NPC问题及其解决方法（回溯法、动态规划、贪心法、深度优先遍历）
NP问题(Non-deterministic Polynomial )：多项式复杂程度的非确定性问题，这些问题无法根据公式直接地计算出来。比如，找大质数的问题（有没有一个公式，你一套公式，就可以一步步推算出来，下一个质数应该是多少呢？这样的公式是没有的）；再比如，大的合数分解质因数的问题（有没有一个公式，把合数代进去，就直接可以算出，它的因子各自是多少？也没有这样的公式）。
NPC问题(Non-deterministic Polynomial complete)：NP完全问题，可以这么认为，这种问题只有把解域里面的所有可能都穷举了之后才能得出答案，这样的问题是NP里面最难，但是这样算法的复杂程度，是指数关系。一般说来，如果要证明一个问题是NPC问题的话，可以拿已经是NPC问题的一个问题经过多项式时间的变化变成所需要证明的问题，那么所要证明的问题就是一个NPC问题了。NPC问题是一个问题族，如果里面任意一个问题有了多项式的解，即找到一个算法，那么所有的问题都可以有多项式的解。
著名的NPC问题：
背包问题（Knapsack problem）：01背包是在M件物品取出若干件放在空间为W的背包里，每件物品的体积为W1，W2……Wn，与之相对应的价值为V1,V2……Vn。求出获得最大价值的方案。
旅行商问题（Traveling Saleman Problem，TSP），该问题是在寻求单一旅行者由起点出发，通过所有给定的需求点之后，最后再回到原点的最小路径成本。
哈密顿路径问题（Hamiltonian path problem）与哈密顿环路问题（Hamiltonian cycle problem）为旅行推销员问题的特殊案例。哈密顿图：由指定的起点前往指定的终点，途中经过所有其他节点且只经过一次。
欧拉回路（从图的某一个顶点出发，图中每条边走且仅走一次，最后回到出发点；如果这样的回路存在，则称之为欧拉回路。）与欧拉路径（从图的某一个顶点出发，图中每条边走且仅走一次，最后到达某一个点；如果这样的路径存在，则称之为欧拉路径。）
- 无向图欧拉回路存在条件：所有顶点的度数均为偶数。
- 无向图欧拉路径存在条件：至多有两个顶点的度数为奇数，其他顶点的度数均为偶数。
- 有向图欧拉回路存在条件：所有顶点的入度和出度相等。
- 有向图欧拉路径存在条件：至多有两个顶点的入度和出度绝对值差1（若有两个这样的顶点，则必须其中一个出度大于入度，另一个入度大于出度）,其他顶点的入度与出度相等。
01背包问题解决方法
法I：回溯法递归
public: void Knapsack(int *w,int *v, int c，int n){//w：容量；v：value this->c = c; this->n = n; bestv = 0; bool x[n] = {false}; //x: 是否选择这个物品 backtracking(w,v,x,0); } void backtracking(int depth, int *w, int *v, bool *x){ if(depth >= n){ if(tmpV > bestv){ bestv = tmpV; for(int i = 0; i < n; i++){ bestx[i] = x[i]; } } return; } if(tmpW + w[depth] <= c){ //加入当前元素 x[i] = true; tmpW += w[depth]; tmpV += v[depth]; backtracking(depth+1, w, v, x); tmpV -= v[depth]; //backtrack tmpW -= w[depth]; x[i] = false; } backtracking(depth+1, w, v, x);//不加入当前元素 } private: int bestv; //最优方法的价值 int* bestx; //最优方法选取的物品 int tmpV; //已有价值 int tmpW; //已使用的容量 int c; //背包容量 int n; //物品数量
法II：动态规划
1。定义阶段：v[i-1]表示第i个物品的价值
2。定义状态：V[n+1][C]前i个物品装入容量为j的背包中获得的最大价值
3。状态转移方程：V[i][j]=max(V[i-1][j],V[i-1][j-w[i-1]]+v[i-1]);
4。定义边界条件：V[i][0]=0;V[0][j]=0;
int KnapSack(int n,int w[],int v[],int x[],int C){ int V[n+1][C];//前i个物品装入容量为j的背包中获得的最大价值 int i,j; for(i=0;i<=n;i++) V[i][0]=0; for(j=0;j<=C;j++) V[0][j]=0; for(i=1;i<=n-1;i++) for(j=1;j<=C;j++) if(j < w[j]) V[i][j]=V[i-1][j]; else V[i][j]=max(V[i-1][j],V[i-1][j-w[i-1]]+v[i-1]); //标示哪些物品被放入 j=C; for(i=n;i>0;i--) if(V[i][j]>V[i-1][j]){ x[i-1]=1; j=j-w[i-1]; } else x[i-1]=0; return V[n][C]; }
法III: 贪心法解决普通背包问题
普通背包问题：与0-1背包问题类似，所不同的是在选择物品i装入背包时，可以选择物品i的一部分，而不一定要全部装入背包，1≤i≤n。
贪心准则：每一项计算yi=vi/wi，再按比值的降序来排序，从第一项开始装背包，然后是第二项，依次类推，尽可能的多放，直到装满背包。适用于普通背包问题，但不适用于01背包问题。
旅行商问题解决方法
法I：回溯法递归
int bestd; vector< int > bestv;//保存最优解路径上的节点 int tmpSum; vector< int > tmpV; //暂时保存路径上的节点 unordered_set visited; void shortest( int **d,int n){ bestd = INT_MAX; dfs(d,n,0); } void dfs (int **d,int n, int depth){ tmpV.push_back(depth); if(tmpV.size()==n){ tmpSum += d[depth][0]; if(tmpSum < bestd){ bestd = tmpSum; bestv = tmpV; } tmpSum -= d[depth][0]; //backtrack tmpV.pop(); return; } visited.insert(depth); for(int i = 0; i < n; i ++){ if(visited.find(i) != visited.end() && tmpSum + d[depth][i] < bestd){ tmpSum += d[depth][i]; dfs(d,n,i); tmpSum -= d[depth][i]; //backtrack } } visited.erase(depth); //backtrack tmpV.pop_back(); }
法II：动态规划
1。定义阶段：v[i-1]表示第i个物品的价值
2。定义状态：F[i][j]表示当前从i结点出发已访问j中节点的情况下的最短距离。其中，i表示当前访问的节点，i∈[0,n-1]；j=已访问的节点的bitmap，j∈[0,2^(n-1)-1]
3。状态转移方程：F[i][j] = min{ min，D[i][k] + F[k][j-(int)pow(2,k-1)]) }
4。定义边界条件：F[i][0] = D[i][0]即表示节点i到第一个节点的距离，D是原图的邻接矩阵
void tsp(int** D, int n){ int i,j,k,min,temp; int b=(int)pow(2,n-1); //已遍历的节点bitmap(除了最后一个节点，每个节点有选择及不选择两种情况） //申请二维数组F和M int ** F = new int* [n];//n行b列的二维数组，存放阶段最优值 int ** M = new int* [n];//n行b列的二维数组，存放最优策略 for(i=0;i < n; i++）{ F[i] = new int[b]; M[i] = new int[b]; } //初始化F[][]和M[][] for(i=0;i < n; i++） for(j=0;j < n; j++）{ F[j][i] = -1; M[j][i] = -1; } for(i=0;i < n; i++） F[i][0] = D[i][0]; //状态转移 for(i=1;i < b; i++） for(j=1;j < n; j++）{ if( ((int)pow(2,j-1) & i) == 0){//结点j不在i表示的集合中 min=INT_MAX; for(k=1;k < n; k++ ){ //从已访问过的节点中找出一个到节点j的距离最短 if( (int)pow(2,k-1) & i ){//非零表示结点k在集合中 temp = D[j][k] + F[k][i-(int)pow(2,k-1)];//去掉k结点即将k对应的二进制位置0 if(temp < min){ min = temp; F[j][i] = min;//保存阶段最优值 M[j][i] = k;//保存最优决策 } } } } //最后一列，即总最优值的计算 min=INT_MAX; for(k=1;k < n; k++ ){ //b-1的二进制全1，表示全集 temp = D[0][k] + F[k][b-1 - (int)pow(2,k-1)]; //去掉k if(temp < min){ min = temp; F[0][b-1] = min; M[0][b-1] = k; } } cout<<"最短路径长度："<<F[0][b-1]<<endl;//最短路径长度 cout<<"最短路径(编号0—n-1)："<<"0"; //最短路径上的节点 for(i=b-1,j=0; i>0; ){//i的二进制是5个1，表示集合{1,2,3,4,5} j = M[j][i];//下一步去往哪个结点 i = i - (int)pow(2,j-1);//从i中去掉j结点 cout<<"->"<<j; } cout<<"->0"<<endl; }
法III: 启发式贪心法
采用启发式贪心算法。对于那些受大自然的运行规律或者面向具体问题的经验、规则启发出来的方法，人们常常称之为启发式算法（Heuristic Algorithm）。启发式算法得到的解只是近似最优解。步骤：
(1)从旅行商问题的n个城市中选择1个城市构成部分解序列T1={c1},共有n种初始组合。
(2)从部分解序列之外的城市中选择一个新的城市k,插到原有的部分解序列Tk-1={c1,c2,…,ck-1}中,得到新的部分解列Tk={c1,c2,…,ck,…,ck-1}。新的城市ck及插入位置由改进的贪心法确定。
用Tk-1={c1, c2,…,ck-1}表示已确定的部分解序列，则由min(d(ci,ck)+d(ck,ci+1) -d(ci,ci+1)),ci,ci+1∈Tk-1,ck∈NP完全问题确定插入的城市ck及插入位置(ci,ck,ci+1)
(3)用冒泡法对新的部分解序列Tk中的每个城市进行可能优化游路的换位、移位和倒位操作,直到不再能通过这些操作优化游路。
对于旅行商问题的一个解序列,可以通过换位、移位和倒位三种基本的次序变换操作,改变原来解序列的排列次序,得到新的解序列。其它游路改进的启发式操作,都可以由这三种基本操作组合而成。
换
位操作(exchange)：将解序列中第i个元素ci与第j个元素cj的位置交换。ΔD换位=(d(ci-
1,ci)+d(ci,ci+1)+d(cj-1,cj)+d(cj,cj+1))-(d(ci-1,cj)+d(cj,ci+1)+d(cj-1,ci)+d(ci,cj+1))
移
位操作move
：移位操作相当于选择(Or2opt)操作,它将解序列中第i个元素ci移动到第j个元素cj之后的位置上。ΔD移位=(d(ci-
1,ci)+d(ci,ci+1)+d(cj,cj+1))-(d(ci-1,ci+1)+d(cj,ci)+d(ci,cj+1))
倒位操作(inverse) ：倒位操作相当于选择操作取r=2的情况,它将解序列中从第i个元素ci到第j个元素cj之间的元素的顺序前后颠倒。倒位操作的性能指标为:
ΔD倒位=(d(ci-1,ci)+d(cj,cj+1))-(d(ci-1,cj)+d(ci,cj+1))
(4)如果部分解序列的长度k
欧拉路径求解方法
法I：Fleury算法（深度优先遍历）
数据结构：栈
int stk[1005]; int top; int N, M, ss, tt; int mp[1005][1005]; void dfs(int x) { //深度优先遍历 stk[top++] = x; for (int i = 1; i <= N; ++i) { if (mp[x][i]) { mp[x][i] = mp[i][x] = 0; // 删除此边 dfs(i); break; } } } void fleury(int start) { bool brige; top = 0; //top永远指向下一个要入栈元素的存放位置 stk[top++] = start; // 将起点放入Euler路径中 while (top > 0) { brige = true; //割边（桥，最后一条连通外界的边）也已经遍历了 for (int i = 1; i <= N; ++i) { // 遍历节点 if (mp[stk[top-1]][i]) { //如果与栈顶节点有边 brige = false; break; } } if (brige) { // 如果没有点可以扩展，输出并出栈，下一个while循环的时候会搜索下一个栈顶元素的其他路径 printf("%d ", stk[--top]); } else { // 否则继续搜索欧拉路径 dfs(stk[--top]); } //从dfs返回，说明从节点stk[top-1]开始的深度遍历已结束，下面找与它连通的下一个节点（广度遍历）。 } } int main() { int x, y, deg, num; while (scanf("%d %d", &N, &M) != EOF) { memset(mp, 0, sizeof (mp)); for (int i = 0; i < M; ++i) { scanf("%d %d", &x, &y); mp[x][y] = mp[y][x] = 1; } for (int i = 1; i <= N; ++i) { //计算节点度数，判断是否符合欧拉路径/欧拉回路的条件 deg = num = 0; for (int j = 1; j <= N; ++j) { deg += mp[i][j]; } if (deg % 2 == 1) { start = i, ++num; //设置起始点 printf("%d\n", i); } } if (num == 0 || num == 2) { fleury(start); } else { puts("No Euler path"); } } return 0; }
