搜索与图论篇——图的最短路
搜索与图论篇——图的最短路
本次我们介绍搜索与图论篇中的图的最短路，我们会从下面几个角度来介绍：
- Dijkstra简介
- Dijkstra代码
- Dijkstra优化
- Floyd简介
- Floyd代码
- Kruskal简介
- Kruskal代码
Dijkstra简介
我们首先来介绍第一种求图的最短路的基本算法：
/*算法前述*/
// 该算法属于较为复杂图的最短路算法,适用于求解一点到该图所有点之间的距离
// 只能用来求解边权为正数的情况，默认复杂度为O(n^2),但是后期如果采用队列优化复杂度为O(mlogn)
/*算法概述*/
前置条件：
我们需要n个数，m条边
采用dis记录每个数到原始节点的距离
采用mdis记录每条边两点之间的距离值
采用ispassed记录该点是否已经被使用过
该算法主要分为三步：
1.初始化信息：dis均设置正无穷，将dis[0]=0,初始化mdis（手动输入）
2.从初始值开始更新dis数据，如果存在mdis与该点有关就进行更新，最后我们选出当前未经过点的最短点，加入ispassed并用它进行下一次遍历
3.循环上步操作直到mdis全部使用
/*更新判断条件*/
dis更新条件：t是当前最短点，x是根据t更新的点，w是两点距离
dis[x] ? dis[t] + w;
最短点更新条件：
forn时，提前设置一个t=-1，并不断判断，如果t==-1 || dis[t] > dis[x],就将t=x;
Dijkstra代码
我们首先给出Dijkstra的基本代码：
/*代码说明*/
这里我们采用双for的形式进行全部点的遍历，并在每次遍历中进行全部点数据的更新，复杂度为O(n^2)
/*代码展示*/
import java.util.Scanner;
public class Main {
final static int INF = 510;
// 准备条件
static int n,m;
static int[] dis = new int[INF];
static int[][] mdis = new int[INF][INF];
static boolean[] ispassed = new boolean[INF];
public static void main(String[] args) {
Scanner scanner = new Scanner(System.in);
n = scanner.nextInt();
m = scanner.nextInt();
// 数值初始化
for (int i = 1; i <= n; i++) {
dis[i] = INF;
}
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 1; j <= n; j++) {
if (i == j){
mdis[i][j] = 0;
}else {
mdis[i][j] = INF;
}
}
}
// 初始化(所有边权均为正值)
for (int i=0;i<m;i++){
// a,b为边，c为权重
int a = scanner.nextInt();
int b = scanner.nextInt();
int c = scanner.nextInt();
// 注意：图中可能存在自环,重边
mdis[a][b] = Math.min(mdis[a][b],c);
}
// 进行Dijkstra算法
int dijkstraN = dijkstra();
System.out.println(dijkstraN);
}
public static int dijkstra(){
// 首先第一个值距离改为0
dis[1] = 0;
// 开始查找最小值，并开始遍历
for (int i=0;i < n;i++){
// t为当前最小值点，并以此更新dis数据
int t = -1;
for (int j = 1; j <= n; j++) {
// 这个点没有经过，且距离最短（或者尚未初始化t时）
if (!ispassed[j] && (t == -1 || dis[t] > dis[j])){
t = j;
}
}
// 设为经过点
ispassed[t] = true;
// 得到最短点，并借此更新dis
for (int k = 1; k <= n; k++) {
dis[k] = Math.min(dis[t] + mdis[t][k],dis[k]);
}
}
// 最后判断n是否更新成功，若更新成功返回n的dis
if (dis[n] == INF) return -1;
return dis[n];
}
}
Dijkstra优化
我们再给出优化方法：
import java.util.PriorityQueue;
import java.util.Scanner;
public class Main {
final static int N = 510;
// 我们这次采用队列和邻接表的形式减少一次for循环
static int n,m,idx;
static int [] h = new int[N],e = new int[N],ne = new int[N],w = new int[N];
static int [] dis = new int[N];
static boolean[] ispassed = new boolean[N];
public static void main(String[] args) {
Scanner scanner = new Scanner(System.in);
n = scanner.nextInt();
m = scanner.nextInt();
// 初始化
for (int i = 1; i <= n; i++) {
h[i] = -1;
}
for (int i = 1; i <= n; i++) {
dis[i] = N;
}
while (m -- > 0){
int a = scanner.nextInt();
int b = scanner.nextInt();
int c = scanner.nextInt();
// 我们采用链表的形式
add(a,b,c);
}
int res = dijkstra();
System.out.println(res);
}
// 链表方法
public static void add(int a,int b,int c){
e[idx] = b;
w[idx] = c;
ne[idx] = h[a];
h[a] = idx++;
}
private static int dijkstra() {
// 采用优先队列的形式
PriorityQueue<PIIs> queue = new PriorityQueue<PIIs>();
dis[1] = 0;
// 将第一个值加入队列
queue.add(new PIIs(0,1));
// 不为空执行
while (!queue.isEmpty()){
// 找到第一个为经过点抛出
PIIs p = queue.poll();
int distance = p.getFirst();
int t = p.getSecond();
if(ispassed[t]) continue;
// 根据该点更新数据，并将最小值加入queue
ispassed[t] = true;
for(int i = h[t];i != -1;i = ne[i])
{
int j = e[i];// i只是个下标，e中在存的是i这个下标对应的点和值。
if(dis[j] > distance + w[i])
{
dis[j] = distance + w[i];
queue.add(new PIIs(dis[j],j));
}
}
}
// 输出结果
if(dis[n] == N) return -1;
return dis[n];
}
}
// 我们需要一个class类放于queue队列中
class PIIs implements Comparable<PIIs>{
private int first;//距离值
private int second;//点编号
public int getFirst()
{
return this.first;
}
public int getSecond()
{
return this.second;
}
public PIIs(int first,int second)
{
this.first = first;
this.second = second;
}
@Override
public int compareTo(PIIs o) {
// TODO 自动生成的方法存根
return Integer.compare(first, o.first);
}
}
Floyd简介
我们来介绍第二种求图的最短路的算法：
/*算法前述*/
// 该算法属于最基础的图的最短路算法,适用于求解当前图中所有点到所有点之间的距离
// 该算法可以用于求解负权边，但是无法求解负权回路问题
/*算法概述*/
该算法就是采用最暴力的形式，来源于动态规划
我们直接对每个点k，将k作为中间点，对该图中所有点a和所有点b做一个借助k缩短路径的尝试，若尝试成功修改dis，若失败跳过
我们给出核心算法：
for(int k = 1;k <= n;k++){
for(int i = 1;i <= n;i++){
for(int j = 1;j <= n;j++){
dis[i][j] = Math.min(dis[i][j],dis[i][k] + dis[k][j]);
}
}
}
/*更新判断条件*/
dis[i][j] = Math.min(dis[i][j],dis[i][k] + dis[k][j]);
Floyd代码
我们给出Floyd算法的基本代码：
import java.util.Scanner;
public class Floyd {
final static int N = 210;
final static int MAX = 0x3f3f3f3f;
// 我们只需要一个mdis装载之间的距离即可
static int n,m,k;
static int[][] mdis = new int[N][N];
public static void main(String[] args) {
Scanner scanner = new Scanner(System.in);
n = scanner.nextInt();
m = scanner.nextInt();
k = scanner.nextInt();
// 初始化
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 1; j <= n; j++) {
if (i==j){
mdis[i][j] = 0;
}else {
mdis[i][j] = MAX;
}
}
}
// 输入值
while(m -- > 0 ){
int a = scanner.nextInt();
int b = scanner.nextInt();
int c = scanner.nextInt();
//这里可能存在重边，取最小的边
mdis[a][b] = Math.min(mdis[a][b],c);
}
// Floyd算法
floyd();
// 给出询问点距离
while(k -- > 0){
int x = scanner.nextInt();
int y = scanner.nextInt();
int dis = mdis[x][y];
// 这里可能最后到不了目标点，但是可能路径上面存在负权边，然后将目标点更新了，所以不是到底== INF
if(dis > MAX / 2) System.out.println("impossible");
else System.out.println(dis);
}
}
// floyd算法
private static void floyd() {
// 直接三层循环即可
for (int k = 1; k <= n; k++) {
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 1; j <= n; j++) {
mdis[i][j] = Math.min(mdis[i][j],mdis[i][k] + mdis[k][j]);
}
}
}
}
}
Kruskal简介
这里我们介绍一种在图中求最小生成数的算法：
/*算法前述*/
// 该算法帮助我们在图中求最小生成树
/*算法概述*/
该算法需要用到两个前置知识点：快速排序和并查集
快速排序我们可以采用Java函数来替代，并查集大家可以移步其他文章先行观看，下面我也会简单介绍并查集
我们的算法主要分为两步：
1.将所有边按照权重大小排序（因为我们需要获得最小生成树=我们的最后树的权重需要是最小的，所以我们从最小权重的边开始进行连接）
2.我们从小到大枚举每条边，如果该边的两点没有连接（并查集知识），我们就将他们连接起来，如果已连接我们继续下一条边
/*并查集简述*/
我们在这儿仅介绍一下并查集思想
我们对每个数据都采用一个数字代替
例如我们采用p[i] = i，让每个点都指向自己本身
当我们需要将两个点连接起来时，我们只需要让a点的i变成b点的i即可（注意：所有使用a点的i都需要更换为b点的i）
我们在进行两点相连判断时，只需要找到对应的p[i]查看是否相等即可！
Kruskal代码
我们给出Floyd算法的基本代码：
import java.util.Arrays;
import java.util.Scanner;
public class Kruskal {
final static int N = 10010;
// 边集合和并查集集合
static int n,m;
static Edgs[] edgs = new Edgs[N];
static int[] p = new int[N];
public static void main(String[] args) {
Scanner scanner = new Scanner(System.in);
n = scanner.nextInt();
m = scanner.nextInt();
// 初始化
for (int i = 1; i <= n; i++) {
p[i] = i;
}
// 边赋值
for (int i = 1; i <= m; i++) {
int a = scanner.nextInt();
int b = scanner.nextInt();
int w = scanner.nextInt();
edgs[i] = new Edgs(a,b,w);
}
// kruskal操作
kruskal();
}
private static void kruskal() {
// 将结构体中的权重数据从小到大排序好
Arrays.sort(edgs,1,m+1);
// 权重之和
int res = 0;
// 边数
int cnt = 0;
// 枚举所有边
for (int i = 1; i <= m; i++) {
// 将该边抽取出来
Edgs edg = edgs[i];
int a = edg.a;
int b = edg.b;
int w = edg.w;
// 区块判断
a = find(a);
b = find(b);
// 判断该边两侧点是否属于同一区块
if (a != b){
// 不属于同一区块，需要更该区块，权重之和相加，cnt++
p[a] = b;
res += w;
cnt++;
}
}
//因为有n个点，所以有n-1条边，所以如果小于n-1就是存在不连通的边，所以输出impossible，否则输出权重之和res
if(cnt < n - 1) System.out.println("impossible");
else System.out.println(res);
}
//并查集模板，所有的集合在过程中全部指向根节点
public static int find(int x){
if(p[x] != x) p[x] = find(p[x]);
return p[x];
}
}
// 采用class表示边
class Edgs implements Comparable<Edgs>{
int a,b,w;
public Edgs(int a,int b,int w){
this.a = a;
this.b = b;
this.w = w;
}
public int compareTo(Edgs o){
return Integer.compare(w,o.w);
}
}
结束语
好的，关于搜索与图论篇的图的最短路就介绍到这里，希望能为你带来帮助~
