【转】欧式空间与酉空间——概念区分
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欧式空间:
设V是实数域R上的线性空间,在V上任意两向量x、y按某一确定法则对应于唯一确定是的实数,称为内积,记为(x,y),满足以下性质:
1)对称性(x,y)=(y,x);
2)可加性(x+y,z)=(x,z)+(y,z);
3)齐次性(k x,y)=k(x,y),k为任意实数;
4)非负性(x,x)≥ 0,当且仅当x=0时有(x,x)= 0.
定义了内积的实线性空间V,叫实内积空间即欧式空间(有限维或无限维)。
欧式空间的子空间仍是欧式空间
酉空间:
设V是复数域C上的线性空间,在V上任意两向量x、y按某一确定法则对应于唯一确定是的复数,称为内积,记为(x,y),满足以下性质:
共轭对称性(x,y)= ;
可加性(x+y,z)=(x,z)+(y,z);
齐次性(k x,y)=k(x,y),k为任意复数;
非负性(x,x)≥ 0,当且仅当x=0时有(x,x)= 0.
定义了内积的复线性空间V,叫复内积空间即酉空间(有限维或无限维)。
酉空间和欧式空间统称为内积空间。
定义AH=A−TAH=A−T (共轭转置),如果AHA=AAH=IAHA=AAH=I ,则称AA 为酉矩阵
如果AH=AAH=A
,则称A为Hermite矩阵,如果AH=−AAH=−A
,则称AA
为反Hermite矩阵。
(Hermite矩阵指的是自共轭矩阵。矩阵中每一个第i 行第j 列的元素都与第j 行第i 列的元素的共轭相等。)