【题解】AGC038E Gachapon

令 \(t_i\) 表示 \(i\) 生成第 \(B_i\) 次的时间，注意到答案为 \(E(\max (\{t_0,t_1\cdots,t_{n-1}\}))\)，min-max 容斥：

\[E(\max (\{t_0,t_1\cdots,t_{n-1}\}))=\sum_{T\subseteq \{t_0,t_1,\cdots,t_{n-1}\},T\not=\emptyset}(-1)^{|T|-1}E(\min(T)) \]

现在的问题变成了求 \(E(\min (T))\)，令 \(T\) 对应的下标集合为 \(S\)，那么要求的就是 \(S\) 中最早在什么时候有数满足要求（生成了 \(B_i\) 次）。

同时注意到选出来一个 \(S\) 中的概率为 \(\frac{\sum_{i\in S}A_i}{\sum_{i=0}^{n-1}A_i}\)，那么期望花费 \(\frac{\sum_{i=0}^{n-1}A_i}{\sum_{i\in S}A_i}\) 就可以选出一个 \(S\) 中的数，所以只需要考虑仅由 \(S\) 中的元素组成的序列 \(P\)，最早在什么时候有数满足要求（生成了 \(B_i\) 次）。

考虑令 \(0\leq x_i<B_i\)，由 \(x_i\) 组成的状态，继续生成数相当于将某个 \(x_i\) 加一，最终一定到达一个终止状态。由于要求的是期望时间，所以对于当前状态，对答案的贡献就是其出现的概率，这样子就只需要求所有状态的出现概率和了（还需要考虑终止状态带来的固定 \(1\) 的贡献，不过等价地将 \(\forall i,x_i=0\) 也看做一个时刻就没问题了）。

那么一个状态出现的概率（贡献）为：

\[\frac{\left(\sum_{i\in S} x_i\right)!}{\left(\sum\limits_{i\in S}A_i\right)^{\sum_{i\in S} x_i}}\prod_{i\in S}\frac{A_i^{x_i}}{x_i!} \]

当然还需要乘上 min-max 容斥系数以及 \(\frac{\sum_{i=0}^{n-1}A_i}{\sum_{i\in S}A_i}\) 。注意到这个只和 \(\sum x_i,\sum A_i\) 以及 \(|S|\) 的奇偶性有关，不妨设 \(f(i,sa,sx)\) 表示选到整数 \(i\)，\(\sum A_i=sa,\sum x_i=sx\) 时的贡献和（min-max 容斥系数转移时考虑）。

时间复杂度 \(O(n^3)\) 。

代码：Submission #25500075 - AtCoder Grand Contest 038 。

把期望（时间，步数 ...）拆成每个（时间，步数 ...）的概率和是常见套路。