关联速度模型的数学本质探究

合集 - 文化课杂记(3)

1.关联速度模型的数学本质探究2024-11-26

2.2024wf中考数学难题tj2024-06-153.中学数学的公理化探索01-18

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今天做题的时候突然发现哈。关联速度这个物理模型的数学诠释。只能向量分解吗？向量分解在这里本质是啥。

前置：

有一个函数 $y=f(x)$。
变化率: $\frac{f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)}{\mathrm{\Delta }x}$
瞬时变化率($f^{\prime }(x)$ 或 $\frac{dy}{dx}$)：$\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)}{\mathrm{\Delta }x}$

这些可以手推，也可以背过啦。。。
幂函数：$y=f(x)=x^a$，则$\frac{dy}{dx}=a{x}^{a-1}$。
复合函数也就是$g(f(x))$：$z=g(y),y=f(x),\mathrm{则}\frac{dz}{dx}=\frac{dz}{dy}\frac{dy}{dx}$。

矢量分解。关联速度模型。

题目：

其中，$y(t)$ 初值 $4$, $x(t)$ 初值 $3$。如图所示：

物理做法

梯子速度相等啦。

$$V_{B}sin\theta =V_{A}cos\theta$$

然后就解出来了。

数学本质

如图所示，时间为 $t$, 我们把梯子距地面的距离称作 $x(t)$, 距墙面 $y(t)$。
我们想要知道在微小的 $\mathrm{\Delta }t$下，$\frac{\mathrm{\Delta }x}{\mathrm{\Delta }t}$ 的值。这就是瞬时速度的定义呗。

列勾股方程：

$$x(t{)}^2+y(t{)}^2=5^2$$

一个做法，你直接移项变成 $x(t)$ 的表达式，然后求一下导。但是这特别麻烦。

下面是另一种：
肯定要求变化率，要不然出不来那个 $\mathrm{\Delta }$。我们对这个表达式求变化率。
那么现在来想一下，对这个表达式求变化率的意义是什么？
你现在把左侧理解为 $f(t)=x(t{)}^2+y(t{)}^2$。
哦~，这样就有意义了。原来意义就是 $t$ 的微小变化，表达式的值会改变多少？由于等式右侧为常数，为 $0$ 吧。
于是都求变化率：

$$2x(t)\frac{d(x(t))}{dt}+2y(t)\frac{d(y(t))}{dt}=0$$

这一步依据是复合函数的法则，可以多理解理解。
则:$$2(3)\frac{dx}{dt}+2(4)(-1)=0$$

$$\frac{dx}{dt}=\frac{4}{3}$$

联系

假设斜边 $C$.

$$\sin \theta =\frac{y(t)}{C},\cos \theta =\frac{x(t)}{C}$$

$$V_B=\frac{d(y(t))}{dt},V_A=\frac{d(x(t))}{dt}$$

则我们列的方程就是：

$$\frac{d(y(t))}{dt}\frac{y(t)}{C}=\frac{x(t)}{C}\frac{d(x(t))}{dt}$$

我们已经知道：$\frac{dy(t)}{dt}$，$\tan \theta =\frac{y(t)}{x(t)}$
你把这个玩意一整理，就是我拿勾股推的那个整理式！！！ 我拿下来哈。

$$2x(t)\frac{d(x(t))}{dt}+2y(t)\frac{d(y(t))}{dt}=0$$

矢量分解不过是小把戏。真正的意义没那么复杂。他的式子就这么简洁。有些时候他的本质不止向量。

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或许数学做法十分复杂，但是他给到了一个明确的变化式。这是物理所做不到的。
其实也没那么复杂，你写的话这么写(纯净版)：
列勾股方程：

$$x(t{)}^2+y(t{)}^2=5^2$$

等式两侧求导：

$$2x(t)\frac{d(x(t))}{dt}+2y(t)\frac{d(y(t))}{dt}=0$$

则:$$2(3)\frac{dx}{dt}+2(4)(-1)=0$$

$$\frac{dx}{dt}=\frac{4}{3}$$

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就到这里。