【题解】UOJ Round #14
// created on 22.09.28
A. 最强跳蚤
首先将每个数变成 \(\prod p\) 的样子肯定不影响。接着考虑点分治，处理每个点到分治中心的积（仍然写成上面的形式）。那么跨越分治中心的合法路径一定满足，端点的积相等。
但注意到我们无法承受这样的数量级。直接哈希肯定不行，因为我们处理的时候需要用到 \(\gcd\)（将重复部分去掉）。我们单独维护每个位的情况，然后维护哈希值就行了。
另外一种简单的做法就是：我们对每个质数赋一个随机权值。这样合并的过程就是异或。直接在树上做的话，对应的祖先链是一样的，因此只需要数相同权值的点数了。
简单题不写代码。
B. 人类补完计划
发现其实就是，要满足 \(S_e\) 是基环树。然后权值是 \(2\) 的非叶子节点数量次方。结合数据范围不难判断出是集合幂级数题 .. 但是这并不意味着我们要直接往集合幂级数的方向思考！
我们考虑枚举基环树的点集 \(S\)，并且考虑其叶子集合 \(T\) 。令 \(f(S)\) 表示 \(S\) 的答案，\(g(S)\) 表示 \(S\) 呈基环树的方案数，我们有：
中间的系数是构造出来的，目标系数是 \(2^{-|T|}\) 。
如果可以求得 \(g(S)\) 就可以 \(3^n\) 求出答案。考虑 \(g(S)\) 相当于要求每个点钦定一个出边，并且全图联通。看到联通就知道集合幂级数了。求出任意方案数后 \(\ln\) 过来就行了。
对于长度为 \(2\) 的环我们也会计算一次，而其方案数其实和生成树方案数是对应的，只需要对每个 \(S\) 求生成树个数即可。于是总时间复杂度 \(O(2^nn^3+3^n)\) 。
提交记录：Submission #585395 - Universal Online Judge (uoj.ac)。
C. 思考熊
直接点分树好像可以做，不过空间难以接受，我们的目的也不至于此。本题的主要做法还是 带删二进制分组，和 Unknown 是一样的。
首先我们考虑点集的虚树怎么处理答案：我们在虚树上 DP，对于每个点，求出往上走最远的关键点的距离 \(g_u\)，以及往下走最远的关键点距离 \(f_u\) 。对于单次询问 \(q\)，二分找到 DFN 序比 \(q\) 小的最大的，和比 \(q\) 大的最小的，取更低的 LCA \(t\)，意味着 \(q\rightarrow t\) 恰好走到虚树上。问题变成询问 \(t\)，此时二分找到 DFN 序比 \(t\) 大的第一个点，就是 \(t\) 下面第一个点 \(p\)，用 \(f_p,g_p\) 更新答案即可。
现在要做的就是合并虚树，我们考虑建一棵完全线段树。支持删除节点，只需要将点删除，然后将受到影响的点打上标记。我们希望一层只有至多一个点有标记。因此在加入节点合并时，需要即时重构。
分析复杂度？询问的话，因为一层至多一个点有标记，复杂度为 \(\log^2n\) 。而修改复杂度，对于第 \(i\) 层，除非删除 \(2^i\) 个点，或者加入 \(2^i\) 个点，否则都不能改变状态。而改变状态更新的块是 \(O(1)\) 个，复杂度 \(O(2^i)\) 。因此总复杂度是 \(O(n\log^2 n)\)，还有一个 \(\log n\) 是虚树的部分。
有空我肯定写代码！
代码细节：每个点维护一个 "大小"，当 "大小" 归零时清空。每次修改仿照线段树，找到链上点。如果是删除就一路打标记，删除空节点。如果是插入就重建叶子，然后往上每一层考虑合并，如果恰好满插，并且没有非法标记，就考虑更新当前层标记情况（考虑上一个点有无标记），然后重建；如果有非法标记，就先不管。查询的时候递归判一下空节点就行。
