定积分

定义

想要求出曲线下“曲边梯形”的面积，我们采用的方法是竖着把面积切成一格格细条的长方形，用每个长方形来近似代替每一小块面积，最后再把所有长方形的面积之和加起来。

我们认为，只要我们的切分“足够细”，那么我们得到的面积就会“足够接近”曲边梯形的面积。这里，我们在讨论一个极限过程，而在我们没有到达极限情况以前，我们只能“有限地”去考虑这个问题。因此产生了两个问题——怎么选择分点来切割？对于每一小段应该选择什么样的高度来近似？

要想让这样的“面积”是良定义的，极限情况的面积应该与极限过程中我们采取了什么样的分割和什么样的近似没有关系。无论采取了什么样的分割，最后我们都会到达同一个极限。我们严格表述一下它的含义，如果任意对区间作一种划分，每一个区间里任意选一个点$\xi_i$来代表整段区间的近似高度，那么在$\lambda$趋向0时（我们定义一个$\lambda$表示所有区间中最长的那个的长度），$\sum\limits_{\lambda \to 0}f(\xi_i)\Delta x_i$（称为Riemann和）应当趋向一个确定的值。这个值就成为函数$f$在区间上的定积分（Riemann积分），记为$\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)dx$。。

上述“趋向”的过程本质上依然是$\varepsilon-\delta$语言，即对于任意的$\varepsilon$，要存在一个$\delta$使得$\lambda<\delta$所有的划分（在其中采取任意的选点）都满足它与极限值的差值不超过$\varepsilon$。这样，我们就说它是Riemann可积的。但要注意，这里的极限过程不同于我们熟悉的数列极限和函数极限。

为什么一定要规定极限与划分与$\xi_i$无关呢？为了方便，我们的划分可以是等分，选点也可以直接选中点，我们会得到一个极限。但似乎只有对于连续函数我们才可以这么做。Riemann积分并没有规定被积函数的任何性质，比如Dirichlet函数这种函数，有理点是1无理点是0。我们直观上（测度上）知道无理点比有理点多得多，而如果采取这种“选中点”的方式，我们就可能全都恰好选到有理点，于是就会得到Dirichlet有很大的面积，这是荒谬的。

Riemann可积

我们意识到并不是所有函数都是可积的。上述Dirichlet函数就是不可积函数的一个例子，因为有理数的稠密性，极限值和选点有关。不可积意味着不同的划分和不同的选点将会导致Riemann和趋向不同的值。根据Riemann积分的定义我们已经有了一种判定函数是否可积的方法了，即验证对于任意的划分和任意的选点Riemann和都趋向同一个值。但是这种定义是不太可能被操作的，因为我们不可能穷举出所有划分方法和选点方法，再一一检查他们的极限值是否都相同。

在划分和选点的过程中，有这样一种选点方法：由于函数要能可积必须有界，选每个区间里函数值域的上确界和下确界，由此得到“大和”和“小和”（分别被定义为Darboux大和、Darboux小和）。如果在原有划分上切割得更细（增加划分点），大和会慢慢变得更小，小和会慢慢变得更大。如果当划分足够细的时候大和小和逼近同一个值，这个值就应当是我们的面积。如果大和小和始终无法逼近同一个值，那么我们就说这个函数不可积。我们通过严格的$\varepsilon-\delta$语言可以证明，对于所有可能的划分取Darboux大和的下确界就能得到$\lambda \to 0$时Darboux大和的极限，Darboux小和的上确界也是$\lambda \to 0$时的极限。我们可以从这两个极限相等推出Riemann可积。而根据Reimann可积的定义可以直接推出这两个极限必须相等。由此，我们得到了Riemann可积的一个充分必要条件：$\lambda \to 0$时Darboux大和与Darboux小和的极限相等。这等价于Darboux大和与Darboux小和的差的极限趋向0。而我们注意到一种几何意义：这两者的差表现为每小段区间的上下确界的差乘上每小段区间的长度。每小段区间的上下确界的差可以看作振幅$\omega_i$，我们其实说明了：如果这种振幅累加起来趋向0，那么函数就是Riemann可积的。于是我们得到了Riemann可积的充分必要条件

$$\begin{equation} \lim\limits_{\lambda \to 0}\sum\limits_{i=1}^n\omega_i \Delta x_i=0 \end{equation}$$

如果要用这种方法验证函数可积我们解决了“选点”的问题，但是“划分”的问题还是没有解决。对于每个$\varepsilon$我们还是要验证对于所有的$\lambda < \delta$的划分，依然不好操作。

事实上我们可以证明，对于每个$\varepsilon$只要能找到一个$\lambda < \delta$的划分满足$\sum\limits_{i=1}^n\omega_i \Delta x_i=0$就好了！由此，我们可以验证一部分关于Riemann可积的重要结论（闭区间上的）——连续函数一定可积；单调函数一定可积；更进一步，只有有限个间断点的函数可积。

我们还可以证明，如果对于任意的$\varepsilon,\sigma>0$都存在使得$\omega$大于$\sigma$的小区间长度之和小于$\varepsilon$的划分，那么函数可积。也就是说，如果间断点是无穷个，但是他们所占的区间很窄，那么它也依然是可积的。

以上这些对于Riemann可积的判别法有点凌乱。对于Riemann可积，我们有一个最强有力的定理，它是对Riemann可积的最本质的描述——Lebesgue定理。

Lebesgue定理指出：函数在闭区间上Riemann可积的充分必要条件是函数的间断点集合的测度为零。

其中，测度是一个集合论中的概念，它可以用来描述数轴上离散点集的“长度”。严格来说，测度为0意味着可数个长度可以任意小的小区间能把集合内的所有点覆盖，包括：有限个、可数个、可数个可数集的并……

这直接指明了，Riemann可积的函数“差不多就是”连续函数，我们称之为“几乎处处连续”。

所以我们可以验证，Dirichlet函数肯定是不可积的，因为它在每个点都不连续；Riemann函数只在有理点处间断，所以是可积的。

定积分的性质

根据定义及其充要条件，可以验证定积分在区间$[a,b]$上具有以下性质：

线性性：$\displaystyle\int_a^b [\alpha f(x)+\beta g(x)]dx=\alpha \displaystyle\int_a^b f(x)dx+\beta \displaystyle\int_a^b g(x)dx$

乘积可积性：如果$f(x),g(x)$可积，则$f(x)g(x)$也可积。（但不一定相等）

单调性：若$f(x) \geq g(x)$，则$\displaystyle\int_a^b f(x)dx \geq \displaystyle\int_a^b g(x)dx$

绝对可积性：若$f(x)$可积则$|f(x)|$也可积，并且成立$\left|\displaystyle\int_a^b f(x)dx\right| \leq \displaystyle\int_a^b|f(x)|dx$

区间可加性：$\displaystyle\int_a^b f(x)dx=\displaystyle\int_a^cf(x)dx+\displaystyle\int_c^b g(x)dx$（并不要求$c$在内部）

积分第一中值定理：$\displaystyle\int_a^bf(x)g(x)dx=\eta \displaystyle\int_a^b g(x)dx$，其中要求$g(x)$不变号，$\eta$是$f(x)$上确界下确界中间的某个实数。因为根据单调性，对于$f$的上下界$M,m$一定有$m \displaystyle\int_a^b g(x)dx \leq \displaystyle\int_a^bf(x)g(x)dx \leq M \displaystyle\int_a^b g(x)dx$。但是前提必须是$g(x)$不变号，不然不等关系就不能在区间上恒成立，因此没法得出积分第一中值定理的结论了。如果$f$连续，就得到中值$\xi$满足$\displaystyle\int_a^b f(x)g(x)dx=f(\xi) \displaystyle\int_a^b g(x)dx$。若$g(x) \equiv 1$就得到积分平均值$f(\xi)=\dfrac{\displaystyle\int _a^b f(x)dx}{b-a}$，利用Newton-Leibniz公式就得到拉格朗日中值定理的形式$F'(\xi)=\dfrac{F(b)-F(a)}{b-a}$。

Newton-Leibniz公式

我们知道$\displaystyle\int_a^bf(t)dt$是一个数。因此如果把积分上限换成变量，就可以得到一个关于积分上限的函数：$G(x)=\displaystyle\int_a ^ x f(t)dt$。如果上下限都是变量，那么根据不定积分的区间可加性进行转化：$\displaystyle\int_y^xf(t)dt=\displaystyle\int_a^xf(t)dt-\displaystyle\int_a^yf(t)dt$。这称为变限积分。

我们来讨论这个函数的连续性。我们发现，即使$f$不连续，$G$也一定是连续的。$G(x+\Delta x)-G(x)=\displaystyle\int_a^{x+\Delta x}f(t)dt-\displaystyle\int_a^{x}f(t)dt=\displaystyle\int_x^{x+\Delta x}f(t)dt$。根据积分第一中值定理，$\displaystyle\int_x^{x+\Delta x}f(t)dt=\eta \displaystyle\int_x^{x+\Delta x}dt=\eta \Delta x$，$\eta$在$f$值域内。可见$\Delta x \to 0$时$\eta \Delta x \to 0$，所以$G(x)$一定连续。

现在假设$f(x)$不仅可积而且连续，此时我们会发现$G(x)$变得可导了，并且它的导数就是$f(x)$。因为此时我们可以取中值$\eta =f(\xi)$，于是有$G(x+\Delta x)-G(x)$$=f(\xi)\Delta x$，于是$G'(x)=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\dfrac{G(x+\Delta x)-G(x)}{\Delta x}$$=\lim\limits_{\xi \to x}f(\xi)=f(x)$。这是一个奇妙的事实，任何连续函数都有原函数！（有原函数是一回事，原函数是不是初等函数是一回事）

$G(x)$是$f(x)$的一个原函数，它是那个满足$G(a)=0$的原函数，因为$\displaystyle\int_a^af(t)dt$必须等于0。如果把$G(x)$写成$f(x)$的任意一个原函数，那就必须经过平移：$\displaystyle\int_a^xf(x)dx=F(x)-F(a)$。

将$x=b$代入就得到了著名的Newton-Leibniz公式：

$$\begin{equation} \int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a) \end{equation}$$

它以无比美妙的方式把原函数（微分学）和定积分（积分学）这两个看似没有任何联系的领域永远结合在了一起。

我们推导出这个公式的过程中用到了$f$的连续性，因此它只对连续函数成立。然而，我们可以证明，即使$f(x)$只是可积而不连续（其实是因为可积和连续是“差不多”的），只要$F(x)$在区间上每个点都存在，那么由于$F$连续，由拉格朗日中值定理可以推出这个公式依然是成立的：

$F(b)-F(a)=\sum\limits_{i=1}^n[F(x_i)-F(x_{i-1})]=\sum\limits_{i=1}^n F'(\xi_i)\Delta x_i$。当$f$在$\xi_i$处连续时，有$F'(\xi_i)=f(\xi_i)$。因此根据Riemann积分的定义，当$n \to \infty$时就有$F(b)-F(a)=\displaystyle\int_a^b f(x)dx$

定积分的分部积分法和换元积分法

分部积分法：$\begin{aligned}\displaystyle\int_a^b u(x)v'(x)dx=[u(x)v(x)]_a^b-\displaystyle\int_a^b v (x)u'(x)dx\end{aligned}$

在Leibniz's Rule：$[u(x)v(x)]'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)$两边同时求不定积分。之所以可以在等式两边同时求不定积分，是因为不定积分有线性性，所有函数都移项到左边后，右边求积分依然为0，再移项回去即可。

分部积分是积分公式中最重要的公式之一。

换元积分法：$\begin{aligned}\displaystyle\int_a^b f(x)dx=\displaystyle\int_\alpha^\beta f(\varphi(t))\varphi'(t)dt\end{aligned}$，其中$a=\varphi(\alpha),b=\varphi(\beta)$。

特别注意，换元之后积分的上下限也变了。要验证这个等式，可以用Newton-Leibniz公式：设$f(x)$的一个原函数是$F(x)$，那么$F(\varphi(t))$就是$f(\varphi(t))\varphi'(t)$的原函数。要使等式成立，只需$F(b)-F(a)=F(\varphi(\beta))-F(\varphi(\alpha))$。另外与不定积分的换元不同的是，我们对$\varphi$的单调性和值域没有任何要求，因为我们只要保证定积分的值相同，只要右侧是可积的，并且满足Newton-Leibniz公式的条件，我们就可以做这样的代换。在连续函数的情形下，我们可以认为这样的代换始终是成立的。

这是非常重要的公式。它告诉我们，求定积分时可以把自变量换成某个新变量的函数，这个函数的函数值从原来自变量的起点走到终点（左推右）。也可以把某个函数整体看成一个新变量，新变量要从原来函数值的起点走到终点（右推左）。

这也解释了为什么不定积分和定积分都要写成$\displaystyle\int f(x)dx$，$\displaystyle\int_a^b f(x)dx$的形式而不是$\displaystyle\int f(x),\displaystyle\int_a^b f(x)$，因为前者是方便的。当我们进行换元的时候，我们需要补全导数的那一项，而这一项正好会通过微分的表达式表现出来。$\displaystyle\int f(\varphi(x))d(\varphi(x))$这样的表达式本来是没有被定义的，而我们心里知道这其实意味着$\displaystyle\int f(\varphi(x))\varphi'(x)dx$。这在换元的过程中给我们减轻了负担，让我们能够通过求微分自然地导出换元后被积的函数。

Taylor公式的积分余项

Taylor余项有一个完全精确的描述：

$$\begin{equation}r_n(x)=\dfrac{1}{n!}\int_{x_0}^x f^{(n+1)}(t)(x-t)^{n}dt\end{equation}$$

Taylor公式本质上表明，一个$n$阶可导的函数在任意两个自变量$x,x_0$上的函数值之差$f(x)-f(x_0)$可以被表示成一个关于$(x-x_0)$的$n$次多项式以及一个余项，这个余项在$(x-x_0) \to 0$时是关于$(x-x_0)$的$n$次高阶无穷小。我们将发现，利用定积分对$f(x)-f(x_0)$进行恒等变形就能自然地导出这个结果，这体现了分部积分法的巨大作用。

固定$x,x_0$，有：

$\begin{aligned}&f(x)-f(x_0)\\&=\displaystyle\int ^x_{x_0}f'(t)dt\\&=-\displaystyle\int_{x_0}^x f'(t)d(x-t)\\&=-[f'(t)(x-t)]^x_{x_0}+\displaystyle\int_{x_0}^x (x-t)d(f'(t))\\&=f'(x_0)(x-x_0)+\displaystyle\int_{x_0}^x f''(t)(x-t)dt\\&=f'(x_0)(x-x_0)-\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_{x_0}^x f''(t)d((x-t)^2)\\&=f'(x_0)(x-x_0)-\dfrac{1}{2}[f''(t)(x-t)^2]^x_{x_0}+\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_{x_0}^x (x-t)^2d(f''(t))\\&=f'(x_0)(x-x_0)+\dfrac{1}{2}f''(t)(x-x_0)^2+\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_{x_0}^x f'''(t)(x-t)^2dt\\&=f'(x_0)(x-x_0)+\dfrac{1}{2}f''(t)(x-x_0)^2-\dfrac{1}{2 \cdot 3}\displaystyle\int_{x_0}^x f'''(t)d((x-t)^3)\\&= \cdots\\ &= f'(x_0)(x-x_0)+\dfrac{1}{2}f''(t)(x-x_0)^2+\cdots+\dfrac{1}{n!}f^{(n)}(x_0)(x-x_0)^n+\dfrac{1}{n!}\displaystyle\int_{x_0}^x f^{(n+1)}(t)(x-t)^{n}dt \end{aligned}$

不同于由微分中值定理得到的余项，积分余项不涉及不确定的变量$\xi$，是对余项的完全精确的描述。

反过来，如果对这个积分用积分第一中值定理，则它又会退化为Lagrange余项（或者Cauchy余项）：$\begin{aligned}\dfrac{1}{n!}\displaystyle\int_{x_0}^x f^{(n+1)}(t)(x-t)^ndt=\dfrac{1}{n!}f^{(n+1)}(\xi)\displaystyle\int_{x_0}^x (x-t)^ndt=\dfrac{1}{(n+1)!}f^{(n+1)}(\xi)(x-x_0)^{n+1}\end{aligned}$

有向区间上的可加函数

积分的应用往往遵循同一个模式，这个模式就是有向区间上的可加函数。解决了这个问题，我们就几乎一劳永逸地解决了所有运用定积分来计算的问题。

如果我们计算的对象可以抽象为一个有向区间上的可加函数$I$，即满足$I(a,b)=I(a,c)+I(c,a)$以及$I(a,b)=-I(b,a)$，并且对于其中任何区间$[\alpha,\beta]$都有：

$$\inf_{x \in [\alpha,\beta]}f(x)(\beta-\alpha) \leq I(\alpha,\beta) \leq \sup_{x \in [\alpha,\beta]}f(x)(\beta-\alpha)$$

那么一定有

$$I(a,b)=\int_a^b f(x)dx$$

证明是容易的，把区间取成Riemann和中的每个分割，夹逼就可以得到结论。

这意味着如果能找到这样的函数满足$(4)$式，就可以直接对这个函数做定积分得到结果。

弧长

对于曲线的长度，我们知道它对于参数是区间可加的，同时我们找到了符合我们直观的函数“速度”来定义：速度下确界和速度上确界是满足上述条件的，因此对速度函数做定积分就能求得道路长度：

$\begin{aligned}\Gamma=\displaystyle\int_a^b \sqrt{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2}dt\end{aligned}$

可以证明这是良定义的，并且弧长与参数化方式无关。

由此还可以得到弧长的微分公式：$dl= \sqrt{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2}dt$

在极坐标下，以$\theta$为参数，代入$x(\theta)=r(\theta)\cos \theta,y(\theta)=r(\theta)\sin (\theta)$就得到弧长的极坐标计算方法：$\Gamma = \displaystyle\int_a^b \sqrt{r^2(\theta)+[r'(\theta)]^2}d\theta$

面积

对于一般的函数有$S=\displaystyle\int_a^b |f(x)|dx$，那么对于一般的参数$y(t),x(t)$，函数值对应着$y(t)$，自变量对应$x(t)$，$S=\left|\displaystyle\int_a^b y(t)d(x(t))\right|$，化简得

$S=\displaystyle\int_a^b |y(t)x'(t)|dt$

计算面积还有另一个公式：$S=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_a^b (xdy-ydx)$。把参数代入可以得到极坐标形式$S=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_a^b r^2(\theta)d\theta$

旋转体体积

如果已知各个横坐标处几何体的横截面面积，则$V=\displaystyle\int_a^b A(x)dx$。

特殊地，如果这个几何体是旋转体，那么已知横截面面积就等价于已知半径。假如几何体就是沿着$x$轴旋转形成的，那么半径就等于$f(x)$，因此有$V=\pi\displaystyle\int_a^b f^2(x)dx$，参数化表示为$V=\pi\displaystyle\int_a^b y^2(t)|x'(t)|dt$，参数化表示为$V=\dfrac{2}{3}\pi\displaystyle\int_a^b r^3(\theta)\sin \theta d\theta$

旋转曲面面积

可以证明，旋转曲面的面积等于弧长微元与高度的乘积的积分，即$S=2\pi \displaystyle\int_a^b y(t)dl$。写成一般的参数化就是$S=2\pi \displaystyle\int_a^b y(t)\sqrt{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2}dt$

，极坐标形式为$S=2\pi \displaystyle\int_a^b r(\theta)\sin \theta\sqrt{[r(\theta)]^2+[r'(\theta)]^2}d\theta$

曲率

为了描述曲线的弯曲程度，我们定义曲率等于切线的倾斜角改变量与弧长的比值的极限，$K=\left|\dfrac{d \varphi}{ds}\right|$。

其中，$\tan\varphi = \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{y'(t)}{x'(t)}$，因此有$\varphi = \arctan \dfrac{y'(t)}{x'(t)}$。而$ds=\sqrt{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2}dt$，因此

$K=\left|\dfrac{\dfrac{d\varphi}{dt}}{\dfrac{ds}{dt}}\right|=\left|\dfrac{\dfrac{x'(t)y''(t)-x''(t)y'(t)}{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2}}{\sqrt{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2}}\right|=\dfrac{|x'(t)y''(t)-x''(t)y'(t)|}{([x'(t)]^2+[y'(t)]^2)^{\frac{3}{2}}}$

对于一般的函数有$K=\dfrac{|y''|}{(1+y'^2)^{\frac{3}{2}}}$。

当曲线是圆的时候，弧长与角度的比就是半径。对于一般的曲线，曲率的倒数就是“曲率圆”的“曲率半径”。就好像切线是对曲线的线性逼近一样，曲率圆可以看作是对曲线的二次逼近。

对于空间曲线，我们还想用类似的方法来定义曲率。此时我们可以用同样的方式刻画弧长，而为了刻画“倾斜角的改变量”，我们可以把方向向量放在一个单位球内，刻画这个向量走过的弧长；对于空间曲面，弧长变为了一小片面积，而倾斜角的变化可以用平面法向量在单位球上的象集面积来描述。

通过这样的拓展，我们可以用曲率描述各种各样空间的弯曲程度。一个有趣的问题是，这种对弯曲程度的描述是否只依赖于空间本身？不跳出空间本身能否观察到这种弯曲，在地球上的人能否知道地球是圆的，在宇宙里的人是否知道宇宙是否是弯的？高斯绝妙定理回答了这个问题：$\displaystyle\int_\Sigma K=2\pi X(\Sigma)$，不离开空间本身就可以了解空间的拓扑性质。