【题解】CTT 2018 Day 2
A. 宝石游戏
无修改时考虑长链剖分（加整体异或标记）。有修改时分块，不考虑关键点层长链剖分，最后算答案的时候处理关键点层的答案即可。
B. 面国建设
令所有矩形都满足 \(a\leq b\)，那么 \(a\) 的取值只有 \(O(\sqrt{n})\) 种。此时我们注意，对于 \(a\geq 2\)，可以将 \((a,b),(a,c)\) 合并为 \((a,b+c-1),(1,a)\) 。而对于 \(a,b\geq 2\) 的 \((1,a),(1,b)\) 可以合并为 \((1,1),(1,a+b-1)\) 。
因此在除去 \((1,1)\) 后，每个宽度 \(a\) 最多存在一个矩形。对于 \((1,1)\) 考虑方案 \(2x-y\) 始终是不变的，因此对 \(2x-y=i\) 求出最小的 \(y\) 合法就行了。由于一个宽度最多只有一个矩形，因此直接将 \(a:[2,\sqrt{S}]\) 放在外层枚举，内层随便转移。提交记录：Submission #76356 - QOJ.ac 。
C. Wechat
即 P5825 排列计数 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn) 。
考虑用 \((0,1)\) 中的随机变量序列替换原排列。考虑令 \(b_i=(a_{i-1}-a_{i})\bmod 1\)，显然有 \(b_i=a_{i-1}-a_{i}+[a_{i-1}<a_{i}]\) 。而 \(b_i,a_i\) 一一对应。同时 \(\sum b=b_n+k\)，即可以先计算 \(\sum b<k\) 的概率，然后差分就可以得到固定 \(k\) 的答案。
对于 \(\sum b<k\) 考虑容斥，钦定 \(i\) 个位置 \(b_i>1\)，剩下的概率为 \(\frac{(k-i)^n}{n!}\)（即考虑前缀和数组，选定 \(n\) 个位置，再从小到大固定顺序）。于是只要一遍 ntt 就行了。提交记录：Submission #76419 - QOJ.ac 。
