二次互反律

前面我们已经学习过了高斯引理，那么二次互反律就呼之欲出了

我们先介绍一下什么是二次互反律

假设p，q是两个奇素数，二次互反律就是要研究p对q的勒让德符号和q对p的勒让德符号之间的关系

二次互反律给出了结论：

legendre(p,q)*legendre(q,p)=(-1)^((p-1)*(q-1)/4)

我们通过证明下式来证明二次互反律，它蕴含着二次互反律

T(p,q)+T(q,p)=(p-1)*(q-1)/4

怎么证明T函数具有这样一个奇妙性质呢？

不想写太多证明的东西，看几张图片直观感受一下你就明白了，其实这个公式不太难

这是最常见的利用填矩形的方式证明，直线上方点数就是T(p,q)，下方点数就是T(q,p)

图一：T(5,3)+T(3,5)=2*3

 

图二 T(11,7)+T(7,11)=3*5

 

 图片是用java绘制的，代码分享给大家：

 

import java.awt.Color;
import java.awt.Graphics;

import javax.swing.JFrame;

public class test{
	static int width=800,height=800,r=4,d=80;
	public static void paint_point(int x,int y,Graphics g) {
		x=d+d*x;
		y=height-d-d*y;
		g.setColor(Color.black);
		g.fillOval(x-r, y-r, r<<1, r<<1);
	}
	public static void paint_line(int fx,int fy,int sx,int sy,Graphics g) {
		fx=d+d*fx;
		fy=height-d-d*fy;
		sx=d+d*sx;
		sy=height-d-d*sy;
		g.setColor(Color.BLACK);
		g.drawLine(sx, sy, fx, fy);
	}
	public static void label_x(int p,int q,int i,Graphics g) {
		String str="["+p+"*"+i+"/"+q+"]";
		int x=d*i+60,y=height-d;
		g.drawString(str, x, y);
	}
	public static void label_y(int p,int q,int i,Graphics g) {
		String str="["+p+"*"+i+"/"+q+"]";
		int x=d,y=height-i*d-d;
		g.drawString(str, x, y);
	}
	public static void main(String[] args) {
		JFrame jf=new JFrame() {
			public void paint(Graphics g) {
				g.setColor(Color.white);
				g.fillRect(0, 0, width, height);
				int p=13,q=11;//在这里修改你想要的值
				for(int i=1;i<=p/2;i++) {
					for(int j=1;j<=q/2;j++) {
						paint_point(i,j,g);
					}
				}
				for(int x=1;x<=p/2;x++) {
					label_x(q, p, x, g);
				}
				for(int y=1;y<=q/2;y++) {
					label_y(p, q, y, g);
				}
				paint_line(0, 0, p, q,g);
			}
		};
		jf.setSize(width, height);
		jf.setVisible(true);
		jf.setDefaultCloseOperation(3);
	}
}

　　

 话题收回来，我们知道了T(p,q)+T(q,p)=(p-1)*(q-1)/4

将两边作为-1的指数，就得到了二次互反律。

 有了二次互反律，我们就可以高效解决判断二次剩余的问题了

下面我们给出算法：

求a对p的勒让德符号：

　　利用勒让德符号的周期性，先将a取模p

　　将a分解素因数，保留次数为奇数的素因素{a1,a2....an}

　　对2，利用高斯引理的推论直接计算，对其他奇素数，利用二次互反律计算

　　利用勒让德符号的可乘性，返回结果的积

此算法的瓶颈还是在于分解素因数，下面给出C++代码实现

 

#include<iostream>
using namespace std;
//用于分解素因子 
struct breaker{
	int num,cur=2;
	breaker(int num){
		this->num=num;
	}
	void next(int&res,int&pow){
		pow=0;res=0;
		while(num%cur==0){
			res=cur;
			pow++;num/=cur;
		}
		cur++;
	}
	//获取下一个奇数次素因子 
	int get(){
		int res,pow;
		next(res,pow);
		while(pow%2==0&&num>1){
			next(res,pow);
		}
		return res;
	}
};
//计算a对p的勒让德符号，要求p是素数,a不是p的倍数 
int legendre(int a,int p){
	a%=p;
	breaker bk(a);
	int temp=bk.get();
	int res=1;
	if(temp==2){
		//使用高斯引理推论计算 
		res*=((p*p-1)&8)?-1:1;
		temp=bk.get();
	}
	while(temp){
		//使用二次互反律计算 
		res*=legendre(p,temp)*(((p-1)&(temp-1)&2)?-1:1);
		temp=bk.get();
	}
	return res;
}
int main(){
	cout<<legendre(137,227);
}

　

希望对大家有帮助！