JAVA浮点数的范围 和精度
本篇先介绍IEEE754标准中针对浮点数的规范，然后以问答形式补充有关浮点数的知识点。
（一）IEEE754标准
IEEE 754 标准即IEEE浮点数算术标准，由美国电气电子工程师学会（IEEE）计算机学会旗下的微处理器标准委员会发布。
以32位float数据为例，在内存中的存储形式是1bit的符号位(S)，8bit表示指数部分(Exp)，23表示小数部分的尾数(Fraction)。
表一 单精度浮点数在内存中存储形式
|
1bit符号 |
8bit指数部分 |
23bit尾数 |
符号位——S取0时表示负数，取1时表示负数。
指数部分——使用所谓的偏正值形式表示，而不是补码表示，即指数部分采用一个无符号的正数值存储。也就是说指数部分要表示的值等于实际存储值减去一个固定值（对于单精度float类型，是127）。采用这种方式表示的目的是简化比较，因为，如果采用补码表示的话,全体符号位S和Exp自身的符号位将导致不能简单的进行大小比较。因为指数值的大小从0～255（0和255是特殊值），单精度的指数部分范围是-127～+128（对应的，-127和128是特殊值）。
尾数部分——23bit尾数仅能表示小数部分的尾数，小数部分最高有效位由指数部分决定，具体见下表。小数部分最高有效位是1的数被称为正规形式。小数部分最高有效位是0的数被称为非正规形式，其他情况是特殊值。
表二 单精度浮点数表示规则
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符号 |
指数 部分 |
指数部分-127 |
尾数部分 |
小数部分的 最高有效位 |
形式 |
|
1 |
255 |
128 |
非0 |
没有 |
NaN |
|
1 |
255 |
128 |
0 |
没有 |
负无穷 |
|
1 |
1~254 |
-126~127 |
任意 |
1 |
正规形式（负数） |
|
1 |
0 |
-127 |
非0 |
0 |
非正规形式（负数） |
|
1 |
0 |
-127 |
0 |
没有 |
负0 |
|
0 |
0 |
-127 |
0 |
没有 |
正0 |
|
0 |
0 |
-127 |
非0 |
0 |
非正规形式（正数） |
|
0 |
1~254 |
-126~127 |
任意 |
1 |
正规形式（正数） |
|
0 |
255 |
128 |
0 |
没有 |
正无穷 |
|
0 |
255 |
128 |
非0 |
没有 |
NaN |
按照IEEE标准，除了 NaN 以外，浮点数集合中的所有元素都是有序的。如果把它们从小到大按顺序排列好，那顺序将会是：负无穷，正规形式（负数）、非正规形式（负数）、负0、正0、非正规形式（正数）、正规形式（正数）、正无穷。
对于64bit的双精度double类型，在内存中的存储形式是1bit的符号位(S)，11bit表示指数部分(Exp)，52bit表示小数部分的尾数(Fraction)。指数部分的偏正值是1023，其他情况跟单精度类似，不再赘述。
（二）浮点数Q&A
1)浮点数可以表示数据的范围是什么？
不考虑特殊值（无穷大、NaN等），浮点数可以表示的范围是[-Max,Max]。其中Max是浮点数能表示的最大值，具体值参见表三。
表三 浮点数最大值
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浮点类型 |
字节码 |
16进制表示 |
10进制表示 |
|
单精度 |
7f7fffff |
0x1.fffffep127 |
3.4028235E38 |
|
双精度 |
7fefffffffffffff |
0x1.fffffffffffffp1023 |
1.7976931348623157E308 |
2)浮点数的精度怎样衡量？
浮点数指数部分Exp的数值决定了浮点数与相邻浮点数的差值，所以，指数部分越小（单精度最小为-127），即浮点数绝对值越小（也就是浮点数越靠近0），相邻浮点数的差值越小（单精度最小为2^(-127)），浮点数能表示的有效小数位数越多。反之，指数部分越大（单精度最大为127），即浮点数绝对值越大（也就是浮点数越远离0），相邻浮点数的差值越大（单精度最小为2^(127)），浮点数能表示的有效小数位数越少。但是，从科学计算的角度看，不管指数部分的数值是多少，浮点数的有效位数由尾数部分决定，单精度的有效数是7位，双精度的有效数是16位。
表四 浮点数最小正数
|
浮点类型 |
字节码 |
16进制表示 |
10进制表示 |
|
单精度最小正数 |
00000001 |
0x0.000002p-126 |
1.4E-45 |
|
双精度最小正数 |
0000000000000001 |
0x0.0000000000001p-1022 |
4.9E-324 |
3）我们知道，在Java中，存在基本数据类型的自动转换，比如，直接将一个整形字面量赋给一个float变量。 那么，在自动转换后，整形的精度会丢失么？
当浮点集中没有与整形值对应的浮点数时，会将整形值转化成最接近的浮点值，此时，整形值会丢失精度。例如下面的例子，数值为33554431的整形转化成单精度浮点数后，变成3.3554432E7，即33554432。
int intValue = Integer.MAX_VALUE >> 6;// 33554431
float floatFromInt = intValue;
System.out.println(floatFromInt);// 3.3554432E7
System.out.println(intValue);// 33554431
最后附查看某些浮点数字节码、16进制表示、10进制表示的源码及运行结果。
单精度源码及结果。
Float3.3554432E7
33554431
描述 十六进制数 字节码 十进制数
正 无 穷 Infinity 7f800000 Infinity
最 大 值 0x1.fffffep127 7f7fffff 3.4028235E38
最小正规形式正数 0x1.0p-126 00800000 1.17549435E-38
最大非正规形式值 0x0.8p-126 00400000 5.877472E-39
最 小 正 数 0x0.000002p-126 00000001 1.4E-45
负 无 穷 -Infinity ff800000 -Infinity
规 范 的 NaN NaN 7fc00000 NaN
其 他 的 NaN NaN ffc54321 NaN
双精度源码及结果。
Double描述 十六进制数 字节码 十进制数
正 无 穷 Infinity 7ff0000000000000 Infinity
最 大 值 0x1.fffffffffffffp1023 7fefffffffffffff 1.7976931348623157E308
最小正规形式正数 0x1.0p-1022 0010000000000000 2.2250738585072014E-308
最大非正规形式值 0x0.8p-1022 0008000000000000 1.1125369292536007E-308
最 小 正 数 0x0.0000000000001p-1022 0000000000000001 4.9E-324
负 无 穷 -Infinity fff0000000000000 -Infinity
规 范 的 NaN NaN 7ff8000000000000 NaN
其 他 的 NaN NaN fff8000000054321 NaN
参考资料：
2、《Java虚拟机规范（Java SE 7）》
