\)收敛。如果\(r<1\)，则可以直接由\(n\left(\dfrac{x_{n}}{x_{n+1}}-1\right)<1\)推出\(nx_n\)单调递增，因此\(x_n > \dfrac{\alpha}{n}\)，因此必然发散。由此可见，能够通过直观“猜出”判别法的条件和严格地“验证”判别法这两件事可能相去甚远，这在分析学中似乎是很常见的。不仅要理解严格的证明，也要建立起直观的理解。后者有可能更为重要。
最有效的判别法？
对于\(\dfrac{1}{n(\ln n)^p}\)这样的级数，Raabe判别法再次失效了。事实上，所有这些判别法都是在选取了某个特定的级数后建立的比较判别法而已，一旦出现比我们选取的级数递减地慢的级数，那么判别法一定是失效的。于是我们想，是否存在一个递减得最慢的级数，用它当判别法的比较对象就可以解决所有问题。但遗憾的是，我们可以证明不存在“最慢”的级数，即我们可以证明如果有一个级数收敛，那么可以构造出一个收敛的级数，这个级数的每一项和原级数的比值在极限下是趋向无穷的。
但这也启示我们，我们可以任意选择一个收敛的级数，然后用一种方式“猜出”用它描述收敛性质的表达式（就是我们之前的\(p\)），然后严格地验证这种判别法。
正项级数的积分判别法
跳出“比较判别法”的思路，把无穷级数与反常积分联系起来。对于正项级数，如果它的每一项单调递增的那么它一定发散；如果它是单调递减的，那么我们可以构造一个单调递减的可积函数使得它刚好经过数列的每个点（通常只需要把\(n\)换成\(x\)），直觉告诉我们这个级数收敛与否就等价于对应的“反常积分”收敛与否。事实上这也是容易验证的。因为我们有“单调递减”这个条件，我们把区间切成小段，每一小段上就可以直接得到一个不等关系。如果级数收敛，那么用它约束对应区间上的积分，就可以推出积分收敛；如果积分收敛，那么用它约束对应的级数的项，就可以推出级数收敛了。
也可以反过来利用级数的敛散性推出反常积分的敛散性。譬如对于\(\int_{0}^{+\infty}\dfrac{dx}{1+x^2\sin^2x}\)，一般的反常积分判别法无法解决这个问题，但我们却可以以\(\pi\)为单位把它逐段放缩为\(\dfrac{1}{2\pi(n+1)}\)，再利用调和级数的发散性得知这个反常积分的发散。
任意项级数的收敛判别法
级数就是数列，所以级数的收敛当然适用一般数列的Cauchy收敛原理。写成级数的形式，也就是\(N\)充分大时，对于\(n_2>n_1>N\)，把\(x_{n_1}\)到\(x_{n_2}\)全都累加起来的绝对值应当能够任意小。同样的，这也是一个纲领性的判别法，我们需要发展使用起来更加方便的判别法。
Leibniz判别法
\(\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^n u_n\)这样正负正负正负的级数（其中\(u_n >0\)）称为交错级数。如果它每项的绝对值（也就是\(u_n\)）单调递减并趋向0的，我们可以验证级数一定收敛。这就是Leibniz判别法，这样的级数称为Leibniz级数。我们可以用Cauchy收敛原理验证从\(x_{n_1}\)累加到\(x_{n_2}\)得到的结果绝对值一定不超过\(u_{n_1}\)（这很容易，因为把前后负的和正的两个两个结合，每个和都是负的），而通过\(u_{n_1}\)趋向0就可以倒逼出这个累加的和趋向0，所以级数必须收敛。
Abel-Dirichlet判别法
我们应该也能够发展有正有负情形的积分判别法。但事实上这是没有必要的。反常积分在处理摆动类型的函数的时候，是用Abel-Dirichlet判别法解决了一些特殊情形，对于这些情形我们采用了某种方式来发现了这种正负相抵的效应，这种方式就是积分第二中值定理。而我们其实只证明了加强了条件的积分第二中值定理，本质上是利用了分部积分法来先对震荡的函数做了积分，从而“消除”了摆动。对于一般条件的积分第二中值定理定理，其定理的证明实际上是从离散出发的Abel变换。现在我们不必通过反常积分来判定结构相同的级数的敛散性了，而是直接通过Abel变换来得到任意项级数的Abel-Dirichlet判别法。我们将会看到，这就是反常积分判别法的离散版本，而Abel变换就是离散版本的分部积分。
Abel变换
设有数列\(\{a_n\},\{b_n\}\)，设\(B_k=\sum\limits_{i=1}^{k}b_k\)。则可以用\(B\)代换\(b\)得到
Pf：
\(\sum\limits_{i=1}^{n}a_ib_i=a_1B_1+\sum\limits_{i=2}^{n}a_i(B_i-B_{i-1})=a_1B_1+\sum\limits_{i=2}^{n}a_iB_i-\sum\limits_{i=2}^{n}a_iB_{i-1}\)\(=\sum\limits_{i=1}^{n-1}a_iB_i+a_nB_n-\sum\limits_{i=1}^{n-1}a_{i+1}B_{i}=a_nB_n-\sum\limits_{i=1}^{n-1}(a_{i+1}-a_{i})B_i\)
其几何意义就是用大的矩形减去剩余的矩形就能得到矩形的面积之和了。如果这些“矩形”非常细，它就是分部积分法了。在结构上它也是和分部积分完全相同的，所以Abel变换又被称为分部求和公式。
A-D判别法
对于\(\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_nb_n\)，如果\(a_n\)单调有界（有某个实数极限），\(\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_n\)收敛，则可以推出\(\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_nb_n\)收敛。用Cauchy收敛原理把要证的转化为\(a_nb_n\)的和绝对值要任意小，而对于这个和，我们可以把Abel变换的坐标移到\(n_1\)到\(n_2\)，此时由于\(a\)是单调的，所以Abel变换的整个RHS可以提出某个\(n\)充分大的因子\(B_{n}\)（可能涉及一点放缩），并且其余的因子是有界的，因此整个和就可以任意小。这就是Abel判别法。
如果\(a_n\)单调趋向0，\(\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_n\)有界，也可以推出\(\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_nb_n\)收敛。同样地使用Cauchy收敛原理和Abel变换，此时\(B\)是个有界量，而\(a\)可以任意小了。这就是Dirichlet判别法。
由此可见，Leibniz判别法只是Dirichlet判别法的特例。
而事实上，Abel判别法也可以由Dirichlet判别法直接推出：既然\(a_n\)单调有界，可以设\(\lim\limits_{n \to \infty}a_n=A\)，那么设\(a_n'=a_n-A\)，就有\(a_n'\)单调趋向0。于是\(\sum\limits_{n =1}^{\infty}a_nb_n=\sum\limits_{n =1}^{\infty}(a_n'+A)b_n=\sum\limits_{n =1}^{\infty}a_n'b_n+A\sum\limits_{n =1}^{\infty}b_n\)，前者可以由Dirichlet判别法判定收敛，后者本身就收敛，因此整个级数收敛。
绝对收敛与条件收敛
和反常积分的定义完全相同，如果加了绝对值依然收敛就称为绝对收敛，如果加了绝对值发散而不加绝对值能够收敛，就称为条件收敛。
为了更好的理解绝对收敛和条件收敛的数列长什么样子，我们可以这样来考察（反常积分也可以用完全相同的方式来考察，得出完全相同的结论）：定义\(x_{n}^+\)是\(x_n\)中的正项（负项全都变成0），\(x_n^-\)是负项的绝对值（正项都变成0），那么有\(x_n=x_n^+-x_n^-,|x_n|=x_n^++x_n^-\)。那么\(\sum\limits_{n=1}^{\infty}|x_n|=\sum\limits_{n=1}^{\infty}x_n^++\sum\limits_{n=1}^{\infty}x_n^-\)，由于\(x_n^+ ,x_n^-\leq |x_n|\)，所以级数绝对收敛可以推出正项和负项的级数都收敛；如果\(x_n\)是条件收敛的，说明它绝对值不收敛，因此根据\(\sum\limits_{n=1}^{\infty}|x_n|=\sum\limits_{n=1}^{\infty}x_n^++\sum\limits_{n=1}^{\infty}x_n^-\)右侧至少有一个是发散的，而如果只有一个发散那\(\sum\limits_{n=1}^{\infty}x_n=\sum\limits_{n=1}^{\infty}x_n^+-\sum\limits_{n=1}^{\infty}x_n^-\)就发散了，因此右边两个必须都发散。
总结一下，绝对收敛意味着正项级数和负项级数都收敛，条件收敛却意味着正项级数和负项级数都发散，只不过这种发散被正负抵消所以表现出来收敛。
加法交换律
我们已经知道收敛级数有加法结合律，而一般的收敛级数却不满足交换律。
事实上我们将会看到，只有绝对收敛的级数才有交换律。而条件收敛的级数可以通过交换项的顺序加出“任何值”，包括一切实数、正无穷、负无穷。这个定理称为Riemann级数定理。严格地描述，交换意味着一组\(\N \to \N\)的双射\(\sigma\)，交换后的级数称为更序级数，定义为\(x'_n=x_{\sigma(n)}\)。我们要证明当\(\sum\limits_{n=1}^{\infty}x_n\)绝对收敛时有\(\sum\limits_{n=1}^{\infty}x_n=\sum\limits_{n=1}^{\infty}x_n'\)，当\(\sum\limits_{n=1}^{\infty}x_n\)条件收敛时随着\(\sigma\)的选取\(\sum\limits_{n=1}^{\infty}x_n'=A\)，其中\(A\)可以取\([-\infty,+\infty]\)。
如果\(x_n\)非负，那么考虑有限的\(n\)，\(x_n'\)从\(1\)到\(n\)相加一定小于等于\(x_n\)从\(1\)到最大的下标相加，因此也就一定小于等于整个\(\sum\limits_{n=1}^{\infty}x_n\)。令\(n \to \infty\)，依然成立\(\sum\limits_{n=1}^{\infty}x_n' \leq \sum\limits_{n=1}^{\infty}x_n\)。由于\(\sigma\)是双射，上述过程反过来也成立，也就得到\(\sum\limits_{n=1}^{\infty}x_n \leq \sum\limits_{n=1}^{\infty}x_n'\)，因此就有\(\sum\limits_{n=1}^{\infty}x_n' = \sum\limits_{n=1}^{\infty}x_n\)。
那么，如果\(x_n\)是一般的绝对收敛的级数，他等于他的正部级数减去负部级数，而正部级数和负部级数都是非负的，因此其更序级数等于自身，把这两个更序级数合并起来，就证明了\(x_n\)的更序级数等于自身。
如果\(\sum\limits_{n=1}^{\infty}x_n\)是条件收敛的，那么我们已经论证过它的正部级数和负部级数都是发散的。对于任意的\(A\)，我们可以顺次取出正部的项（跳过对应负部项的那些0）使得加和刚好超过\(A\)，然后顺次取出负部的项（同理）使得加和刚好小于\(A\)。不断重复上述过程，我们的加和刚好构成了一个某个更序级数，因为它不会遗漏任何一项。由于我们每次都是“刚好超出一点”，超出的大小不会比某个“\(x_n\)”更多。而由于条件收敛，\(\sum\limits_{n=1}^{\infty}x_n\)收敛就至少有\(x_n\)逼近0，因此我们的加和在\(A\)附近摆动的误差也是逼近0的。这样我们就构造出了一个收敛于\(A\)的更序级数。
级数的乘法
两个无穷级数\(\sum\limits_{i=1}^{\infty}a_i\)，\(\sum\limits_{j=1}^{\infty}b_j\)相乘应该等于所有形如\(a_ib_j\)的项相加。但当我们说相加时，就要考虑到一般级数没有交换律这个事实。
根据定义，不难知道\(\left(\sum\limits_{i=1}^{\infty}a_i\right) \cdot \left(\sum\limits_{j=1}^{\infty}b_j\right)=\lim\limits_{n \to \infty}\left(\sum\limits_{i=1}^{n}a_i\right) \cdot \left(\sum\limits_{j=1}^{n}b_j\right)\)，如果我们在上限从\(n-1\)到\(n\)的时候给加和新加上\(d_n=a_1b_n+\cdots+a_nb_1\)，那么我们每次新加的元素都恰好落在定义内，因此总是有\(\sum\limits_{i=1}^\infty d_i=\left(\sum\limits_{i=1}^{\infty}a_i\right) \cdot \left(\sum\limits_{j=1}^{\infty}b_j\right)\)。从矩阵上看，这样的累加顺序是以正方形的形状一圈一圈地加的，因此这个乘积称为正方形排列乘积。以这样的顺序相加得到的级数恰好就等于级数的值分别相乘得到的值。
如果\(\sum\limits_{i=1}^{\infty}a_i\)，\(\sum\limits_{j=1}^{\infty}b_j\)都是绝对收敛的，那么以任意的顺序累加\(a_ib_j\)，把下标放到最大值以后就一定小于等于两个绝对收敛的级数相乘，也即\(\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_{i_k}b_{j_k}\)也是一个绝对收敛的级数，因此以任意顺序累加都会得到一个相同的收敛值。正方形排列就是其中一个顺序，因此我们得到的\(\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_{i_k}b_{j_k}\)的值就是正方形排列乘积\(\left(\sum\limits_{i=1}^{\infty}a_i\right) \cdot \left(\sum\limits_{j=1}^{\infty}b_j\right)\)。
如果以斜对角线的顺序累加，即保持\(a_ib_j\)中\(i+j\)为定值，就会得到级数的Cauchy乘积\(\sum\limits_{n=1}^{\infty}c_n\)，其中\(c_n=\sum\limits_{i+j=n+1}a_ib_j\)。Cauchy乘积的值不一定与正方形排列乘积相同，甚至有可能在两个级数都收敛时得到其Cauchy乘积发散的结论。但Cauchy乘积有很大的应用价值，例如定义\(f(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{x^n}{n!}\)（这其实是指数函数的幂级数定义），就可以得到\(f(x),f(y)\)的Cauchy乘积恰好是\(f(x+y)\)，这就验证了指数函数的加法定理。
无穷乘积
类似无穷级数，我们可以定义无穷乘积\(\prod\limits_{n=1}^{\infty}p_n=\lim\limits_{N\to \infty}\prod\limits_{n=1}^{N}p_n\)。
如果对这个无穷乘积取对数，就会得到无穷级数\(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\ln p_n\)。因此无穷乘积和无穷级数是一回事，我们可以延用无穷级数里已经定义的那些概念。由于无穷级数收敛要求\(n\)充分大时项收敛于0，因此无穷级数要收敛通项必须收敛于1。而注意到，只要有一个\(p_n=0\)，那么无穷乘积就一定为0，取对数得到的无穷级数就发散了，因此乘积为0的无穷乘积不称为收敛而称为发散，称“无穷乘积发散于0”。
我们也许不能通过取对数来把所有无穷乘积转化为无穷级数，因为取对数要求真数必须为正，这要求无穷乘积的每一项都必须为正。而我们发现，如果我们仅仅讨论无穷乘积的敛散性，那么我们不必管前面的有限项，收敛的无穷乘积通项一定逼近1，因此我们只需要从逼近1的项开始讨论，因此可以认为这些项就是恒为正的。
在\(p_n\)恒为正的前提下，我们容易知道\(\prod\limits_{n=1}^{\infty}p_n\)收敛的充分必要条件就是\(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\ln p_n\)收敛。
如果\(p_n>1\)恒成立，那么还可以得知：\(\prod\limits_{n=1}^{\infty}p_n\)收敛的充分必要条件是\(\sum\limits_{n=1}^{\infty}(p_n-1)\)收敛。这首先是由于，\(\prod\limits_{n=1}^{\infty}p_n\)收敛等价于\(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\ln p_n\)收敛。而\(\lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{p_n-1}{\ln p_n}=1\)，由正项级数的比较判别法可知\(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\ln p_n\)和\(\sum\limits_{n=1}^{\infty}(p_n-1)\)敛散性相同。因此得证。如果\(0<p_n<1\)恒成立，由于\(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\ln p_n\)的敛散性与\(\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-\ln p_n)\)相同，而\(\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-\ln p_n)\)和\(\sum\limits_{n=1}^{\infty}(1-p_n)\)都是正项数列且敛散性相同，\(\sum\limits_{n=1}^{\infty}(1-p_n)\)与\(\sum\limits_{n=1}^{\infty}(p_n-1)\)敛散性相同，因此以上命题依然是成立的。
上述命题也可以表达成如果\(a_n\)不变号，那么\(\prod\limits_{n=1}^{\infty}(1+a_n)\)收敛等于等价于\(\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n\)收敛。那么如果\(a_n\)变号呢？有结论：如果已知\(\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n\)收敛，那么\(\prod\limits_{n=1}^{\infty}(1+a_n)\)收敛等价于\(\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n^2\)收敛。因为\(\prod\limits_{n=1}^{\infty}(1+a_n)\)等价于\(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\ln(1+a_n)\)收敛，而由于\(\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n\)收敛，因此这也等价于\(\sum\limits_{n=1}^{\infty}[a_n-\ln(1+a_n)]\)收敛。而由Taylor展开得\(\ln(1+a_n)=a_n-\dfrac{1}{2}a_n^2+o(a_n^2)\)，因此于\(\lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{a_n-\ln(1+a_n)}{a_n^2}=\dfrac{1}{2}\)，所以\(\sum\limits_{n=1}^{\infty}[a_n-\ln(1+a_n)]\)与\(\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n^2\)敛散性相同，证毕。
Wallis's Formula：\(\prod\limits_{n=1}^{\infty}\left(1-\dfrac{1}{(2n)^2}\right)=\dfrac{2}{\pi}\)
Stirling's Formula：\(n! \sim \sqrt{2\pi} n^{n+\frac{1}{2}}e^{-n}\)
Weierstrass Factorization Theorem(sine)：\(\sin x=x\prod\limits_{n=1}^{\infty}\left(1-\dfrac{x^2}{(n\pi)^2}\right)\)
（无穷级数因式分解）
