C++/PTA 鸿鸿哥分钱

C++/PTA 鸿鸿哥分钱

• • 题目要求
  • 解题思路
  • • is_prime函数
    • decompose函数
  • 代码
  • • 头文件
  • 总结

题目要求

鸿鸿哥最近和一个小伙伴做了个小项目，赚了一个亿，两人一起高高兴兴开了庆功宴之后，鸿鸿哥就准备分一下钱了。鸿鸿哥想了想，生意不是做一天的，所以一个亿之中的大部分资金还是要继续投资，不能只是做一发就走，这个想法也得到了小伙伴的认可。而余下来的钱不知道具体数值，只知道是x万~y万之间（因为某种神秘力量余下的钱一定是偶数万）。而鸿鸿哥原本也是土豪，这点小钱也看不上眼，于是他想分多一点给小伙伴，他决定把钱分成两个素数（程序员喜欢各种特别的数字），自己拿小的那份。那么问题来了，鸿鸿哥和小伙伴个各拿多少万呢？鸿鸿哥想知道所有可能的分法。

输入格式:
输入两个整数x，y（6<=x，x<=y，n<=100），一组输入。

输出格式:
输出x和y之间所有偶数表示成的两个素数之和。

输入样例:
8 10

输出样例:
8=3+5
10=3+7

---

解题思路

使用判断素数的函数 is_prime，该函数接受一个整数 n 作为参数，返回值为 bool 值。函数内部采用了经典的素数判断方法，枚举从 2 到 sqrt(n) 的所有正整数，如果其中有一个可以整除 n，则说明 n 不是素数，返回 false。如果上述枚举过程结束后仍然没有找到能整除 n 的数，则说明 n 是素数，返回 true。

is_prime函数

is_prime 函数是用来判断一个数是否为素数的函数。其输入为一个整数 n，输出为一个 bool 类型的值，若 n 为素数则返回 true，否则返回 false。

下面是一个常见的实现方式：

bool is_prime(int n) {
    if (n <= 1) { // 1 不是素数，小于等于 1 的数都不是素数
        return false;
    }
    for (int i = 2; i <= sqrt(n); i++) { // 枚举从 2 到 sqrt(n) 的所有数
        if (n % i == 0) { // 如果 n 能被某个数整除，则说明 n 不是素数
            return false;
        }
    }
    return true; // 否则 n 是素数
}

• 该实现方式首先判断输入的数是否小于等于 1，如果是，则该数不是素数，直接返回 false
• 之后，从 2 到 sqrt(n) 枚举每个整数，如果存在一个能够整除 n 的数 i，则 n 显然不是素数，因此返回 false
• 最后，若上述循环结束后没有找到能够整除 n 的数，则 n 是素数，返回 true。

---

使用素数分解的函数 decompose，该函数接受一个整数 c 作为参数，无返回值。函数内部通过枚举从 2 到 c/2 的所有正整数 i 和 c-i，判断它们是否都是素数。找到符合条件的 i 和 c-i 后输出分解式 c = i + (c-i)，然后退出函数。

decompose函数

decompose 函数是用来对一个偶数进行素数分解的函数。其输入为一个整数 a，表示需要对 a 进行素数分解，无返回值。

下面是一个常见的实现方式：

void decompose(int c) {
    for (int i = 2; i <= c/2; i++) { // 只需枚举到 c/2 即可
        if (is_prime(i) && is_prime(c-i)) { // 判断 i 和 c-i 是否均为素数
            cout << c << "=" << i << "+" << c-i << endl; // 输出分解式
            break; // 找到一个解即可退出循环
        }
    }
}

该实现方式首先从 2 到 a/2 枚举每个正整数 i，判断 i 是否为素数，如果不是素数则跳过当前循环。
之后，判断 a-i 是否为素数，如果不是素数则跳过当前循环。如果 i 和 a-i 均为素数，则输出分解式 a = i + (a-i)，并且退出循环。

---

主函数 main其读取两个整数 x, y，表示要对区间 [x, y] 内的所有偶数进行素数分解。首先判断 x 是否为偶数，如果不是偶数则将其加 1。之后，从 x 开始，每次扫描下一个偶数并调用函数 decompose 进行素数分解，直到扫描到 y 为止。

代码

具体实现代码如下：

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

bool is_prime(int n) { // 判断素数函数
    if (n <= 1) {
        return false;
    }
    for (int i = 2; i <= sqrt(n); i++) {
        if (n % i == 0) {
            return false;
        }
    }
    return true;
}

void decompose(int a) { // 素数分解函数
    for (int i = 2; i <= a/2; i++) { // 只需枚举到 a/2 即可
        if (is_prime(i) && is_prime(c-i)) {
            cout << a << "=" << i << "+" << a-i << endl;
            break; // 找到一个解即可退出循环
        }
    }
}

int main() {
    int x, y;
    cin >> x >> y;
    if (x % 2 != 0) { // 如果 x 不是偶数，则将其加 1
        x++;
    }
    for (int i = x; i <= y; i += 2) { // 对于偶数区间内的每一个数进行分解
        decompose(i);
    }
    return 0;
}

值得注意的是，主函数中有对decompose函数进行循环遍历，因此在 decompose 函数中，只要找到一个符合条件的解即可退出循环。

头文件

cmath 是 C++ 标准库中的一个头文件，其中定义了许多和数学相关的函数。在本题中，使用了 cmath 中的 sqrt 函数。

sqrt 函数用于计算平方根，其形式如下：

double sqrt(double x);
float sqrt(float x);
long double sqrt(long double x);

该函数接收一个浮点数 x 作为参数，返回值为其平方根。在 is_prime 函数中，使用了 sqrt(n) 表示 $n$ 的平方根，以方便判断其是否是素数。

---

总结

本文使用is_prime函数及decompose函数实现对给定的一个区间内所有偶数进行素数分解，读者可躬身实践。
我是秋说，我们下次见。