差分约束整理

合集 - 算法学习笔记(7)

1.算法学习笔记( 一）（1）动态规划（LIS）2023-07-05

2.差分约束整理2024-02-20

3.最小生成树证明2024-02-234.寻根KMP算法2024-05-045.树链剖分笔记2024-06-226.树的序列化笔记2024-06-227.Kosaraju算法简记2024-07-11

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逻辑理解：
把$x_i<=x_j+c$ 看成$j->i$花费$w_c$ 的边（边的定义）
那么此时在满足所有限制的情况下求最短路就能满足此性质。
（满足所有限制就是从超级原点出发 遍历所有边）
求一遍最短路。
如何判断无解呢？ 有负环就等价于无解。
有负环就无解。无解一定是$x_i<=x_j+c(c<0)$的情况，这也对应无解。故等价。

于是就可以找出一组解。

求最小值最长路。最大值最短路。
求最大值：
一定是$x_i<=x_j+c$形式。最大值等价于枚举i的所有链式关系上界取最小值。（对$xi$的限制就这么多）
而根据上述公式，每一个不等式链等价于一条1_{i路径。（根据边的定义，不等式链就是1}i的路径。1~i的路径也可以根据边的定义就是不等式链，且一一对应（不对应就与边的定义矛盾了））

那么 求最大值就等价于所有路径的最小值。即最短路。

求最小值：
一定是$x_i>=x_j+c$形式。最小值等价于枚举i的所有链式关系下界取最大值。
同样链式关系对应一条1~i路径。
也就是求所有路径的最大值。即最长路。