树的序列化笔记

合集 - 算法学习笔记(7)

1.算法学习笔记( 一）（1）动态规划（LIS）2023-07-052.差分约束整理2024-02-203.最小生成树证明2024-02-234.寻根KMP算法2024-05-045.树链剖分笔记2024-06-22

6.树的序列化笔记2024-06-22

7.Kosaraju算法简记2024-07-11

收起

$dfs$序

以$DFS$（先根遍历）⾸次访问顺序将节点重新排列。

特征：

1. 每个顶点在序列中出现恰好⼀次（废话）
2. ⽗节点排在⼦节点前⾯（废话）
3. 每棵⼦树都占据序列的⼀个区间

欧拉序

记录$DFS$递归/回溯时依次经过的所有点。

特征：

1. 每个点出现次数=度数（根多1次）
2. 相邻点深度差1
3. $LCA(x,y)=$区间[$x$⾸次出现, $y$⾸次出现]上深度最⼩的点
   特征3，why?首先，一定经过$lca$（已经x->y）,1且lca上面的点一定不经过（回溯不会返回，怎么访问到y呢？）。
4. 循环特征

II类欧拉序：

DFS序：递归u→v时，记v
欧拉序I：回溯u→p(u)时，额外记p(u)
欧拉序II：回溯u→p(u)时，额外记u

相当于进出⼦树u时，都各记录⼀次u

特征:

1. 每个点u出现恰好2次，下标记为st[u]、ed[u]
2. 直系路径x→y对应区间[st[x],st[y]]上只出现1次的点

我的感性理解：

DFS序擅长处理子树问题（它是区间）
欧拉序擅长处理各子树之间关系的问题，（各个子树清清楚楚）
II欧拉序擅长处理(非）直系路径的问题（路径清清楚楚）。

---

例题：

树上带修路径和问询。1887。

题意：有点权的树上,支持点更新,问询树上前缀和：$S(u)=u$到根节点的权值和。

$Solution:$

->直接维护点，暴力维护答案。
->既然维护点只能暴力维护答案，那我维护答案行不行？
→ u的点更新，会影响哪些节点的S？子树u（树上后缀）
→ DFS序上维护S数组点更新
→ S上的后缀更新前缀查询
→ S上的点查询
→ 线段树 或 差分+BIT

$Another:$

II类欧拉序。直系路径x→y对应区间[st[x],st[y]]上只出现1次的点。

从x→y，则⼦树x上
y的子树不会遍历到
侧链上的点都会被记录2次（1进1出）
只有路径上的点记录1次（1进0出）

直系路径在欧拉序上为区间内只出现⼀次的点
→ 考虑路径上的⽬标函数
对应区间上，只要让出现2次的⽆贡献即可
→ st设权值系数*+1，ed设权值系数*-1
路径和=带权区间和，⽤BIT实现
→ ⽬标函数必须有可减性

有依赖的背包问题：

383。
从属关系形成了⼀棵树（加⼀个虚拟根）
选⼦节点必须先选择⽗节点
如不选节点u，其⼦树均不可选
→ 以DFS序后缀为状态状态：$f[i][j]=dfn[i]\ge i\mathrm{的}\mathrm{物}\mathrm{品}\mathrm{放}\mathrm{⼊}\mathrm{空}\mathrm{间}j\mathrm{最}\mathrm{⼤}\mathrm{收}\mathrm{益}$

本质后续探究。

换根子树大小问题：

给定⼀棵n个节点的⽆根树，有q个问询：求以X为根时，⼦树Y的节点数，
问询强制在线。n≤100000, q≤2000000
换根后。欧拉回路不变。（欧拉序循环）。
（相当于换了根）。
->子树仍然是个区间。
->区间是啥？$[x\mathrm{后}\mathrm{第}\mathrm{一}\mathrm{次}\mathrm{访}\mathrm{问}\mathrm{到}y->\mathrm{最}\mathrm{后}\mathrm{一}\mathrm{次}\mathrm{访}\mathrm{问}\mathrm{到}y]$
转变为求不同值的个数。
->莫队可以，但过不去。
->考虑点对答案的贡献，只有欧拉序首次出现对答案有贡献。
→ 将欧拉序上⾸次出现的位置权值为1，其余为0
->首先，肯定能找出子树区间。对这区间中的每一个点，肯定所有度数都访问了，因此，只给第一次出现加就行了，因为一定会一块出现，一定会被计数记到。
-> 求区间和就是⼦树大小。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <utility>
#include <vector>

using namespace std;

typedef pair<int, int> PII;

const int N = 100010, M = N << 1, K = N << 2;

int n;
int er[K], sum[K], timestamp; //欧拉序，前缀和
int h[N], e[M], ne[M], idx;
vector<int> ids[N];
/*刚刚这个点一直没想清楚。
首先，肯定能找出子树区间。对这区间中的每一个点，肯定
所有度数都访问了，因此，只给第一次出现加就行了，因为一定会一块出现，一定会被计数记到。
*/

void add(int a, int b)
{
    e[ ++ idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx;
    e[ ++ idx] = a, ne[idx] = h[b], h[b] = idx;
}

void dfs(int u, int fa)
{
    er[ ++ timestamp] = u, ids[u].push_back(timestamp);
    sum[timestamp] ++ ;
    for (int i = h[u]; i; i = ne[i])
    {
        int j = e[i];
        if (j == fa) continue;
        dfs(j, u);
        er[ ++ timestamp] = u, ids[u].push_back(timestamp);
    }
}

PII GetSub(int x, int y)
{
    if (x == y) return make_pair(1, timestamp); //特判]
    int k = (int)(lower_bound(ids[y].begin(), ids[y].end(), ids[x][0]) - ids[y].begin());
    int len = ids[y].size();
    if (!k || k == len) return make_pair(ids[y][0], ids[y][len - 1]); //特判
    return make_pair(ids[y][k], timestamp + ids[y][k - 1]);
}

int solve(int x, int y)
{
    PII t = GetSub(x, y);
    return sum[t.second] - sum[t.first - 1];
}

int nextInt(int i,int n){
    return abs((i*i+996703)^(i*i*i+167317))%n+1;
}
 
int main(){
    int q, p, seed;
    cin>>n>>q>>p>>seed;
    for (int i=1;i<n;++i) // 生成树结构
        add(i+1, i<=p ? i: nextInt(i,i));
    int ans=0;
    dfs(1, 0);
    for (int i = timestamp + 1; i <= timestamp * 2; i ++ ) er[i] = er[i - timestamp], sum[i] = sum[i - timestamp];
    for (int i = 1; i <= timestamp * 2; i ++ ) sum[i] += sum[i - 1];

    for (int i=1,X,Y,lastAns=seed;i<=q;i++){ // 生成问询
        X=nextInt(lastAns+i,n),Y=nextInt(X+i,n);
        ans^=(lastAns=solve(X,Y));
    }
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}

dfs序就是没换根，直接分类讨论了。

离线非直系路径UV（II欧拉序）

$Solution:$

→ ⾮直系路径问询x→y
⽅法1：拆成x→lca和lca→y（需可加性）
⽅法2：对应区间[ed[x],st[y]]上
只出现1次的点，但LCA除外。

UV没有可加/可减性怎么办。
->借助计数器，既然变成了区间出现一次点UV问题，可以莫队了。
->出现两次的点怎么维护？怎么知道该加还是该减？
->st+1，ed-1行不行？但是lca左侧ed，右侧st，显然完蛋。
->维护sgn(u)表示u出现次数%2
这样就o了。

直系路径和非直系路径对应区间不同！

BFS序

->无法转为连续区间，子树不连续。
->按bfs（层级顺序），这不就区间了。
区间加减查询，线段树，over.

→ 邻集N(u)=u及其所有相邻点（星型⼦图）
树上的邻集N(u)={u,p(u)} ∪ Son(u)
DFS/欧拉序上，Son(u)不是区间
→ BFS序上，Son(u)是区间
操作2,3：1~2次点更新 + 0~1次段更新
BFS序上建线段树，Over

混合序

各类序列化其本质思想是使树上节点尽量有序。

题意：
(有根）树上在线问询
操作1：$\mathrm{将}\mathrm{⼦}\mathrm{树}u\mathrm{中}（\mathrm{以}u\mathrm{为}\mathrm{根}\mathrm{的}\mathrm{相}\mathrm{对}）\mathrm{深}\mathrm{度}\le k\mathrm{的}\mathrm{点}\mathrm{权}+c$
操作2：$\mathrm{求}\mathrm{⼦}\mathrm{树}u\mathrm{中}\mathrm{深}\mathrm{度}\le k\mathrm{的}\mathrm{权}\mathrm{和}$

->bfs序交子树节点太多。
->dfs序是个区间，好处理。转变为求depth在一定区间内的点和。
->把点视为二维，二维线段树or二维差分前缀和，over