动态规划篇——背包问题
动态规划篇——背包问题
本次我们介绍动态规划篇的背包问题，我们会从下面几个角度来介绍：
- 背包问题概述
- 零一背包问题
- 完全背包问题
- 多重背包问题
- 分组背包问题
背包问题概述
背包问题算是很经典的动态规划问题，我们在面试中也经常出现
首先我们给出动态规划的思想：
然后我们简单介绍一下背包问题：
/*背包问题*/
有 N 件物品和一个容量是 V 的背包。
第 i 件物品的体积是 vi，价值是 wi。
求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大，输出最大价值。
/*输入格式*/
第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。
接下来有 N 行，每行两个整数 vi,wi，用空格隔开，分别表示第 i 件物品的体积和价值。
/*输出格式*/
输出一个整数，表示最大价值。
最后我们介绍我们下列将要讲述了背包问题的前提：
/*01背包问题*/
每件物品只能使用一次
/*完全背包问题*/
每件物品无次数限制使用
/*多重背包问题*/
每件物品有不同的使用次数
/*分组背包问题*/
每组物品有若干个，同一组内的物品最多只能选一个
零一背包问题
我们首先介绍一下01背包规则：
/*背包问题*/
有 N 件物品和一个容量是 V 的背包。
第 i 件物品的体积是 vi，价值是 wi。
求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大，输出最大价值。
/*输入格式*/
第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。
接下来有 N 行，每行两个整数 vi,wi，用空格隔开，分别表示第 i 件物品的体积和价值。
/*输出格式*/
输出一个整数，表示最大价值。
/*限制条件*/
每件物品只能使用一次
然后我们对其进行分析：
/*内容分析*/
首先我们有 N 件物品，总容量为 V
如果我们想要求得最大 W 的情况，我们就需要计算所有的 N 和 V 情况
/*暴力求解方法分析*/
我们这里首先采用最暴力的方法（二维）：
我们采用f[i][j]来表示前i件物品中进行选择，其体积不超过j，储存值为W最优解
我们会发现，f[i][j]无非就两种情况：
在i比前一位增加一位后，如果我们当前的i没有包含最后一位，那么一切都和上一位i的结果相同（f[i][j] = f[i-1][j]）
那么我们就只需要判断是否需要加上第i位，且前提是j >= v[i]（f[i][j] = max(f[i][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i])）
/*优化方法分析*/
下面我们介绍的优化方法来自于滚动数组：
滚动数组是指当我们只需要两行数据时，我们可以抛出二维的概念，采用层级差来覆盖掉之前的数据信息，从而转换为一维
我们对上述暴力求解进行分析：
我们会发现其实我们所采用的无非只有两行：f[i]和f[i-1]
那么我们只需要将f[i]所使用的f[i-1]的信息在使用前保留下来，我们就可以将其简化为一行,也就是一维
我们给出实际代码以及代码中的解析：
/*暴力求解方法*/
import java.util.Scanner;
public class Packsack01 {
final static int N = 1010;
static int n,m;
// 存放f[][],v[],w[]
static int[][] f = new int[N][N];
static int[] v = new int[N];
static int[] w = new int[N];
public static void main(String[] args) {
Scanner scanner = new Scanner(System.in);
n = scanner.nextInt();
m = scanner.nextInt();
// 首先我们应该初始化f[][]，但是由于需要初始化为0，数组默认为0，所以我们不需要书写
// 然后我们放入v，w
for (int i = 1; i <= n; i++) {
v[i] = scanner.nextInt();
w[i] = scanner.nextInt();
}
// 然后我们就可以逐层更新(第0层为前0个物品，肯定都是0，不用更新)
for (int i = 1; i <= n; i++) {
// 我们对前i个物品的体积v也进行递增
for (int j = 0; j <= m; j++) {
// 如果我们不加入最后一个数，那么当前i层的值和i-1层的值相同
f[i][j] = f[i-1][j];
// 注意：由于加入第i个数不一定是最优解，所以我们需要进行w权重比较
// 我们比较的数据分别是上一层的不加i的w
// 注意这里由于上面f[i][j] = f[i-1][j]，所以下面的f[i][j]实际上是上一层的f[i-1][j]
// 以及我们该层加上i之后的w，我们加上i之后v就需要去掉v[i]
// 同时我们选取前i-1个数的v为j-[v[i]]的w最优解加上w[i]来进行比较
if (j >= v[i]) f[i][j] = Math.max(f[i][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i]);
}
}
// 最后输出即可
System.out.println(f[n][m]);
}
}
/*优化求解方法*/
import java.util.Scanner;
public class Packsack01 {
final static int N = 1010;
static int n,m;
// 存放f[],v[],w[]
static int[] f = new int[N];
static int[] v = new int[N];
static int[] w = new int[N];
// 建议和暴力求解对比观看
public static void main(String[] args) {
Scanner scanner = new Scanner(System.in);
n = scanner.nextInt();
m = scanner.nextInt();
// 首先我们应该初始化f[]，但f[0]最开始都是0，就不需要初始化了
// 然后我们放入v，w
for (int i = 1; i <= n; i++) {
v[i] = scanner.nextInt();
w[i] = scanner.nextInt();
}
// 然后我们就可以逐层更新
for (int i = 1; i <= n; i++) {
// 我们对前i个物品的体积v也进行递增
// 注意：由于下面判断条件需要保证j>=v[i]，所以我们这里可以直接从v[i]开始，毕竟前面的条件都不满足
// 注意：我们这里需要倒叙书写， 因为我们下面要使用f[i-1][j-v[i]]这里的i-1就是上一层，我们需要注意我们不能覆盖掉这一层！！！
for (int j = m; j >= v[i]; j--) {
// 这里简化i之后，为f[j] = f[j]，恒等式，我们就直接省略了
// 注意：由于加入第i个数不一定是最优解，所以我们需要进行w权重比较
// 我们比较的数据分别是上一个不加i的w
// 以及我们该层加上i之后的w，我们加上i之后v就需要去掉v[i]
// 同时我们选取前i-1个数的v为j-[v[i]]的最优解来进行比较，记得加上w[i]
// 这里我们需要注意，我们后面比较的值是上一层的f
// 所以我们前面的for循环的方向需要转换一下，防止上一层的数据被覆盖掉
f[j] = Math.max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
}
}
// 最后输出即可
System.out.println(f[m]);
}
}
完全背包问题
我们首先介绍一下完全背包规则：
/*背包问题*/
有 N 件物品和一个容量是 V 的背包。
第 i 件物品的体积是 vi，价值是 wi。
求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大，输出最大价值。
/*输入格式*/
第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。
接下来有 N 行，每行两个整数 vi,wi，用空格隔开，分别表示第 i 件物品的体积和价值。
/*输出格式*/
输出一个整数，表示最大价值。
/*限制条件*/
每件物品没有使用次数限制
然后我们对其进行分析：
/*内容分析*/
首先我们有 N 件物品，总容量为 V
如果我们想要求得最大 W 的情况，我们就需要计算所有的 N 和 V 情况
/*暴力求解方法分析*/
我们首先介绍暴力求解方法：
我们其实所有步骤和01背包的步骤相似，但不同的是对于第i个物品的数量的大小的决定
我们在不能承载第i个物品前：f[i][j] = f[i-1][j]
在我们能承载第i个物品后：f[i][j] = Math.max(f[i-1][j],f[i-1][j - k*v[i]] + k * w[i])
所以我们只需要在01背包基础上加上一个fork循环来控制第i个物品的数量保证最优解即可
/*优化方法1分析*/
我们在上述暴力求解中直接采用了fork循环，这时我们的时间复杂度在 O(n^3)，所以我们想要减少时间复杂度
我们可以发现，我们上述承载第i个物品后：f[i][j] = Math.max(f[i-1][j],f[i-1][j - k*v[i]] + k * w[i])
那么相当于：f[i][j] = Math.max(f[i-1][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i]，f[i-1][j-2*v[i]]+2*w[i],...)
相当于我们直接在上一个f[i][j]的基础上判断是否能够添加i物品，也就是：f[i][j] = Math.max(f[i][j],f[i][j-v[i]]+w[i])
/*优化方法2分析*/
最后一重优化其实就是01背包的优化，我们转化为滚动数组即可
下面我们介绍的优化方法来自于滚动数组：
滚动数组是指当我们只需要两行数据时，我们可以抛出二维的概念，采用层级差来覆盖掉之前的数据信息，从而转换为一维
我们对上述暴力求解进行分析：
我们会发现其实我们所采用的无非只有两行：f[i]和f[i-1]
那么我们只需要将f[i]所使用的f[i-1]的信息在使用前保留下来，我们就可以将其简化为一行,也就是一维
我们给出实际代码以及代码中的解析：
/*暴力求解算法*/
import java.util.Scanner;
public class PacksackFull {
final static int N = 1010;
static int n,m;
static int[][] f = new int[N][N];
static int[] v = new int[N];
static int[] w = new int[N];
public static void main(String[] args) {
Scanner scanner = new Scanner(System.in);
n = scanner.nextInt();
m = scanner.nextInt();
for (int i = 1; i <= n; i++) {
v[i] = scanner.nextInt();
w[i] = scanner.nextInt();
}
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 0; j <= m; j++) {
// 重点在这里！！！
// 我们之前的f[i][j] = f[i-1][j]也融入到下面的max判断里去了
// 我们由于需要判断第i个物品的数量，我们需要从0开始，判断应该增加几个i物品
for (int k = 0; k * v[i] <= j; k++) {
f[i][j] = Math.max(f[i][j],f[i-1][j-v[i]*k]+w[i]*k);
}
}
}
System.out.println(f[n][m]);
}
}
/*优化算法1*/
import java.util.Scanner;
public class PacksackFull {
final static int N = 1010;
static int n,m;
static int[][] f = new int[N][N];
static int[] v = new int[N];
static int[] w = new int[N];
public static void main(String[] args) {
Scanner scanner = new Scanner(System.in);
n = scanner.nextInt();
m = scanner.nextInt();
for (int i = 1; i <= n; i++) {
v[i] = scanner.nextInt();
w[i] = scanner.nextInt();
}
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 0; j <= m; j++) {
// 我们为了减少一层循环，我们直接将f[i][j]与前面的f[i][j]比较即可
// 注意：记得先给当前f[i][j]赋值
f[i][j] = f[i-1][j];
// 然后我们才能进行比较，我们将f[i-1][j]与f[i]层的比较（记得判断是否可以加v[i]！）
if(j >= v[i]) f[i][j] = Math.max(f[i][j],f[i][j-v[i]]+w[i]);
}
}
System.out.println(f[n][m]);
}
}
/*优化算法2*/
import java.util.Scanner;
public class PacksackFull {
final static int N = 1010;
static int n,m;
static int[] f = new int[N];
static int[] v = new int[N];
static int[] w = new int[N];
public static void main(String[] args) {
Scanner scanner = new Scanner(System.in);
n = scanner.nextInt();
m = scanner.nextInt();
for (int i = 1; i <= n; i++) {
v[i] = scanner.nextInt();
w[i] = scanner.nextInt();
}
for (int i = 1; i <= n; i++) {
// 注意：由于这次我们使用的是第i层的数据，所以我们需要从前往后遍历提前更新第i层数据，防止使用第i-1层数据
for (int j = v[i]; j <= m; j++) {
if(j >= v[i]) f[j] = Math.max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
}
}
System.out.println(f[m]);
}
}
多重背包问题
我们首先介绍一下多重背包规则：
/*背包问题*/
有 N 件物品和一个容量是 V 的背包。
第 i 种物品最多有 si 件，每件体积是 vi，价值是 wi。
求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大，输出最大价值。
/*输入格式*/
第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。
接下来有 N 行，每行三个整数 vi,wi,si，用空格隔开，分别表示第 i 种物品的体积、价值和数量。
/*输出格式*/
输出一个整数，表示最大价值。
/*限制条件*/
每个物品有一定的使用次数限制
然后我们对其进行分析：
/*内容分析*/
首先我们有 N 件物品，总容量为 V
如果我们想要求得最大 W 的情况，我们就需要计算所有的 N 和 V 情况
/*暴力求解方法分析*/
其实暴力求解方法和完全背包问题暴力求解方法完全相同
只不过是在k的限制条件上多加了一个k < s[i]的限制而已
/*优化方法分析*/
我们需要注意多重背包优化由于有数量限制的原因，无法使用完全背包优化！
我们因为多重背包有数量限制，当数量较少时，我们采用暴力求解是没有问题的，但是当s数量过多，高达一两千就会导致问题
我们的优化思路是
通过将该物品打包分类为多个新的物品，重新定义这些物品的v和w，s固定为1
我们选择2的n次幂来打包物品，因为2的n次幂相加可以组成2的n+1次幂内的所有数！
我们给出实际代码以及代码中的解析：
/*暴力求解算法*/
import java.util.Scanner;
public class PacksackNumber {
final static int N = 1010;
static int n,m;
// 多添加一个s数组存放个数
static int[][] f = new int[N][N];
static int[] v = new int[N];
static int[] w = new int[N];
static int[] s = new int[N];
public static void main(String[] args) {
Scanner scanner = new Scanner(System.in);
n = scanner.nextInt();
m = scanner.nextInt();
for (int i = 1; i <= n; i++) {
v[i] = scanner.nextInt();
w[i] = scanner.nextInt();
s[i] = scanner.nextInt();
}
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 0; j <= m; j++) {
// 重点在这里！！！
// 我们只需要多一个条件 k <= s[i]即可
for (int k = 0; k <= s[i] && k * v[i] <= j; k++) {
f[i][j] = Math.max(f[i][j],f[i-1][j-v[i]*k]+w[i]*k);
}
}
}
System.out.println(f[n][m]);
}
}
/*优化算法*/
import java.util.Scanner;
public class PacksackNumber {
// 因为是二进制，一个数最多就是2的12次方就会超过题目给的2000，所以给个将限制范围1000*12
final static int N = 12000;
static int n,m;
// 这里的f采用一维即可，因为最后我们会转变为01问题，可以采用滚动数组优化
static int[] f = new int[N];
// 我们这里只需要记录v，w即可，因为我们会根据输入的数据重新更新v，w，不再存在s的概念
static int[] v = new int[N];
static int[] w = new int[N];
public static void main(String[] args) {
Scanner scanner = new Scanner(System.in);
n = scanner.nextInt();
m = scanner.nextInt();
// 表示定义到第几个数据
int cnt = 0;
// 我们根据输入的数据重新定义v，w
for (int i = 1; i <= n; i++) {
// a是v，b是w，s是数量
int a = scanner.nextInt();
int b = scanner.nextInt();
int s = scanner.nextInt();
// 我们根据2的k次幂来划分s，重新分成物品
int k = 1;// 相当于2的0次幂
// 一直更新到无法存放k
while ( k <= s){
// 更新数据位置
cnt++;
// 将数据存入
v[cnt] = a * k;
w[cnt] = b * k;
// 数量减去已存放的k，并且k翻倍（2次幂）
s -= k;
k *= 2;
}
// 判断是否有剩余元素
if (s > 0){
// 若存放剩余元素，我们还需要存放
cnt ++;
v[cnt] = a * s;
w[cnt] = b * s;
}
}
// 我们目前拥有cnt个新物品（被我们分解的）
n = cnt;
// 我们对新物品进行装载即可（01背包）
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = m; j >= v[i] ; j--) {
f[j] = Math.max(f[j],f[j - v[i]] + w[i]);
}
}
System.out.println(f[m]);
}
}
分组背包问题
我们首先介绍一下分组背包规则：
/*背包问题*/
有 N 组物品和一个容量是 V 的背包。
每件物品的体积是 vij，价值是 wij，其中 i 是组号，j 是组内编号。
求解将哪些物品装入背包，可使物品总体积不超过背包容量，且总价值最大,输出最大价值。
/*输入格式*/
第一行有两个整数 N，V，用空格隔开，分别表示物品组数和背包容量。
接下来有 N 组数据：
每组数据第一行有一个整数 Si，表示第 i 个物品组的物品数量；
每组数据接下来有 Si 行，每行有两个整数 vij,wij，用空格隔开，分别表示第 i 个物品组的第 j 个物品的体积和价值；
/*输出格式*/
输出一个整数，表示最大价值。
/*限制条件*/
每组物品有若干个，同一组内的物品最多只能选一个。
然后我们对其进行分析：
/*内容分析*/
首先我们有 N 组物品，总容量为 V
如果我们想要求得最大 W 的情况，我们就需要计算所有的 N组物品中每种物品使用 和 V 情况
/*求解方法分析*/
我们同样采用一层迭代一层的原则，但由于每组商品只能选择一次，所以我们在f[i][j]的情况下，需要与第i组的所有物品交互判断一次
同样我们由于f[i]只利用f[i-1]层原理，我们可以采用滚动数组的原理来将二维数组变为一维数组
我们给出实际代码以及代码中的解析：
/*已优化算法*/
import java.util.Scanner;
public class Packsack01 {
final static int N = 110;
static int n,m;
// 这里的f采用一维即可
static int[] f = new int[N];
// 我们这里使用了分组概念，需要二维数组记录信息
static int[][] v = new int[N][N];
static int[][] w = new int[N][N];
// s这里记录该组的个数
static int[] s = new int[N];
public static void main(String[] args) {
Scanner scanner = new Scanner(System.in);
n = scanner.nextInt();
m = scanner.nextInt();
// 对分组输入数据
for (int i = 1; i <= n; i++) {
// 记录该组数量
s[i] = scanner.nextInt();
for (int j = 1; j <= s[i]; j++) {
// 记录v，w
v[i][j] = scanner.nextInt();
w[i][j] = scanner.nextInt();
}
}
// 开始遍历即可
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = m; j >= 0; j--) {
for (int k = 0;k <= s[i]; k++) {
if (v[i][k] <= j){
f[j] = Math.max(f[j],f[j - v[i][k]] + w[i][k]);
}
}
}
}
System.out.println(f[m]);
}
}
结束语
好的，关于动态规划篇的背包问题就介绍到这里，希望能为你带来帮助~
