【题解】AGC036F Square Constraints

注意到相当于给定每个 \(p_i\) 上下界，求合法排列数。

只保留上界或者下界的话是个简单问题，同时考虑上下界不妨往容斥的方向想。假设 \(p_i\) 的限制为 \(p_i\in[L_i,R_i]\) 。不考虑下界的话方案数是 \(\prod \max(0, R_{2n-i}-i+1)\)，这里假装 \(R_i\) 是单调不增的。

钦定一些位置取值在下界下面，然后带容斥系数计算方案数和。现在唯一的问题就是，上述的贡献计算式只适用于 \(R_i\) 单调不增的情况下，而容斥时加入的上界不能保证单调不增。

可以发现关键的性质：\(L_i,R_i\) 都是单调不增的。且对于 \(i\geq n\) 都有 \(L_i=0\)，也就是说 \(i\geq n\) 的部分可以忽视下界，容斥也只需要对 \(i<n\) 的部分进行。此时能注意到，对于 \(i<n\) 都有 \(R_i\geq n\)，而 \(L_i< n\)，这意味着上下界可以直接拆开，在钦定有哪些（多少个） \(i\) 是以 \(L_i-1\) 为上界后，\(R,L\) 可以分开计算贡献。

将 \(i\geq n\) 部分的 \(R\) 和 \(i<n\) 部分的 \(L\) 放在一起 dp 处理即可。令 \(f_k(i,j)\) 表示考虑到了第 \(i\) 个，\(i<n\) 的部分最终有 \(k\) 个 \(L_i-1\) 为上界位置，到目前位置已经选出来 \(j\) 个了的方案数。直接转移即可，时间复杂度 \(O(n^3)\) 。

代码：Submission #25886559 - AtCoder Grand Contest 036

打草稿的时候做的一张图也贴上来吧：