最小生成树证明

合集 - 算法学习笔记(7)

1.算法学习笔记( 一）（1）动态规划（LIS）2023-07-052.差分约束整理2024-02-20

3.最小生成树证明2024-02-23

4.寻根KMP算法2024-05-045.树链剖分笔记2024-06-226.树的序列化笔记2024-06-227.Kosaraju算法简记2024-07-11

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$Prim:$

证明：（人话）：

在这个图中 假设当前距离集合最短边是$u->v$, 那么假设它不在任意一棵最小生成树中
那么 在最小生成树中，$u->v$必然存在其他边相连，并且在这之中，一定存在从集合到外的一条边（横跨切割的边）$x->y$，(因为u,v不在一个集合中，如果不存在 那就不可能走出集合)

我们把$u->v$换上去，把$x->y$换下来，构造生成树。
由于 当前距离集合最短边是$u->v$,
故 $w[u->v]<=w[x->y]$
所以新构造的生成树权值<=最小生成树 故这棵树仍然是最小生成树，
因此加入$u->v$一定是在最小生成树中的。（又叫安全边）

$kruskal:$

证明：
若不选$u->v$,
那么 在最小生成树中，$u->v$必然存在其他边相连，并且在这之中，一定存在权值更大$x->y$，(因为u,v当前不连通，如果不存在 那就不可能连通)

那么同样构造最小生成树，把$u->v$换上去，把$x->y$换下来,
权值仍然<=最小生成树权值
说明这是一棵最小生成树。

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不断加入$u->v$，能够保证当前一定是最小生成树的子集。故正确。