Eratosthenes筛选 求素数

“除了自身之外，无法被其它整数整除的数”称之为质数，要求质数很简单，但如何快速的求出质数则一直是程序设计人员与数学家努力的课题，在这边介绍一个著名的 Eratosthenes求质数方法。

解法

首先知道这个问题可以使用循环来求解，将一个指定的数除以所有小于它的数，若可以整除就不是质数，然而如何减少循环的检查次数？如何求出小于N的所有质数？

首先假设要检查的数是N好了，则事实上只要检查至N的开根号就可以了，道理很简单，假设A*B = N，如果A大于N的开根号，则事实上在小于A之前的检查就可以先检查到B这个数可以整除N。不过在程序中使用开根号会精确度的问题，所以可以使用 i*i <= N进行检查，且执行更快。

再来假设有一个筛子存放1～N，例如：

2　3　4　5　6　7　8　9　10　11　12　13　14　15　16　17　18　19　20　21 ........ N

先将2的倍数筛去：

2　3　5　7　9　11　13　15　17　19　21 ........ N

再将3的倍数筛去：

2　3　5　7　11　13　17　19　........ N

再来将5的倍数筛去，再来将7的质数筛去，再来将11的倍数筛去........，如此进行到最后留下的数就都是质数，这就是Eratosthenes筛选方法（Eratosthenes Sieve Method）。

检查的次数还可以再减少，事实上，只要检查6n+1与6n+5就可以了，也就是直接跳过2与3的倍数，使得程序中的if的检查动作可以减少。

C语言的实现

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

#define N 1000

int main(void) {
    int i, j;
    int prime[N+1];

    for(i = 2; i <= N; i++)
        prime[i] = 1;

    for(i = 2; i*i <= N; i++) { // 这边可以改进
        if(prime[i] == 1) {
            for(j = 2*i; j <= N; j++) {
                if(j % i == 0)
                    prime[j] = 0;
            }
        }
    }

    for(i = 2; i < N; i++) {
        if(prime[i] == 1) {
            printf("%4d ", i);
            if(i % 16 == 0)
                printf("\n");
        }
    }

    printf("\n");

    return 0;
}