【题解】UOJ Round #18
// created on 22.09.26
A. 绝对不鸽
考虑我们的思考过程 .. ：先找操作策略，然后通过合并策略 / 寻找性质来得到更优的复杂度。
首先考虑 \(a=0\)：我们可以通过不断地让 \(B\) 个牺牲，每次全部提成 \(\lfloor\frac{A-1}{B}\rfloor\)，使得每次操作肯定会剩下若干次机会，然后用这些机会将剩下 \(n-B\) 个填满 —— 此时 \(n-B\) 个数全部都是 \(\lfloor\frac{A-1}{B}\rfloor\) 。
对于原问题，我们考虑排序。然后考虑排名为 \(k\) 的数被作为最终答案 —— 在此之前，我们认为每次操作一定删除最大的 \(B\) 个，而每次加上来的数一定不会替代原来最大 \(B\) 个的位置（否则将操作调整）。那么排名为 \(k\) 的数操作次数是一定的：只会操作 \([k,n]\)，因为 \([1,k-1]\) 更小，操作就是浪费次数。
而剩下的情况，肯定是选择了被删掉的数作为最终答案：初始值是 \(0\)，在全部清空后，答案就和全 \(0\) 开始的答案无异了！
于是实现的时候，只需要先计算 \(a=0\) 。然后考虑 \(k\)，直接计算是 \(O(n^3)\) 。不过考虑二分第一次 "填平" 的操作，在这个操作之前的主持人的操作都不会对码农的造成影响。然后再二分具体的 "填平" 位置。
此时剩下的所有问题（无论 \(a=0\) 部分还是一般情况）都可以表示成 \(\mathbf{calc}(n,i)\) 表示长度为 \(n\)，前 \(i\) 个位置是 \(0\)，后 \(n-i\) 个是 \(1\)，每次操作固定删除最后 \(B\) 个，求最优值。直接递归单次 \(O(\frac{n}{B})\) 。
于是我们得到了一个朴素的 \(O(\frac{n^2}{B})\) 做法，细节很多。
提交记录：Submission #585138 - Universal Online Judge (uoj.ac)。
接下来我们怎么优化？寻找性质！我们猜结论：\(\mathbf{calc}(n,i)\) 是分段函数，且段数是常数段！通过归纳或者打表可以发现的确如此。于是递推处理即可。
时间复杂度 \(O(n\log n)\) 。
提交记录：Submission #585187 - Universal Online Judge (uoj.ac)。
被 Extra Test #7 Hack 了，原因不明。细节太多了，我不想调了。
B. 没这种事
考虑我们的思考过程 .. ：先找判定策略，找同构规律，构造翻转。
- Observation #1：位置 \((i,j),(n-i+1,j),(i,m-j+1),(n-i+1,m-j+1)\) 构成一个封闭的集合。
为了方便，我们先讨论 \(n,m\) 都是偶数的情况：此时所有封闭的集合都是四元组。
- Observation #2.1：我们可以通过对四元组的翻转方案进行构造，使得在 \(i,n-i+1,j,m-j+1\) 四条轴均翻转偶数次的情况下，拓展出包含自身共 \(12\) 种状态。
这意味着在不影响其他四元组的情况下，一个四元组的 \(12\) 种状态可以互相转化。
- Observation #2.2：\(\begin{bmatrix}0&1\\2&3\end{bmatrix}\) 和 \(\begin{bmatrix}1&0\\2&3\end{bmatrix}\) 无法实现在所有轴仅翻转偶数次情况下的互相转化。
- Observation #2.3：对于存在元素相同的四元组，一定可以通过构造使得在所有轴所有轴仅翻转偶数次情况下，所有状态互相转化。
当四个数都不同时，一个四元组有 \(24\) 种不同的状态（我们姑且记 0 / 1 表示两个无法相互转化的集合）。这意味着，如果我们翻转一条轴，相当于翻转了这条轴上的四元组的 0 / 1 状态（对于存在数相同的四元组，则不存在状态翻转，属于定点）。
我们仅考虑左上侧矩阵，对于每次翻转，也仅需要考虑该翻转是否存在。
- Obversation #3：对于 \(2n\times 2m\) 的矩阵的所有翻转操作，对应到左上侧 \(n\times m\) 的矩阵中时。一个状态可以相互转化得到的状态数是 \(2^{k}\) 。其中 \(k\) 是：考虑对应一个左侧 \(n\) 个点，右侧 \(m\) 个点的二分图，那么 \(k\) 是 \(n+m-c\)，其中 \(c\) 是连通块数量。
考虑连通块的系数。考虑先求任意方案数，然后 \(\ln\) 得到连通块数，带上 \(\frac{1}{2}\) 后再 \(\exp\) 回去就行了 —— 我们发现着其实就是多项式开方，我们要进行的也正是二维多项式开方。
可能和 Solution 殊途同归了，也可能本来就是一样的，没仔细看。
提交记录：Submission #585245 - Universal Online Judge (uoj.ac)。
实现细节是，我们并不需要二维多项式开方。只需要对一维暴力计算贡献，另外一维推下式子就行了。复杂度是 \(O(n\sqrt{n})\)，不过瓶颈处常数极小（剩下的部分是 \(\sqrt{n}\) 次求逆，和一次开方）。
C. 在路上了
数据范围是 \(\frac{1}{2}n\leq k\leq \frac{2}{3}n\)，\(\frac{3}{2}k\leq n\leq 2k\) 。
做你妈做。
