【题解】CTT 2020 Day 1
A. 术树数
注意到路径 + 环的组合仍然可行，因为我们可以在无影响的情况下加入环（显然一条边也算二元环）。而对于每条边，如果其在某些环内，只要保留任意一个就行（剩下的可以通过操作得出）。
于是只要用 k 进制线性基就做完了。提交记录：Submission #76089 - QOJ.ac 。
B. 树数术
考虑前段区间的 LCA 为 \(u\)，在当前区间二分找到最后一个与 \(u\) 做 LCA 后会变的前缀，这段前缀一定不会成为答案，而在这段前缀之后的区间不受之前的影响。因此对于剩下的部分，预处理每个点往前走的最远距离，然后只需要数剩下区间中有多少数满足要求即可，是个二维数点。
提交记录：Submission #76130 - QOJ.ac 。
C. 述树术
Subtask #1
- 首先考虑找到所有的叶子节点，注意到令 \(I\) 为全集，那么询问 \(I-\{x\}\) 得到的结果：如果是 \(n-1\)，那么是叶子节点，否则就一定不是。
- 这样就找到了所有的叶子，令叶子集合为 \(L\) 。接着就只需要考虑求出每个点的父亲了。注意到令 \(x\) 是某个叶子节点，询问 \(L-\{x\}\) 会得到 \(n-2\)，减去的是 \(x\) 和 \(y=\mathrm{fa_x}\) 。
- 那么考虑令 \(V=I-L\)，每一次可以拿出 \(V'\subseteq V\)，然后询问 \(L-\{x\}+V'\)：如果得到 \(n-1\)，说明 \(y\in V'\)，否则 \(y\not\in V'\) 。
- 这样的话，将所有的叶子的父亲找到后，就将所有的叶子丢掉，此时它们的父亲成为了新的叶子，那么继续上面的过程就能将所有点的父亲找到了。
- 同时注意到因为 \(c_0=c_2+1\)，那么 \(|V|\leq \frac{n}{2}\)，也就是说二分次数是 \(8n\)，加上最开始找叶子需要的 \(n\) 次询问，总共是 \(9n\) 次，可以通过。
Subtask #2
- 注：如果一个点有 \(k\) 个儿子，则称其为 \(k\) 度点。
- 此时最开始的一步就出现了问题：询问 \(I-\{x\}\) 时，只要 \(x\) 不是二度点，都会得到 \(n-1\) 。那么不妨先考虑询问 \(I-\{x\}\) 将二度点分开，并且令叶子、一度点的集合为 \(L\) 。
- 接着考虑询问 \(L-\{x\}\) 得到的结果：如果是 \(n-2\) 的话，说明 \(x\) 是叶子，并且父亲是二度点，否则无法说明什么。
- 注意到，如果一个叶子的父亲是一度点，或者一个一度点的父亲是一度点，那么我们没有办法区分它们到底谁在上面谁在上面，这个时候就 GG 了。那么到时候将无解的情况判掉，现在我们要处理的就是这样一种情况：所有的叶子和一度点的父亲都是二度点。
- 此时仍然考虑询问 \(L-\{x\}\)，那么如果得到了 \(n-2\) 说明 \(x\) 是叶子，否则说明 \(x\) 是一度点。先不考虑一度点，建出叶子和二度点构成的树，然后将一度点插进去。
- 考虑令 \(L_0\) 表示叶子集合，如果对于 \(L_0'\subseteq L_0\) 和一个一度点 \(x\)，询问 \(L_0'+\{x\}\)：如果得到 \(n+1\)，说明加进来的仅有 \(x\)，\(x\) 的子树中存在 \(L_0\) 中的点；否则如果 \(x\) 的子树中不存在 \(L_0'\) 中的点的话，得到的结果一定为 \(n+2\)，因为同时加进来的还有 \(\mathrm{fa}_x\) 。
- 那么考虑边分治，令当前分治中心为 \((u,v),\mathrm{fa}_v=u\)，同时令 \(L_{0,v}\) 表示 \(v\) 子树内的叶子集合。对于一度点 \(x\)，可以通过询问 \(L_0-L_{0,v}+\{x\}\) 来判断 \(x\) 是否属于 \(v\) 的管辖范围内（因为是找每条边上有没有一度点，所以 \(v\) 的管辖范围其实包含 \((u,v)\)） 。
- 无解的情况也方便讨论。此时复杂度仍然能使用上面的分析，因为总点数是 \(n\)，每个点的代价都是 \(\log n\) 。据说上界是 \(10408\)，不太理解为什么出题人将上界出了这么紧 ...
