【题解】IOI 2022 集训队互测 Day3 T1 Lovely Dogs

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前 \(50\) 分基本是白给的。现在来讨论 Subtask 5，也就是说求：

\[\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}f_d(ij) \]

注意到如果令 \(g(i)\) 表示 \(\prod (-1)^{k_i}\)，那么有 \(f_d(ij)=g(i)g(j)f_d(ij)^2\) 。此时令 \(h(i)\) 表示最大的 \(t\) 满足 \(t^{d+1}|i\)，那么可以发现 \(f_{d}(ij)^2=[h(ij)=1]=\sum\limits_{k|h(ij)}\mu (k)=\sum\limits_{t^{d+1}|ij}\mu (t)\) 。

此时考虑插入一个数怎么更新，具体考虑插入 \(r\)，那么带来的影响有：

\[\sum_{l=1}^{r}f_d(lr)=g(r)\sum\limits_{t}\mu (t)\sum_{l=1}^{r}g(l)\left[\frac{t^{d+1}}{\gcd (t^{d+1},r)}|l\right] \]

此时考虑 \(t\) 的枚举范围，如果 \(t\not\mid r\) 的话，那么能够满足 \(t^{d+1}|lr\) 就一定存在质数 \(p\) 使得 \(p^{d+1}|l\)，那么此时 \(f_d(lr)\) 必然为 \(0\)，不需要考虑。

这样插入一个数的时候就只需要考虑其因数作为 \(t\)，然后求出 \(\frac{t^{d+1}}{\gcd (t^{d+1},r)}\) 后考虑 \(l\) 即可（每个 \(l\) 都放在其的每个因处）。那么我们就得到了 \(O(n\ln n)\) 的做法，关键思路就是重写给定函数然后用莫比乌斯函数代替，最后找一下性质干掉无用情况。

顺带提一句，莫比乌斯函数有个性质是 \(\mu(ij)=\mu(i)\mu(j)\mu(ij)^2\) 。说白了上述的 \(f_d(ij)=g(i)g(j)f_d(ij)^2\) 其实就是将这个改写了一下得到的。

接下来考虑上树，注意到删除加入一个点的代价都是其因数个数个，直接莫队的话因为询问区间左端点不重复，最后每个点操作的次数都是 \(O(\sqrt{n})\)，那么总复杂度就是 \(O(n\ln n\sqrt{n})\) 。

接着考虑能不能做到更优，具体考虑链分治。每次继承重子树贡献，重新计算轻子树的贡献，然后加入自身的贡献。那么每一个点的加入次数是 \(O(\log n)\) 的，因此总复杂度为 \(O(n\ln n\log n)\) 。

我认为本题前 50 分和后 50 分之间的关键突破点在于怎么重写 \(f_d(x)\) 使其变得更加好计算，得出上面的贡献计算式后，接下来的无论是莫队还是链分治都很自然并且很简单了。

其实对于这类问题（最后转化成了倍数或者因数做贡献，总复杂度就变成了 \(O(n\ln n)\)），基本都会限制 \(a_i\) 是排列。这点给我们的启发就是看到这种排列性质的话，如果又是这种数论题，那么可以想想是不是和倍数因数有关。