【题解】AGC032E Modulo Pairing
常规想法是二分答案，但是感觉没前途。
首先将所有的数排序，最后一定选出来若干不小于 \(m\) 的和小于 \(m\) 的数对。来证明一个结论：对于 \(x<y<z<w\)，如果选出来 \(a_x+a_w\) 小于 \(m\) 但是 \(a_y+a_z\) 不小于 \(m\)，那么答案一定不比 \(a_w\) 小，所以可以考虑将 \(a_w,a_z\) 匹配，\(a_y,a_x\) 匹配，答案不会更劣。
意思就是说，（1）如果最终有一对匹配 \((a_i,a_j),i<j\)，那么将其定义为 " \(j\) 选择了 \(i\) "，不管被选择的位置（即所有的 \(i\)，同样我们定义 \(j\) 为 "主动选择位" ），剩下的位置一定在某一个分界点分开，前面的部分选择的匹配小于 \(m\)，后面的部分选择的匹配不小于 \(m\) 。
接着证明（2）所有和不小于 \(m\) 的匹配的 "主动选择位" 一定是下标连续的一段后缀：如果存在 \(x<y<z<w\)，其中 \(w\) 选择 \(z\)，\(y\) 选择 \(x\)，\(w,y\) 为满足上述要求的 "主动选择位"，那么将匹配改为：\(w\) 选择 \(x\)，\(y\) 选择 \(z\)，一定不会更劣。
同时我们可以证明（3）这些和不小于 \(m\) 匹配在 "主动选择位" 递增的时候，"被选择位" 一定递减：如果存在 \(x<y<z<w\)，其中 \(w\) 选择 \(y\)，\(z\) 选择 \(x\)，\(w,y\) 为满足上述要求的 "主动选择位"，那么改为 \(w\) 选择 \(x\)，\(z\) 选择 \(y\)，两对数各自的和仍然不小于 \(m\)，答案不会更劣。
此时考虑某一个位置 \(p\)，在 \(p\) 之后的位置是所有和不小于 \(m\) 的匹配的 "主动选择位"，那么（4）这些 "主动选择位" 选择的一定是 \(p\) 之前的一段连续的区间：如果存在 \(x<y<z<w\)，其中 \(w\) 选择 \(x\)，\(z\) 选择 \(y\)，并且前者的和不小于 \(m\)，后者的和小于 \(m\)，那么答案一定不会小于 \(z\)，因此将匹配改为：\(w\) 选择 \(z\)，\(y\) 选择 \(x\)，一定不会更劣。
也就是说将原序列变成长为 \([1,2p-n-2],[2p-n-1,p],[p,n]\) 的三部分，最后一部分是所有和不小于 \(m\) 的匹配的 "主动选择位"，中间部分是后面部分匹配的位置。最前面的部分就不能出现和不小于 \(m\) 的匹配了，每次贪心将最大的和最小的匹配起来即可。
注意到，对于可能被钦定的和不小于 \(m\) 的匹配的 "主动选择位"，如果 \(p\) 太小了和就会小于 \(m\) 导致不合法，一定是在 \(p\) 超过某个值时才合法，而且位置越靠后的 "主动选择位" 对 \(p\) 的要求一定越低。
这意味着，如果从小到大依次考虑 \(p\)，那么一定有某一个时刻，在这个时刻之前不合法，在这个时刻之后合法。
同时注意到，对于合法的两个时刻 \(p=i\) 和 \(p=j\)（其中 \(i<j\)），对于后面的部分，一定是 \(i\) 更优：每个 "主动选择位" 都不会匹配到比 \(j\) 的方案中的结果更大的结果；同样对于前面的部分，一定也是 \(i\) 更优：对于每个 "被选择位" 都不会匹配到比 \(j\) 的方案中的结果更大的结果。
因此只需要找到最小的合法时刻，二分即可，时间复杂度 \(O(n\log n)\) 。
