【题解】CF1392H ZS Shuffles Cards
令 \(I=\{1,2,\cdots,n\}\)，那么每一轮相当于会选出来 \(S\subseteq T\)，当所有 \(S\) 的并集为 \(I\) 时游戏结束。
令 \(p_S\) 表示一轮游戏最后选出来 \(S\) 所需的期望进行时间，不难发现这个值只和 \(|S|\) 有关，令 \(p'_t\) 表示一轮游戏最后选出来 \(t\) 个数所需的概率。
很容易求出 \(p'_t=\frac{m}{n-t+m}\prod\limits_{i=1}^{t}\frac{n-i+1}{n-i+1+m}\)，后面的式子只需要将分子分母拆开，上下都是连续整数的乘积，很容易预处理。
接下来就是处理最开始的问题了。定义 \(t_i\) 表示 \(i\) 第一次处于某轮的 \(S\) 中，那一轮 \(S\) 结束时的时间，注意到答案即为 \(E(\max(\{t_1,t_2\cdots,t_n\}))\)，考虑 min-max 容斥：
\(E(\min(T))\) 的值只和 \(|T|\) 有关，令 \(f_i\) 表示 \(E(\min(T)),|T|=i\)，同时令\(G_i(x)=\sum\limits_{j=0}^{i}{i\choose j}p'_jx^{j+1}\) 表示一轮游戏的期望进行时间的多项式，可以得到：一个绕弯子的错误做法。（后面就是一堆什么 \(\sum\limits_{k\geq 0}(G^k)'\) 啥的，十分不可做的感觉）。
令 \(A\) 表示一轮游戏的期望进行时间，\(t_i\) 表示 \(i\) 是第几轮被选中的，那么答案就是 \(A\times E(\max (\{t_1,t_2,\cdots,t_n\}))\)，即 "一轮游戏的期望进行时间" 乘上 "游戏期望进行轮数" 。
仍然像上面一样考虑 min-max 容斥 😅：
这个做法就比上一个做法好做了，这是因为上一个做法没有利用轮与轮的期望时间之间互不影响，每一轮的期望时间相等的性质。
\(E(\min(T))\) 的值只和 \(|T|\) 有关，令 \(f_i\) 表示 \(E(\min(T)),|T|=i\) 。注意到此时对游戏有用的牌只有 \(i+m\) 张，如果以 \(\frac{i}{m+i}\) 的概率抽到了 \(i\) 张牌中的牌那么游戏结束，否则游戏轮数加一。因为游戏结束的概率为 \(\frac{i}{m+i}\)，所以期望轮数为 \(\frac{m+i}{i}\)，即 \(f_i=\frac{m+i}{i}\) 。
求 \(A\) 就很简单了，跟上面的 \(p_t'\) 的形式差不多。
