微分学的基本定理

微分中值定理

微分中值定理包括四个基本定理：Fermat定理、Rolle定理、Lagrange中值定理、Cauchy中值定理。中值定理名称的由来是因为在定理中出现了具有某种性质的中间值，称为“中值”。虽然我们对中值缺乏定量的了解，但这并不影响我们对它的使用。

Fermat定理

Fermat定理指出：极值点处导数为0。“极值”不同于“最值”，极值是局部概念，只要求存在一个非常小的邻域使得这个点的函数值$\geq$（$\leq$）邻域内的所有函数值。在极值点的左右考虑$\dfrac{f(x_0)-f(x)}{x-x_0}$的左右极限，发现左极限和右极限要么有相反的符号，要么都等于0。要使得极限存在，它必须是0。而这个极限就是导数，所以极值点处导数为0。Fermat定理关注的是局部，证明只涉及了函数极限（局部概念）的定义。

Rolle定理

Rolle定理指出：设$f$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$上可导，且$f(a)=f(b)$，则一定存在$\xi \in (a,b)$使得$f'(\xi)=0$。这里的$\xi$就是中值，它具有能使导函数等于0的性质。证明需要分类讨论，如果$f$在区间上是常数函数，那么根据导数的定义得到任意一点处的导数都为0；如果$f$不是常数函数，那么根据闭区间上的连续函数一定有最大值点和最小值点，而端点的函数值是相同的，所以至少有一个内点取到最值，最值的内点一定是极值点，因此由Fermat定理得到这一点处导数为0。Rolle定理是区间上连续函数的定理，证明涉及连续函数的区间性质，本质上涉及确界存在定理，即实数系的连续性。

Rolle定理的物理意义是，如果出发之后回到原地，那么至少存在某一时刻速度为0。

Lagrange中值定理

Lagrange中值定理是Rolle定理的推广：设$f$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$上可导，则一定存在$\xi \in (a,b)$使得$f'(\xi)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$。构造辅助函数$\varphi(x)=f(x)-\left[f(a)+\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)\right]$，表示$f$到$a,b$连线的竖直距离。这个函数满足Rolle定理的条件，因此存在$\varphi'(\xi)=0$，即$f'(\xi)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$。

Lagrange中值定理的物理意义是，一定存在某一时刻的瞬时速度等于平均速度。

对Lagrange中值定理的表达式恒等变形，可以得到称为“有限增量公式”的形式。我们得到$f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$，令$\Delta y=f(b)-f(a),\Delta x=b-a$，$\xi=x_0+\theta \Delta x,\theta \in (0,1)$，就得到$\Delta y=f'(x_0+\theta \Delta x)\Delta x$。对比微分的无穷小增量的定义$\Delta y=f'(x_0)\Delta x+o(\Delta x)$，我们已经避免了使用高阶无穷小，而有了一个完整描述（尽管我们不能精确给出$\theta$的值）。从增长率的角度来看，我们有了$\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=f'(x_0+\theta \Delta x)$——Lagrange中值定理将函数的增量和函数在一个点上的导数值联系起来。导数是局部的概念，现在我们却可以用导数来研究函数在大范围上的性质。

Cauchy中值定理

Cauchy中值定理是Lagrange中值定理的推广：设$f,g$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$上可导。那么一定存在$\xi \in (a,b)$使得$\dfrac{f'(\xi)}{g'(\xi)}=\dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$。其中我们要求$g$的导数恒不为0。我们可以将$x$看作参数，那么可以有一个函数$F$，它的横坐标是$g$，纵坐标是$f$。对这个函数应用Lagrange中值定理就得到了Cauchy中值定理。其中等号左侧用到了参数函数求导的原理，这要求$g$单调。事实上，由于我们规定了$g$的导数恒不为0，这其实说明了$g$的单调的，但这要用到导函数的介值性。

导函数的两个定理

连续函数的导函数不一定是连续函数，接下来的问题都是这一现象引发的。

比如说

$$f(x)=\left\{\begin{matrix} x^2\sin \dfrac{1}{x},&x \neq 0 \\ 0,&x=0 \end{matrix}\right.$$

它处处可导。但是导函数在0处的极限（$\lim\limits_{x \to 0}\left(2x\sin \dfrac{1}{x}-\cos \dfrac{1}{x}\right)$）不存在。

Darboux定理

函数在区间上可导，则其导函数有介值性：如果$f'(x_1)\neq f'(x_2)$，那么$f'(x_1)$和$f'(x_2)$之间的每个值都能被取到。

这意味着，介值性并不是连续函数特有的，只要某个函数的导函数在每一点处都存在，它就一定具有介值性。

考虑一个特殊情形：对于$a<b$，如果有$f'(a)<0,f'(b)>0$，那么根据导数定义可以证明$(a,b)$内一定有函数值小于$f(a)$和$f(b)$。所以$(a,b)$有最小值，因此存在极值点，即存在$\xi \in (a,b)$使得$f'(\xi)=0$。

对于一般的$f'(a)<f'(b)$，取任意的$c$满足$f'(a)<c<f'(b)$，构造函数$F(x)=f(x)-cx$，问题就转化为了特殊情形，得到结论$f'(\xi)=c$。

导数极限定理

某点处的导数和“导函数在该点的极限”是不一样的概念，因为导函数不一定连续。导数极限定理指出：导函数不可能有第一类和第三类间断点。

首先来考虑单侧的情况。单侧导数极限定理指出：在某点右侧可导的函数，只要其导函数在$x_0$存在右极限，那么它存在右导数，而且有“右导数等于导函数的右极限（即导函数在该点右连续）”（包括无穷的情形）。应用Lagrange中值定理，$\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=f'(x_0+\theta \Delta x)$恒成立，因为中值被夹在中间，所以在$\Delta x \to 0$的过程中，$\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$始终被压在$f'(x_0+\Delta x)$里，后者极限存在自然说明了前者极限存在。

拓展到两边，得到：在某点的去心邻域可导的函数，如果导函数在该点有极限，那么该函数在该点也可导，并且在该点的导数值等于导函数在该点的极限（即导函数在该点连续）。

这说明导函数具有这样独特的性质：某点极限存在就意味着连续。导函数只可能出现第二类间断点。因为第一类和第三类极端点都要求左右极限存在，右极限存在意味着右连续，左极限存在又意味着左连续，合在一起推出了函数连续，也就不存在间断点了。

Taylor定理

根本的问题是：如何用多项式来逼近一个函数？如果多项式是一次的，我们已经有了一个很好的逼近——微分的定义$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+o(x-x_0)$或者拉格朗日中值定理$f(x)=f(x_0)+f'(x_0+\theta(x-x_0))(x-x_0)$。前者用高阶无穷小说明了局部情形下的“逼近”，后者用中值$\theta$说明了距离较远点的“逼近”。Taylor公式把这种它们推广到$n$次多项式，在局部用Peano余项描述逼近，在区间上用Lagrange余项（或Cauchy余项）描述逼近。

Taylor公式指出，最好的逼近就是让函数与对应的多项式在$x_0$处拥有完全相同的$n$阶导数。我们可以证明，任何别的多项式的邻域上的逼近都要大于Taylor多项式的逼近。

局部Taylor公式

我们想使得在$x \to x_0$时，能有多项式满足：$f(x)=c_0+c_1(x-x_0)+\cdots+c_n(x-x_0)^n+o((x-x_0)^n)$。其中，右侧除掉高阶无穷小的部分称为Taylor多项式，它在逼近时与$f$只相差$n$阶无穷小，这个无穷小称为Peano余项。

首先要说明，如果这样的多项式存在，那么它一定是唯一的：每个系数都能用极限的形式表达出来（$x \to x_0$），而这样的每个极限都是存在且唯一的。

我们首先依照Taylor的思路写出能与$f$具有完全相同$n$阶导数的多项式，再验证这就是我们要的多项式：

$f(x)=f(x_0)+\dfrac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0)+\dfrac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots+\dfrac{f^{n}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+o((x-x_0)^n)$

把Taylor多项式记为$p_n(x)$，把Peano余项$f(x)-p_n(x)$记作$r_n(x)$。我们要做的只有验证$\lim\limits_{x \to x_0}\dfrac{r_n(x)}{(x-x_0)^n}=0$。这里需要用到Cauchy中值定理——连续用$n$次（基于$r_n^{(k)}(x_0)=0$以及$(x_0-x_0)^n$）

Taylor中值公式

假如并没有$x \to x_0$的要求，我们也可以用Taylor多项式逼近函数。

固定$x$，设$F(t)=f(x)-\sum\limits_{k=0}^n\dfrac{1}{k!}f^{(k)}(t)(x-t)^k$，有$F(x)=0$，$F(x_0)$就是余项$r_n(x)$。再设任意的一个函数$\psi$，满足$\psi(x)=0$。那么根据Cauchy中值定理，有$\dfrac{F(x)-F(x_0)}{\psi(x)-\psi(x_0)}=\dfrac{F'(\xi)}{\psi'(\xi)}$。表示出余项：

$r_n(x)=F(x_0)=\psi(x_0)\dfrac{F'(\xi)}{\psi'(\xi)}$

当$\psi(t)=(x-t)^{n+1}$时，得到Lagrange余项$r_n(x)=\dfrac{f^{n+1}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$；

当$\psi(t)=x-t$时，得到Cauchy余项$r_n(x)=\dfrac{f^{n+1}(\xi)}{n!}(x-\xi)^n(x-x_0)$；

当$\psi(t)=(x-t)^k$时，得到余项的一般形式$r_n(x)=\dfrac{f^{n+1}(\xi)}{kn!}(x-\xi)^{n-k+1}(x-x_0)^k$；

注意，这些公式相比于局部Taylor公式对$f$本身有更高的要求——前者只要求在$x_0$的邻域有$n$阶导数，后者要求在区间上有$n+1$阶导数。

Maclaurin公式

如果把函数在$x_0=0$处Taylor展开，能够得到关于$x^n$的Taylor多项式，称为Maclaurin公式。几个常见初等函数的展开式如下，应当像九九乘法表一样熟练记忆：（前三个带Lagrange余项，后两个带Cauchy余项）

$e^x=1+\dfrac{x}{1!}+\dfrac{x^2}{2!}+\cdots+\dfrac{x^n}{n!}+\dfrac{e^{\xi}x^{n+1}}{(n+1)!}$

$\sin x=x-\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}-\cdots+(-1)^n\dfrac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+\dfrac{\sin(\xi+\frac{\pi}{2}(2n+3))x^{2n+3}}{(2n+3)!}$

$\cos x=1-\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}-\cdots+(-1)^n\dfrac{x^{2n}}{(2n)!}+\dfrac{\cos(\xi+\frac{\pi}{2}(2n+2))x^{2n+2}}{(2n+2)!}$

$\ln(1+x)=x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^4}{4}+\cdots+(-1)^{n-1}\dfrac{x^n}{n}+(-1)^n\left(\dfrac{x-\xi}{1+\xi}\right)^n\dfrac{x}{1+\xi}$

$(1+x)^{\alpha}=\binom{\alpha}{0}+\binom{\alpha}{1}x+\binom{\alpha}{2}x^2+\cdots+\binom{\alpha}{n}x^n+\binom{\alpha}{n+1}(1+\xi)^{\alpha-(n+1)}x^{n+1}$

$\dfrac{1}{1+x}=1-x+x^2-x^3+x^4+\cdots+(-1)^nx^n+(-1)^{n+1}\dfrac{x^{n+1}}{(1+\xi)^{n+2}}$

$\sqrt{1+x}=1+\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{8}x^2+\dfrac{1}{16}x^3-\cdots+(-1)^{n-1}\dfrac{(2n-3)!!}{(2n)!!}x^n+(-1)^n\dfrac{(2n-1)!!}{(2n+2)!!}\cdot\dfrac{x^{n+1}}{(1+\xi)^{n+\frac{1}{2}}}$

$\dfrac{1}{\sqrt{1+x}}=1-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{3}{8}x^2-\dfrac{5}{16}x^3+\cdots+(-1)^{n}\dfrac{(2n-1)!!}{(2n)!!}x^n+(-1)^{n+1}\dfrac{(2n+1)!!}{(2n+2)!!}\cdot\dfrac{x^{n+1}}{(1+\xi)^{n+\frac{3}{2}}}$

Taylor级数

我们观察到$e^x,\sin x,\cos x$的Maclaurin公式中，余项在$n \to \infty$时趋向0。对于$\ln(1+x)$，$(1+x)^\alpha$在$|x|<1$时，也有余项趋向0。这意味着我们可以把对应的函数精确地写成无穷级数的形式，这个级数就称为Taylor级数。

例如：$e^x=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{x^n}{n!}$对于$x \in \R$恒成立。对于后两个函数，虽然Taylor级数只对部分的$x$成立，我们可以通过“解析延拓”的方法不断拓展定义域。

微分中值定理的应用

L'Hospital法则

若$f(x),g(x)$在$x=a$的右邻域可导，且$g'(x) \neq 0$。如果满足$\lim\limits_{x \to a+}f(x)=\lim\limits_{x \to a+}g(x)=0$或$\lim\limits_{x \to a+}g(x)=\infty$，则成立：

$\lim\limits_{x \to a+}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\to a+}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}$

对于$x \to a-,x \to a,x \to +\infty$等也是适用的

证明用到了Cauchy定理

导数与单调性、凹凸性

函数在区间上单调递增的充要条件是在该区间的导函数非负。

函数在区间上为下凸函数的充要条件是在该区间上二阶导数非负（前提是函数二阶可导，非二阶的函数也可能是下凸函数，那样就不能用这条性质来判断，可以用其他充要条件：定义、一阶导数单调递增、高于任意一点切线）

凹凸函数的定义可以归纳出Jensen不等式：

$f(\sum\limits_{i=1}^n\lambda_ix_i) \leq \sum\limits_{i=1}^n\lambda_if(x_i)$，$f$为下凸函数（上凸不等号相反）

由$\ln x$的上凸性可以得到Young不等式：

$ab \leq \dfrac{a^p}{p}+\dfrac{b^q}{q}$，其中$a,b,p,q >0$，$\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q}=1$

由Young不等式可以推出Holder不等式和Minkowski不等式：

Holder：$\sum\limits_{i=1}^na_ib_i \leq (\sum\limits_{i=1}^na_i^p)^\frac{1}{p}(\sum\limits_{i=1}^nb_i^q)^\frac{1}{q}$，其中$a_i,b_i,p,q >0$，$\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q}=1$

Minkowski：$\left[\sum\limits_{i=1}^n(a_i+b_i)^p\right]^\frac{1}{p} \leq (\sum\limits_{i=1}^na_i^p)^\frac{1}{p}+(\sum\limits_{i=1}^nb_i^p)^\frac{1}{p}$，其中$a_i,b_i>0,p \geq 1$