MM(Majorize-Minimization, Minorize-Maximization)优化方法

MM算法思想

MM算法是一种迭代优化方法，它利用函数的凸性来找到原函数的最大值或最小值。当原目标函数$f(\theta )$较难优化时，算法不直接对原目标函数求最优解，而去求解逼近于原目标函数的一个易于优化的目标函数$g(\theta )$，通过对这个替代函数求解，使得$g(\theta )$的最优解逼近于$f(\theta )$的最优解。每迭代一次，根据所求解构造用于下一次迭代的新的替代函数，然后对新的替代函数最优化求解得到下一次迭代的求解。通过多次迭代，可以得到越来越接近目标函数最优解的解。

MM代表“Majorize-Minimization”或“Minorize-Maximization”，取决于所需的优化是最大化还是最小化。

• Majorize-Minimization：每次迭代找到原非凸目标函数的一个上界函数，求上界函数的最小值。
• Minorize-Maximization：每次迭代找到原非凸目标函数的一个下界函数，求下界函数的最大值。

期望最大化(EM)算法可以被视为MM算法的特殊情况，在机器学习中经常用到。MM算法与EM算法有联系但是又有区别，在EM算法中通常涉及条件期望，而在MM算法中，凸性和不等式是主要焦点。

以Minorize-Maximization为例, 使目标函数$f(\theta )$最大化。

在算法的第$m(m=0,1...)$步，若满足以下条件，则目标函数$f({\theta }_m)$可用构造函数$g_m({\theta }_m)$代替。

$$g_m(\theta )\le f({\theta }_m)\mathrm{\forall }\theta$$

$$g_m({\theta }_m)=f({\theta }_m)$$

MM算法步骤

1. 使$m=1$，并初始化${\theta }_0$。
2. 构造$g_m(\theta )$满足条件$(1)$和$(2)$。
3. 令${\theta }_{m+1}=\arg \underset{\theta }{min}{g}_m(\theta )$。
4. 使$m=m+1$，返回步骤2。

${\theta }_m$和目标函数的替代函数的迭代步骤如下图所示。

由以上条件可得如下不等式：

$$f({\theta }_{m+1})\ge g_m({\theta }_{m+1})\ge g({\theta }_m|{\theta }_m)=f({\theta }_m)$$