【题解】UOJ NOI Round #5 Day1
// created on 22.09.24
A. 提问系统
首先建树，考虑 \(p_rp_b^2\) 的组合意义可以考虑记二元组 \((0/1,0/1/2)\) 表示选择的个数。
那么令 \(f_{u,k,S}\) 表示 \(u\) 的祖先链选了 \(k\) 个 R 时，子树内部方案的状态对应 \(S\) 的方案数。转移可以通过枚举 \(u\) 的决策，然后考虑其儿子 \(S\) 的合并即可。复杂度 \(O(n^2)\) 。
感觉没必要写代码。
B. 答案查重
最开始看错题了 ..
无根树同构的套路是选出重心为根，令 \(f_i(x)\) 表示 \(i\) 的答案。注意到如果子树不重构那么有 \(f_u(x)=(1+x)\prod f_v(x)\) 。对于重构的子树，因为只有在全 \(0\) 的时候才存在完全相等的方案，因此剩下的方案都是不同的，只需要注意顺序。计算时只需要枚举非 \(0\) 子树个数，即 \(\sum\limits_{i=0}^{k}\frac{(f_v(x)-1)^i}{i!}\)，可以分治解决。
处理这种子树合并就用常规套路：先链分治一下，我们钦定一个点的重儿子为 \(v\)，当且仅当 \(v\) 子树大小超过儿子子树大小总和的一半。注意此时 \(v\) 肯定不与其他儿子重构。那么先用堆，每次取最小的合并其他子树，然后对于重链，再用堆全部合并。
提交记录：Submission #585069 - Universal Online Judge (uoj.ac)。
C. 排名预测
特殊性质 B，我们还是考虑 Check 一个 ddm 序是否合法：考虑剥叶子，如果有点是从兄弟枝干换过来，那么一定无解。否则一定有解，且删掉叶子后剩下的点 ddm 序相对大小保持不变。
特殊性质 A，相当于判定一个 ddm 序是否合法。我们考虑经典 Trick：将排列转成 0 / 1 序列，对每个分界点分别判定。对于某个 0 / 1 序列来说，每次交换肯定是 0 往下走，1 往上走。我们只需要在每个点判定：如果这个点子树中的目标 0 小于已有 0，那么肯定无解。否则考察祖先链上的 0 是否足够补充（其实没必要，因为每个 0 的补充去向是确定的）。
至此我们拿到 75pts 。接着我们考虑一个构造方法：如果能确定一个点儿子的最优遍历方式，就能得到这个点子树的最优方案。令 \(f_x\) 表示 \(x\) 的 ddm 序至少应该是多少才有解，叶子的初始值很简单，转移显然从小到大排序最优。
我们最后得到的做法极其简单，而其正确性（单调性）是基于转成 0 / 1 序列的部分分做法的。
