【题解】CTT 2020 Day 2
B. 随机游走
转切比雪夫后，每次能走的就是一个 \([-\frac{1}{2},\frac{1}{2}]\times[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}]\) 的正方形。考虑将 \(x,y\) 拆开，相当于每步 \([-\frac{1}{2},\frac{1}{2}]\)，走 \(2n\) 步，求距离 \(0\) 的期望距离。
也就是说，原题变为每次走 \([0,1]\)，走 \(2n\) 次，求终点与 \(n\) 的期望距离。因为对称，我们只要考虑终点 \(<x\) 的概率。通过容斥可以得到：\(f(x)=\sum\limits_{i=0}^{\lfloor x\rfloor}{2n\choose i}(-1)^{i}\frac{(x-i)^{2n}}{(2n)!}\) 。
于是我们只要考虑 \(\int_{0}^{n}f(x)\mathrm{dx}\)，然后将答案乘 \(2\)。而这部分：
\[\begin{aligned}
\int_{0}^{n}f(x)\mathrm{dx}=\frac{1}{(2n)!}\sum\limits_{i=0}^{n-1}{2n\choose i}(-1)^{i}\int_{0}^{n-i}x^{2n}\mathrm{dx}
\end{aligned}
\]
直接算就好了。
C. 基础图论练习题
竞赛图缩点，如果一条边不在一个强连通分量里，那么只要算链上点数。而一个强连通竞赛子图，一定存在一条哈密顿回路。除哈密顿回路之外的边，反转都不会有影响。于是只要找到哈密顿回路，然后考虑哈密顿回路上的 \(n\) 条边即可。每次暴力反转然后缩点，时间复杂度 \(O(n^2)\) 。
提交记录：Submission #80350 - QOJ.ac 。
