向量与矩阵的范数及其在matlab中的用法(norm)

一、常数向量范数

• $L_0$ 范数

$\Vert x{\Vert }_0\stackrel{def}{=}$向量中非零元素的个数

其在matlab中的用法：

sum( x(:) ~= 0 )

• $L_1$ 范数

$\Vert x{\Vert }_1\stackrel{def}{=}\sum _{i=1}^m|x_i|=|x_1|+\cdots +|x_m|$，即向量元素绝对值之和

其在matlab中的用法：

norm(x, 1)

• $L_2$ 范数

$\Vert x{\Vert }_2={({|x_1|}^2+\cdots +{|x_m|}^2)}^{1/2}$，即向量元素绝对值的平方和后开方

其在matlab中的用法：

norm(x, 2)

• $L_{\mathrm{\infty }}$ 范数
• 极大无穷范数

$\Vert x{\Vert }_{\mathrm{\infty }}=max\{|x_1|,\cdots ,|x_m|\}$，即所有向量元素绝对值中的最大值

其在matlab中的用法：

norm(x, inf)

• 极小无穷范数

$\Vert x{\Vert }_{\mathrm{\infty }}=min\{|x_1|,\cdots ,|x_m|\}$，即所有向量元素绝对值中的最小值

其在matlab中的用法：

norm(x, -inf)

二、矩阵范数

诱导范数和元素形式范数是矩阵范数的两种主要类型。

1. 诱导范数

• $L_1$ 范数（列和范数）

$\Vert A{\Vert }_1=\underset{1⩽j⩽n}{max}\sum _{i=1}^m\{|a_{ij}|\}$，即所有矩阵列向量绝对值之和的最大值

其在matlab中的用法：

norm(A,1)

• $L_2$ 范数

$\Vert A{\Vert }_2=\sqrt{{\lambda }_i}$，其中 ${\lambda }_i$ 为 $A^{T}A$ 的最大特征值。

其在matlab中的用法：

norm(A,2)

• $L_{\mathrm{\infty }}$ 范数（行和范数）

$\Vert A{\Vert }_{\mathrm{\infty }}=\underset{1⩽i⩽m}{max}\sum _{j=1}^n\{|a_{ij}|\}$，即所有矩阵行向量绝对值之和的最大值

其在matlab中的用法：

norm(A,inf)

2. "元素形式"范数

• $L_0$ 范数

$\Vert A{\Vert }_0\stackrel{def}{=}\mathrm{矩}\mathrm{阵}\mathrm{的}\mathrm{非}\mathrm{零}\mathrm{元}\mathrm{素}\mathrm{的}\mathrm{个}\mathrm{数}$

其在matlab中的用法：

sum(sum(A ~= 0))

• $L_1$ 范数

$\Vert A{\Vert }_1\stackrel{def}{=}\sum _{i=1}^m\sum _{j=1}^n|a_{ij}|$，即矩阵中的每个元素绝对值之和

其在matlab中的用法：

sum(sum(abs(A)))

• $L_F$ 范数

$\Vert A{\Vert }_F\stackrel{def}{=}(\sum _{i=1}^m\sum _{j=1}^n|a_{ij}{|}^2{)}^{1/2}$，即矩阵的各个元素平方之和后开方

其在matlab中的用法：

norm(A,'fro')

• $L_{\mathrm{\infty }}$ 范数

$\Vert A{\Vert }_{\mathrm{\infty }}=\underset{i=1,\cdots ,m;j=1,\cdots ,n}{max}\{|a_{ij}|\}$，即矩阵的各个元素绝对值的最大值

其在matlab中的用法：

max(max(abs(A)))

• 核范数

$\Vert A{\Vert }_{\ast }=\sum _{i=1}^n{\lambda }_i$，${\lambda }_i$ 为 $A$ 的奇异值，即所有矩阵奇异值之和

其在matlab中的用法：

sum(svd(A))