【题解】CF516E Drazil and His Happy Friends

首先可以发现玩的序列 \((a_i,b_i)\)：\(a_i\) 一定是 \(0,1,\cdots,n-1,0,1\) 循环往复，\(b_i\) 一定是 \(0,1,\cdots,m-1,0,1\) 循环往复。考虑令 \(g=\gcd (n,m),n'=\frac{n}{g},m'=\frac{m}{g}\)，将 \([0,n)\) 拆为 \(n'\) 段区间，\([0,m)\) 拆为 \(m'\) 段区间，考虑区间之间的匹配。

注意到因为 \(n'\perp m'\)，所以区间序列的周期的长度为 \(n'm'\)：恰好为不同的区间匹配数，意味着左边的每个区间和右边的每个区间都凑过对。

因为区间是对位传递快乐，所以将男孩女孩以对 \(g\) 取模后的结果作为关键字来分组的话，只有同一组的男孩女孩才能够传递快乐，不同组互相不影响。

此时所有人一共分为了 \(g\) 组，如果一个组内没有最开始就快乐的人，那么这整个组的人都不可能快乐，可以直接判掉情况，剩下的情况必然有 \(g\leq b+g\) 。（可以发现，如果每组里有快乐的人，那么显然有限时间内所有人都会变快乐）。

考虑每一组，可以发现这其实就是原问题的 \(\gcd(n,m)=1\) 的特殊情况。现在要做这个特殊情况，因为男女各有起点不太好办，所以考虑将男女分开求，并且考虑内部传递的规律，这样就能将起点拆开。

注意到一个男生使一个女生 \(i\) 变快乐后，在 \(n\) 轮后这个男生会使女生 \((i+n)\bmod m\) 变快乐，不妨将这个关系看作女生 \(i\) 变快乐后，过了 \(n\) 天后 \((i+n)\bmod m\) 也会变快乐，这个就是快乐在女生内部的传递规律。

考虑证明只保留这样的快乐传递边不会使得答案变劣（因为必然不会是的答案变优）。女生 \(x\bmod m\) 在第 \(x\) 天变快乐是因为男生 \(x\bmod n\)，假设该男生在第 \(tn+(x\bmod n)\) 天传递了自己的第一份快乐，给了女生 \((tn+(x\bmod n))\bmod m\)，同时该男生在第 \(\lfloor\frac{x}{n}\rfloor+(x\bmod n)\) 将快乐传给了女生 \(x\bmod m\)，中间隔了 \((\lfloor\frac{x}{n}\rfloor-t)n\) 天，按照上述"内部传递规律"，女生 \((tn+(x\bmod n))\bmod m\) 的快乐一定会传给女生 \((tn+(x\bmod n)+(\lfloor\frac{x}{n}\rfloor-t)n)\bmod m\)，恰好是女生 \(x\bmod m\)，这说明答案不会变劣，由这个男生继续传下去和由女生内部关系传递是等价的。

接下来只需要保留女生内部的连边，以及考虑最开始就快乐的男生和女生的影响：

• 连边权为 \(n\) 的边 \(i\rightarrow (i+n)\bmod m\)，表示女生内部的连边。
• 对于最开始就快乐的男生 \(t\)，连边权为 \(t\) 的边 \(S\rightarrow t\bmod m\) 。
• 对于最开始就快乐的女生 \(t\)，连边权为 \(t\) 的边 \(S\rightarrow t\) 。

然后从 \(S\) 跑最短路求解即可，求答案的时候不需要考虑最开始就快乐的女生（因为其连边指的是"什么时候加入循环"）。

图的规模不能接受。考虑这个图的特殊性：中间一个包含 \(m\) 个点的大环，从 \(S\) 向环上的点连了一些边。这样只需要找到大环的节点变化规律，然后将和 \(S\) 有连边的点拿出来做即可。

代码：Submission #127698965 - Codeforces

最前面的基本转化不难，本题主要的难点在于最后的部分：将问题分成两半，然后找出男生女生内部的传递规律，从而省掉大部分特殊情况，最后缩点最短路。

还有就是这种题的代码为啥不会写啊，好丢人，贺了粉兔的代码（）