算法第三章上机实践报告

1.实践题目名称

7-1 最大子段和

1.1问题描述

给定n个整数（可能为负数）组成的序列a[1],a[2],a[3],…,a[n]，求该序列如a[i]+a[i+1]+…+a[j]的子段和的最大值。当所给的整数均为负数时，定义子段和为0。要求算法的时间复杂度为O(n)。

1.2算法描述

因为该题目要求算法的时间复杂度为O（n），所以可以采用动态规划的思想解决这个问题。

我们可以先把原问题拆分为子问题，原问题的解决依赖于子问题的解决。

我们用D[i] 记录第i个数到n的最大子段和

并且 if（a[i]>0） D[i]=D[i+1]+a[i];否则 D[i]=D[i+1]

该算法是通过递归实现的，当递归到D[n]时，终止递归。

如果 a[n]<=0,则D[n]=0;

如果a[n]>0,则D[n]=a[n]。

1.3问题求解

1.3.1递归方程式

if（a[i]>0） D[i]=D[i+1]+a[i];

否则 D[i]=D[i+1] 。（当i<n时）

如果 a[n]<=0,则D[n]=0;

如果a[n]>0,则D[n]=a[n]。（当i=n时）

1.3.2填表法中表的维度、填表范围和填表顺序

表的维度：一维

填表范围：1-n

填表顺序：自底向上、从后往前

1.3.3算法时间及空间复杂度分析

时间复杂度分析：
因为该算法只用了一个循环，只循环了一次数组，并且数组长度为n，所以时间复杂度为O（n）。

空间复杂度分析：

因为该算法还设置了一个变量来记录当前最大子段和，所以空间复杂度为O（1）。

1.4心得体会

在本次实验课中，在做找最大子段和这个题目的时候，一开始会想到用数组来记录当前最大子段和，但是实践发现其实没有必要，直接用一个整型变量来记录就可以了。还有就是解决这类问题用动态规划的思想会让自己的算法思路更加清晰明了，并且一般情况下会降低时间复杂度。

2.对动态规划算法的理解和体会

动态规划算法的基本要素是最优子结构性质，即原问题的最优解包含子问题的最优解，原问题依赖于子问题，和重叠子问题性质，具有这些性质的问题都可以用动态规划的算法来解决。在学习动态规划这一章内容，我学会了解决矩阵连乘问题，最长公共子序列问题，最大子段和问题，0-1背包问题等等，我感受到了动态规划在解决这些问题上的优势。在用动态规划这一算法时，我们也常常会用到填表的思想，这会大大降低时间复杂度。并且使用动态规划，会让我们的算法思路更加的清晰，让解决同类问题有一个很好的方式。