寻根KMP算法

合集 - 算法学习笔记(7)

1.算法学习笔记( 一）（1）动态规划（LIS）2023-07-052.差分约束整理2024-02-203.最小生成树证明2024-02-23

4.寻根KMP算法2024-05-04

5.树链剖分笔记2024-06-226.树的序列化笔记2024-06-227.Kosaraju算法简记2024-07-11

收起

本人被$KMP$已经折磨许久。五战KMP。方知之前理解确实浅。故写此篇。
这是之前那篇，实在是太浅，不过对代码做了注释。https://www.acwing.com/solution/content/131255/

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本篇重点说明$KMP$的原理，而非过程。过程相信其他博客已经写的十分完善了。

$KMP$ 算法（$Knuth-Morris-Pratt$ 算法）是一个著名的字符串匹配算法，效率很高，但是确实有点复杂。

暴力及举例可以去看别的博客。本处不赘述。

匹配

观察暴力，相信也知道，每次我们漏掉了些信息。什么信息呢？

假设当前到这就匹配不成功了。

暴力做法：

直接从头开始匹配。
假设移动如这样：

不断向右移动。。。发现了什么？
好像能不能匹配和最上面串没关系吧。由于前半段已经匹配啦，上面等于下面）
更准确的讲，是不是只跟串的前后缀有关系。
因此，我们考虑至少向后移动到什么位置可以继续匹配上面绿圈呢
假设到这。

黄色部分相等。至少移动多少呢？就是使前后缀相等的最大长度。（前后缀不等无法匹配, 又因为至少）

假设我们当前已经求出这个东西。叫做next。
那就容易了。如果蓝圈红圈不匹配，考虑回退，那就回退到next就行了。中间隔下的一定不行，我们知道前后缀不等的，那么一定没法匹配。如果next不行，那就重复这个过程。

代码

$Next$

求使前后缀相等的最大长度。略变一下。
强调一下：$next[i]$ 存储的就是使子串 s[0…i] 有最长相等前后缀的前缀的最后一位的下标。
$next$ 数组的含义就是当 j + 1 位失配时，j 应该回退到的位置。

首先，假设现在j在的位置是$next[i-1]$的位置，next[1 ~ i-1]已经求出。
观察$next[i]$的性质：

1. 使1~i前后缀相等的最大长度 <= 1~ i-1前后缀相等的最大长度+1。这是因为你可以画一下图，如果更大，那就一定不等（1~i-1前后缀已最大），最多扩展i,j+1嘛。
2. 其实还是和匹配一样了吧。next[i]肯定要在带上i==j+1的前后缀相等的长度 取最大, 按照暴力思路，你当然会从大到小枚举所有前后缀长度，取第一个行的。实质就是不断右移的过程。
   当si!=sj+1时，考虑后退，这个时候又在向右移动了。使前后缀相等，那么回退取值一定只有j,next[j],next[next[j]]....
   这是因为你可以任取不在其中的一个数k，那么前后缀就不等了，根本没法匹配。（根据next定义，不在这些不断“最大前后缀相等长度”中，那肯定不等啊）

匹配成功后，j=next[i]，重复上述过程。可不就求出来了？

好了那这样就愉快解决了。

$PS:\mathrm{实}\mathrm{在}\mathrm{看}\mathrm{不}\mathrm{懂}，\mathrm{字}\mathrm{符}\mathrm{串}\mathrm{哈}\mathrm{希}\mathrm{也}\mathrm{行}\mathrm{啊}（）$